их опубликовывать. Более того, хотя первоначально многие результаты, содержащиеся в его несравненном произведении «Principia», он нашел с помощью методов анализа, изложить их он предпочел в стиле классической геометрии; таким образом, в «Principia» почти совсем нет явных следов анализа. Лишь позднее были опубликованы его работы о методе «флюксий». Его почитатели вступили в жестокую схватку из-за приоритета с друзьями Лейбница. Они обвиняли последнего в плагиате, хотя трудно себе представить что-либо более естественное, чем одновременное и независимое открытие, когда атмосфера уже насыщена элементами какой-нибудь новой теории. Последовавшие пререкания по поводу «изобретения» анализа служат грустным примером того, как переоценивание вопросов о первенстве способно отравить атмосферу естественного научного единения.

Настоящая глава должна быть рассматриваема как элементарное введение, имеющее своей целью в гораздо большей степени познакомить читателя с основными концепциями, чем научить формальным операциям. Мы будем здесь широко применять «интуитивный язык», но при этом позаботимся, чтобы он не оказывался в противоречии с точными понятиями и научно обоснованными операциями.

§1. Интеграл

1.Площадь как предел. Для того чтобы вычислить площадь плоской фигуры, мы в качестве единицы площади выбираем квадрат со стороной, равной единице длины. Если единицей длины является сантиметр, соответствующей единицей площади будет квадратный

сантиметр, т. е. квадрат, длина стороны которого равна сантиметру. С помощью этого определения весьма легко вычислить площадь прямоугольника. Если длины двух смежных сторон, измеренные в линейных единицах, представляются числами p и q, то площадь прямоугольника равна pq квадратных единиц или, короче, площадь равна произведению pq. Это справедливо для любых p и q, как рациональных, так и иррациональных. В случае рациональных значений p и q мы

m m0

получаем этот результат, выполняя замену p = n , q = n0 , где m, m0 — целые числа, а n0, n — натуральные. После этого мы находим общую меру N1 = nn1 0 обеих сторон — таким образом, что p = mn0 · N1 ,

q = nm0 · N1 . Наконец, мы разбиваем прямоугольник на мелкие квад-

mm0

=n · n0 = pq. Для случая иррациональных p и q тот же результат

получится, если сначала заменим p и q соответственно приближающими их рациональными числами pr и qr, а затем заставим pr и qr стремиться к p и q.

Геометрически очевидно, что площадь треугольника равна половине площади прямоугольника с тем же основанием b и высотой h; таким образом, площадь треугольника выражается хорошо известной формулой 12 bh. Любая плоская область, ограниченная одной или несколькими

ломаными, может быть разбита на треугольники; таким образом, ее площадь может быть получена как сумма площадей этих треугольников.

Потребность в более общем методе вычисления площадей возникает в связи с вопросом о вычислении площадей фигур, ограниченных уже не ломаными, а кривыми. Каким образом станем мы определять, например, площадь круга или сегмента параболы? Этот капитальной важности вопрос, с решением которого связано обоснование интегрального исчисления, рассматривался с очень давних пор; еще в III в. до нашей эры Архимед вычислял площади подобного рода с помощью процедуры «исчерпания». Попробуем вместе с Архимедом и великими математиками до времен Гаусса стать на «наивную» точку зрения, согласно которой криволинейные площади являются интуитивно данными сущностями, так что вопрос стоит не об определении понятия площади, а о вычислении площади (см., однако, анализ понятия, произведенный на стр. 489). В рассматриваемую криволинейную область впишем многоугольник, ограниченный ломаной линией и обладающий прекрасно определенной площадью. Выбирая новый многоугольник такого же типа, включающий первый, мы получим лучшее приближение для площади заданной области. Продолжая таким образом, мы постепенно «исчерпаем» всю область и получим искомую площадь как предел площадей надлежащим образом подобранной последовательности вписанных многоугольников с возрастающим числом сторон. Так может быть вычислена площадь круга с радиусом 1; ее числовое значение обозначается символом p.

Эту общую схему Архимед провел до конца в случае круга и в случае параболического сегмента. В течение XVII столетия было с успехом разобрано много других примеров. В каждом случае само вычисление предела ставилось в зависимость от того или иного остроумного приема, специально подобранного для каждой отдельной задачи. Одним из главных достижений анализа была замена этих специальных искусственных процедур одним общим и мощным методом.

2. Интеграл. Первым основным понятием анализа является понятие интеграла. В этой главе мы будем понимать интеграл как площадь под кривой, выраженную с помощью предела. Пусть дана непрерывная положительная функция y = f(x), например y = x2 или y = 1 + cos x;

приближений прямоугольниками площади под кривой, причем основание самого широкого прямоугольника в сумме Sn стремится к 0, когда n возрастает, то последовательность (1) стремится к пределу A:

и этот предел A, представляющий собой площадь под данной кривой, не зависит от того, каким именно образом выбрана последовательность (1), раз только основания прямоугольников неограниченно уменьшаются. (Например, Sn может произойти из Sn−1 путем прибавления одной или нескольких новых точек к прежним, определяющим Sn−1, или же выбор точек деления для Sn может совершенно не зависеть от выбора точек для Sn−1.) Площадь A данной области, выраженную указанным предельным переходом, мы называем, по определению, ин-

f(x) в правой крайней точке соответствующего промежутка. Тогда сумма площадей прямоугольников будет равна

n

P

Символ (читается «сумма по j от 1 до n») обозначает сумму всех вы-

j=1

ражений, получаемых, когда j последовательно пробегает значения 1, 2, 3, . . . , n.

