- •К русскому читателю
- •Как пользоваться книгой
- •Что такое математика?
- •Натуральные числа
- •Введение
- •Операции над целыми числами
- •Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция
- •Введение
- •Математическая числовая система
- •Введение
- •Рациональные числа
- •Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
- •Рациональные числа и периодические десятичные дроби.
- •Замечания из области аналитической геометрии
- •Математический анализ бесконечного
- •Комплексные числа
- •Алгебраические и трансцендентные числа
- •Геометрические построения. Алгебра числовых полей
- •Введение
- •Основные геометрические построения
- •Неразрешимость трех классических проблем
- •Геометрические преобразования. Инверсия
- •Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
- •Еще об инверсии и ее применениях
- •Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
- •Введение
- •Основные понятия
- •Двойное отношение
- •Параллельность и бесконечность
- •Применения
- •Аналитическое представление
- •Конические сечения и квадрики
- •Аксиоматика и нееклидова геометрия
- •Топология
- •Введение
- •Формула Эйлера для многогранников
- •Топологические свойства фигур
- •Другие примеры топологических теорем
- •Топологическая классификация поверхностей
- •Приложение
- •Функции и пределы
- •Введение
- •Независимое переменное и функция
- •Пределы
- •Пределы при непрерывном приближении
- •Точное определение непрерывности
- •Две основные теоремы о непрерывных функциях
- •Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.
- •Некоторые применения теоремы Больцано
- •Максимумы и минимумы
- •Введение
- •Задачи из области элементарной геометрии
- •Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
- •Стационарные точки и дифференциальное исчисление
- •Треугольник Шварца
- •Проблема Штейнера
- •Экстремумы и неравенства
- •Существование экстремума. Принцип Дирихле
- •Экстремальные проблемы элементарного содержания.
- •Изопериметрическая проблема
- •Вариационное исчисление
- •Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.
- •Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
- •Математический анализ
- •Введение
- •Интеграл
- •Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr.
- •Производная
- •Техника дифференцирования
- •Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»
- •Основная теорема анализа
- •Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e.
- •Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.
- •Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
- •Арифметика и алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •Геометрические построения
- •Проективная и неевклидова геометрия
- •Топология
- •Функции, пределы, непрерывность
- •Максимумы и минимумы
- •Дифференциальное и интегральное исчисления
- •Техника интегрирования
- •О создании книги «Что такое математика?»
- •Рекомендуемая литература
- •Предметный указатель
Г Л А В А VI
Функции и пределы
Введение
Важнейшие разделы современной математики сосредоточиваются вокруг понятий функции и предела. В этой главе мы займемся систематическим анализом этих понятий.
Такие выражения, как, например,
x2 + 2x − 3,
не имеют определенного числового значения, пока не указано значение x. Говорят, что значение этого выражения есть функция значения x, и пишут
x2 + 2x − 3 = f(x).
Например, если x = 2, то 22 + 2 · 2 − 3 = 5, так что f(2) = 5. Таким же образом непосредственной подстановкой можно найти значение функции f(x) при любом целом, дробном, иррациональном и даже комплексном значении x.
Количество простых чисел, меньших чем n, есть функция p(n) целого числа n. Когда задано значение числа n, то значение функции p(n) определено, несмотря на то что неизвестно никакого алгебраического выражения для его подсчета. Площадь треугольника есть функция длин трех его сторон; она меняется вместе с ними и делается фиксированной, если зафиксированы длины сторон. Если плоскость подвергается проективному или топологическому преобразованию, то координаты точки после преобразования зависят от первоначальных координат точки, т. е. являются их функциями. Понятие «функция» выступает каждый раз, как только величины связаны каким-нибудь определенным физическим соотношением. Объем газа, заключенного в цилиндр, есть функция температуры и давления, оказываемого на поршень. Замечено, что давление атмосферы на воздушный шар есть функция высоты шара над уровнем моря. Целая область периодических явлений — движение приливов, колебание натянутой струны, распространение световых волн, испускаемых накаленной проволокой, — «регулируется» простыми тригонометрическими функциями sin x и cos x.