Функции, пределы, непрерывность
77.Разложите в непрерывную дробь отношение OB : AB со стр. 143.
78.Докажите, что последовательность a0 = √2, an+1 = p2 + √an, монотонно возрастает, ограничена числом B = 2 и, значит, имеет предел. Докажите, что этот предел не может быть отличен от 2 (см. стр. 316
и347).
*79. Попробуйте доказать посредством рассуждений, подобных тем, какие были приведены на стр. 339 и далее, что, какова бы ни была гладкая замкнутая кривая, всегда можно начертить квадрат, стороны которого будут касаться кривой.
80. Функция u = f(x) называется вогнутой, если середина отрезка, соединяющего две любые точки соответствующего графика, лежит выше самого графика. Например, функция u = ex вогнутая (рис. 278), тогда как функция u = log x (рис. 277) — не вогнутая.
Докажите, что функция u = f(x) вогнута в том и только том случае, если
f(x1) + f(x2) |
> f |
x1 |
+ x |
2 |
, |
2 |
|
|
2 |
|
причем равенство допускается только при x1 = x2.
*81. Докажите, что в случае вогнутой функции оправдывается и более общее неравенство
l1f(x1) + l2f(x2) > f(l1x1 + l2x2),
где l1, l2 — две постоянные, подчиненные ограничениям l1 + l2 = 1, l1 > 0, l2 > 0. Это равносильно утверждению, что ни одна из точек отрезка, соединяющего две произвольные точки графика, не лежит ниже кривой.
82.Пользуясь условием упражнения 80, докажите, что функции u =
=√1 + x2 и u = x1 (при x > 0) вогнутые, т. е. что при положительных
значениях x1 и x2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
> r1 + x1 |
2 |
2 |
2 |
|
1 + x |
1 |
|
|
1 + x |
2 |
|
, |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
> |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1 |
x2 |
x1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
83. Докажите то же для u = x2, u = xn при x > 0; для u = sin x при |
|
6 x 6 |
2 |
|
; для u = tg x при 0 6 x < |
|
и для u = − |
√ |
|
|
при |x| 6 |
1. |
p |
p |
p |
|
2 |
|
|
2 |
1 − x |
|
Максимумы и минимумы
84. Найдите кратчайший путь от точки P к точке Q на рис. 178, если требуется подойти по очереди n раз к каждой из двух данных прямых (см. стр. 353).
85. Найдите кратчайший путь от точки P к точке Q внутри остроугольного треугольника, если требуется подойти к каждой стороне в данном порядке (см. стр. 353).
86. Наметьте линии уровня и удостоверьтесь в существовании по меньшей мере двух седловых точек на поверхности, расположенной над трехсвязной областью, границы которой находятся на одном и том же уровне (см. стр. 367). И здесь нужно сделать исключение для случая, когда касательная плоскость к поверхности горизонтальна вдоль некоторой кривой.
87. Исходя из двух произвольных положительных рациональных
√
чисел a0, b0, одну за другой постройте пары an+1 = anbn, bn+1 = 12 (an + bn). Докажите, что они образуют последовательность вложенных
интервалов. (Предел этой последовательности при n → ∞ есть так называемое арифметико-геометрическое среднее чисел a0, b0, игравшее большую роль в ранних исследованиях Гаусса.)
88. Найдите длину всего графика на рис. 219 и сравните с суммой длин двух диагоналей квадрата.
*89. Исследуйте, при каких условиях, наложенных на точки A1, A2, A3, A4 получается схема рис. 216 и при каких — схема рис. 218.
*90. Найдите такие расположения пяти точек, для которых существовали бы различные минимальные системы путей, удовлетворяющие угловым условиям. Некоторые из этих систем будут соответствовать относительным минимумам (см. стр. 364).