10

X

2 + 3 + 4 + . . . + 10 = j,

j=2

n

X

1 + 2 + 3 + . . . + n = j,

j=1

n

X

12 + 22 + 32 + . . . + n2 = j2,

j=1

n

X

aq + aq2 + . . . + aqn = aqj,

j=1

n

X

a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + nd) = (a + jd).

j=0

Построим теперь последовательность таких приближений Sn, в которых n возрастает неограниченно, так что число членов в каждой из сумм (5) стремится к бесконечности, в то время как каждый отдельный член f(xj)Δx стремится к 0 вследствие присутствия множителя x =

b −n a. При возрастании n эта сумма стремится к площади A:

Лейбниц символизировал этот предельный переход от приближаю-

стилизацию буквы S.) Несмотря на то что символика Лейбница хорошо намекает на способ, каким был получен интеграл, не следует придавать

слишком большого значения тому, что является лишь чисто условным приемом обозначения предела. В ранние дни анализа, когда отчетливого понятия о пределах еще не существовало и необходимость предельного перехода часто упускалась из виду, многие пытались объяснить смысл интеграла, говоря, что «конечное приращение x заменено бесконечно малой величиной dx, а сам интеграл есть сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых f(x) dx». Хотя «бесконечно малое» имеет известную притягательность для умов, имеющих склонность к философским спекуляциям, ему нет и не может быть места в современной математике. Никакой полезной цели нельзя достигнуть, окружая ясное понятие интеграла туманом не имеющих смысла фраз. Но даже сам Лейбниц иногда поддавался соблазнительному воздействию своих символов: в самом деле, они работают так, как если бы обозначали сумму «бесконечно малых» величин, с которыми можно до некоторой степени оперировать, как с обыкновенными величинами. Даже само слово «интеграл» было создано для того, чтобы обозначить, что «всё», т. е. «полная» площадь A, составлено из «бесконечно малых» частиц f(x) dx. Как бы то ни было, прошло около сотни лет после Ньютона и Лейбница, прежде чем было ясно осознано, что истинной основой определения интеграла является понятие предела, и ничего больше. Твердо став на эту точку зрения, мы избежим всякой неясности, всех трудностей и всех нелепостей, которые вызывали такое смущение в ранний период развития анализа.

Рис. 261. Положительные и отрицательные площади

3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определе- ние. В нашем геометрическом определении интеграла как площади мы явно предполагали, что функция f(x) во всем промежутке интегрирования [a, b] неотрицательна, т. е. что никакая часть графика не лежит под осью x. В аналитическом же определении интеграла как предела последовательности сумм Sn такое предположение является излишним. Мы просто возьмем малые количества f(xj)Δx, составим их сумму и перейдем к пределу; эта процедура остается имеющей вполне опреде-

ленный смысл и в том случае, если некоторые или все значения f(xj) отрицательны. Интерпретируя это геометрически с помощью площадей (рис. 261), мы приходим к заключению, что интеграл от f(x) представляет собой алгебраическую сумму площадей, ограниченных графиком и осью x, причем площади, лежащие под осью x, считаются отрицательными, остальные — положительными.

Может случиться, что в тех или иных случаях мы придем к интегра-

отрицательным числом. Тогда в нашем аналитическом определении члены вида f(xj)Δx будут отрицательными, если f(xj) положительно, а x отрицательно, и т. д. Другими словами, величина этого интеграла будет только знаком отличаться от величины интеграла в пределах от b до a. Таким образом получаем следующее простое свойство интеграла:

ba

ZZ

f(x) dx = − f(x) dx.

ab

Далее, нужно подчеркнуть, что значение интеграла не меняется и в том случае, если точки деления xj не будут выбираться равноотстоящими, другими словами, если разности x = xj+1 − xj не будут одинаковы. Мы можем выбрать xj произвольно, и тогда разности x = xj+1 − xj должны быть различаемы с помощью соответствующих значков. Даже в этом предположении сумма

Sn = f(x1)Δx0 + f(x2)Δx1 + . . . + f(xn)Δxn−1,

а также сумма

Sn0 = f(x0)Δx0 + f(x1)Δx1 + . . . + f(xn−1)Δxn−1

будут стремиться к одному и тому же пределу, именно к значению ин-

b

R

теграла f(x) dx, если только мы позаботимся о том, чтобы с возраста-

a

нием x все разности xj = xj+1 − xj стремились к нулю таким образом, чтобы наибольшая из них (при данном значении n) стремилась к нулю, когда n неограниченно возрастает.

Окончательное определение интеграла дается с помощью формулы

aj=1

Под знаком суммы число vi может обозначать любую точку в промежутке xj 6 vj 6 xj+1, и единственное ограничение, касающееся способа разбиений основного промежутка, заключается в том, чтобы наибольшая из разностей xj = xj+1 − xj стремилась к нулю, когда n стремится к бесконечности.