П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

являются фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (18.32), а их линейная комбинация

= 1 1 + 2 1 + . . . + −1 ,

где 1, 2, . . . , — произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Каждой паре комплексно-сопряженных корней ± кратности характеристического уравнения (18.33) соответствуют пар линейно независимых действительных решений

уравнения (18.32). Следовательно, общее решение уравнения (18.32) можно записать в действительной форме и в случае комплексных корней характеристического уравнения (18.33).

Пр и м е р 18.15. Решить дифференциальное уравнение

′′ − 4 ′ + 3 = 0.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

2 − 4 + 3 = 0

имеет корни 1 = 1, 2 = 3. Следовательно, функция

= 1 + 2 3

является общим решением данного уравнения. 2

Пр и м е р 18.16. Решить дифференциальное уравнение

′′′ − 3 ′ + 2 = 0.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

3 − 3 + 2 = ( + 2)( − 1)2 = 0

имеет простой корень 1 = −2 и двукратный корень 2 = 1. Следова-

тельно, функция

= 1 −2 + 2 + 3

является общим решением данного уравнения. 2

18.92.′′ − 2 ′ + 5 = 0.

18.93.′′′ − 2 ′′ − ′ + 2 = 0.

18.94.(4) − (3) − 3 (2) + 5 ′ − 2 = 0.

18.95.(5) + (4) + 2 (3) + 2 (2) + ′ + = 0.

§18.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го порядка

спостоянными коэффициентами

где 1, . . . , — произвольные постоянные, а ( ) ̸≡0, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением -го порядка с

постоянными коэффициентами .

Общее решение неоднородного уравнения (18.34) определяется по

где 0( ) — общее решение соответствующего однородного уравнения= 0, а *( ) — некоторое частное решение неоднородного уравнения (18.34).

В общем случае частное решение *( ) можно найти методом Лагранжа вариации произвольных постоянных , суть которого заключается в следующем: если 1( ), . . . , ( ) — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения = 0, то частное решение неоднородного уравнения (18.34) имеет вид

где — постоянная.

Пр и м е р 18.20. Решить уравнение

′′ − 5 ′ + 6 = 2 .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

2 − 5 + 6 = 0

имеет корни 1 = 2, 2 = 3. Следовательно, 0( ) = 1 2 + 2 3 — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Так как число 0 = 1 не является корнем характеристического

уравнения, то частное решение данного уравнения имеет вид *( ) = = . Подставив эту функцию в данное неоднородное уравнение,

находим = 1, т. е. *( ) = .

Итак,

= 0( ) + *( ) = 1 2 + 2 3 + ,

где 1 и 2 — произвольные постоянные, есть общее решение исходного уравнения. 2

Пр и м е р 18.21. Решить уравнение

′′ − 4 ′ + 4 = 2 .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

2 − 4 + 4 = ( − 2)2 = 0

имеет корень = 2 кратности 2. Следовательно, 0( ) = 1 2 + + 2 2 — общее решение соответствующего однородного уравнения.

296 Глава 18. Дифференциальные уравнения

Частное решение данного неоднородного уравнения следует искать в виде *( ) = 2 2 . Имеем

*′ ( ) = 2 2 + 2 2 2 , *′′( ) = 2 2 + 8 2 + 4 2 2 .

Подставляя эти значения в исходное уравнение и упрощая его, полу-

чим 2 2 = 2 . Откуда имеем = 12, т. е. *( ) = 12 2 2 — искомое частное решение.

Итак,

= 0( ) + *( ) = 1 2 + 2 2 + 12 2 2 = ( 1 + 2 ) 2 + 12 2 2 ,

где 1 и 2 — произвольные постоянные, есть общее решение исходного уравнения. 2

б) Пусть правая часть уравнения (18.34) имеет вид

где ( ) — многочлен степени , а 0 — некоторое число. Тогда частное решение неоднородного уравнения (18.34) имеет вид

кратности 0 как корня характеристического уравнения (18.39) (если0 не является корнем характеристического уравнения, то принимается = 0).

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена( ) следует функцию (18.43) подставить в уравнение (18.34) и в полученном тождестве приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества.

Пр и м е р 18.22. Найти общее решение уравнения

′′ − 3 ′ + 2 = 2 + 3.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

2 − 3 + 2 = 0

имеет корни 1 = 1 и 2 = 2, а значит, 0( ) = 1 + 2 2 — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Так как правая часть имеет вид 2 + 3 = (2 + 3) 0· , причем

0 = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение исходного неоднородного уравнения следует искать в виде* = + . Подставляя эту функцию в данное уравнение, получим 2 +2 −3 = 2 +3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых

степенях , получим систему уравнений:

{

2 = 2

2 − 3 = 3.

Откуда имеем = 1, = 3. Следовательно, * = 2 + 3 есть частное решение, а

где ( ) и ( ) – некоторые многочлены, а и – некоторые числа. Тогда частное решение неоднородного уравнения (18.34) имеет вид

где ( ) и ( ) – многочлены с неопределенными коэффициентами степени = max( , ), а – число, равное кратности + как корня характеристического уравнения (18.39) (если + не является корнем характеристического уравнения, то принимается = 0).

Пр и м е р 18.23. Найти общее решение уравнения

′′ + 4 = 4 sin 2 .

Характеристическое уравнение 2 + 4 = 0 имеет комплексные корни 1 = 2 и 2 = −2 . Следовательно, функции cos 2 и sin 2 со-

ставляют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Так как правая часть данного уравнения имеет вид

( ) = (0 · cos 2 + 4 sin 2 ) 0·

и+ = 0 + 2 = 2 является корнем кратности 1 характеристиче-

ского уравнения, то частное решение этого уравнения следует искать в виде

* = ( cos 2 + sin 2 ).

18.114. ′′ − 2 ′ + = 3 √ + 1.

Г л а в а 19

Числовые ряды

§ 19.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды

Пусть 1, 2, . . . , , . . . бесконечная числовая последовательность. Формальное выражение вида

=1

называется числовым рядом или просто рядом. Числа 1, 2, 3, . . .

=1

Ряд (19.1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм этого ряда. При этом число

= lim

→∞

называется суммой данного ряда и записывается

∞

∑

= .

=1

Ряд (19.1) называется расходящимся, если расходится последова-

тельность частичных сумм этого ряда, т. е. если lim не суще-

→∞

ствует или бесконечен.