91. Докажите неравенство Шварца
(a1b1 + . . . + anbn)2 6 (a21 + . . . + a2n)(b21 + . . . + b2n),
справедливое для каких угодно ai и bi; докажите, что знак равенства возможен только при условии пропорциональности между числами ai и bi. (Указание: обобщите алгебраическую формулу, приведенную в упражнении 8.)
*92. Исходя из n положительных чисел x1, . . . , xn, построим выражения sk, определяемые формулами
|
sk = |
x1x2 . . . xk + . . . |
, |
|
Cnk |
|
|
|
причем в числителе стоит сумма всевозможных произведений, составленных из всех сочетаний n чисел по k. Докажите, что
ичто знак равенства возможен только в случае равенства всех чисел xi.
93.При n = 3 эти неравенства сводятся к следующим:
√abc 6 r |
ab + |
3 |
6 |
3 |
. |
3 |
|
|
|
|
bc + ca |
|
a + b + c |
|
532 ПРИЛОЖЕНИЕ
Какие отсюда вытекают экстремальные свойства куба?
*94. Найдите дугу кривой минимальной длины, соединяющую две точки A, B и вместе с прямолинейным отрезком AB ограничивающую наперед заданную площадь. (Ответ: дуга должна быть круговая.)
*95. Даны два отрезка AB и A0B0. Найдите дуги кривых, соединяющие A с B и A0 с B0, ограничивающие вместе с отрезками данную площадь и обладающие наименьшей суммой длин. (Ответ: дуги должны быть круговыми, с одинаковыми радиусами.)
*96. |
Тот же вопрос — при каком угодно числе отрезков AB, A0B0 |
и т. д. |
|
*97. |
Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите на каж- |
дой из них по точке A и B и затем соедините эти точки кривой линией таким образом, чтобы при заданной площади, ограниченной кривой и обеими прямыми, длина дуги была минимальной. (Ответ: дуга должна быть круговой и перпендикулярной к обеим прямым.)
*98. Тот же вопрос со следующим видоизменением: обратить в минимум требуется не длину кривой AB, а весь периметр фигуры, т. е. сумму дуги AB и отрезков OA и OB. (Ответ: дуга — по-прежнему круговая, но выпячивается наружу, касаясь отрезков в их концах.)
*99. Обобщите эту проблему на случай нескольких угловых секторов.
*100. Установите, что «почти плоские» поверхности на рис. 240 не являются в точности плоскими, кроме стабилизирующей поверхности
вцентре куба. (Замечание: определить эти поверхности аналитически представляет заманчивую, еще не решенную проблему. То же относится и к поверхностям на рис. 251. Что касается рис. 258, то здесь в самом деле имеется 12 симметрических плоскостей, образующих по диагоналям углы в 120◦.)
Некоторые дополнительные предложения по поводу опытов с мыльными пленками. Сделайте опыты, указанные на рис. 256 и 257, при числе стержней, большем трех. Изучите, что происходит в предельных случаях, когда объем воздуха становится все меньше. Экспериментируйте с непараллельными плоскостями и другими поверхностями. Раздувайте центральный кубик на рис. 258, пока он не наполнит весь большой куб и не выпятится за пределы граней; потом выдувайте из него воздух, пытаясь обратить процесс.
*101. Найдите два равносторонних треугольника с данной суммой периметров и с минимальной суммой площадей. (Ответ: треугольники должны быть конгруэнтны. Воспользуйтесь методами дифференциального исчисления.)
*102. Найдите два треугольника с данной суммой периметров и максимальной суммой площадей. (Ответ: один треугольник вырождается
вточку, другой должен быть равносторонним.)
*103. Найдите два треугольника с данной суммой площадей и минимальной суммой периметров.
*104. Найдите два равносторонних треугольника с данной суммой площадей и максимальной суммой периметров.
Дифференциальное и интегральное исчисления
|
|
|
|
|
, r |
x + 1 |
|
|
105. Составьте производные от функций √1 + x, √1 + x2 |
, |
|
x − 1 |
исходя непосредственно из определения, затем преобразовывая разностное отношение таким образом, чтобы не представило труда вычислить
предел при x → x1 (см. стр. 442–444).
1
106. Докажите, что функция y = e− x2 с дополнительным условием y = 0 при x = 0 имеет производные всех порядков, равные нулю, в точке x = 0.
107.Установите, что функция упражнения 106 не разлагается в ряд Тейлора в точке x = 0 (см. стр. 500).
108.Найдите точки перегиба (f00(x) = 0) кривых
y = e−x2 и y = xe−x2 .
109. Покажите, что если f00(x) — полином с n различными корня-
ми x1 |
, x2 |
, . . . , xn, то |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
1 . |
|
|
|
(x) = |
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
xi |
|
|
|
f(x) |
x |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
*110. |
Исходя из определения интеграла как предела суммы, докажи- |
|
те, что при n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 4 . |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
n 12 + n2 |
+ 22 + n2 |
+ . . . + n2 + n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
*111. |
Таким же образом докажите, что |
|
|
|
|
|
b |
sin |
b |
+ sin |
2b |
+ . . . + sin |
nb |
→ cos b − 1. |
|
|
|
n |
n |
n |
n |
112.Нарисуйте рис. 276 на клетчатой бумаге в крупном масштабе
изатем, подсчитывая маленькие квадратики, попадающие в заштрихованную область, найдите приближенное значение p.
113.Воспользуйтесь формулой (7) на стр. 465, чтобы вычислить p с погрешностью, не превышающей 0,01.
114.Докажите, что epi = −1 (см. стр. 502).
115.Данная замкнутая кривая увеличивается, расширяясь в отношении 1 : x. Пусть L(x) и A(x) обозначают длину расширенной кривой
иограниченную ею площадь. Покажите, что AL((xx)) → 0 при x → ∞ и что
даже |
L(x) |
→ 0 при x → ∞, если k > |
1 |
. Проверьте это для окружности, |
A(x)k |
2 |
квадрата и *эллипса. (Площадь — более высокого порядка возрастания, чем длина кривой. См. стр. 493 и дальше.)
116. Показательная функция часто встречается в следующих комби-
нациях:
u = sh x = 12 (ex − e−x), v = ch x = 12 (ex + e−x),
ex − e−x w = th x = ex + e−x ,
называемых соответственно гиперболическим синусом, гиперболическим косинусом и гиперболическим тангенсом. Эти функции обладают многими свойствами, напоминающими свойства тригонометрических функций. Они связаны с гиперболой u2 − v2 = 1 так же, как тригонометрические функции u = cos x и v = sin x связаны с окружностью u2 + v2 = 1. Читателю предлагается проверить следующие формулы и сопоставить их с тригонометрическими формулами:
d(sh x) |
= ch x, |
d(ch x) |
= sh x, |
d(th x) |
= |
1 |
, |
dx |
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
ch2 x |
sh(x + x0) = sh x · ch x0 + ch x · sh x0, ch(x + x0) = ch x · ch x0 + sh x · sh x0.
Обратные функции таковы:
√
x = Arsh u = ln(u + u2 + 1),
|
|
|
|
|
|
|
|
x = Arch v = ln(v + |
√ |
|
|
|
v2 − 1) (v > 1), |
x = Arth w = |
1 |
ln |
|
1 + w |
|
(|w| < 1). |
2 |
|
1 − w |
Их производные имеют вид
d(Arsh u) |
= |
√ |
1 |
|
|
, |
|
d(Arch v) |
= |
√ |
|
1 |
|
, |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 + u |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
− 1 |
|
d(Arth w) |
= |
|
1 |
|
(|w| < 1). |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 − w2 |
|
|
|
117. Уясните себе аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями на основе формулы Эйлера.
*118. Выведите простые формулы для сумм
sh x + sh 2x + . . . + sh nx
и
1
2
+ ch x + ch 2x + . . . + ch nx
аналогично формулам, выведенным в упражнении 14 в случае тригонометрических функций.
