Р. КУРАНТ |
Г. РОББИНС |
Что такое математика?
(Элементарный очерк идей и методов)
Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова
МЦНМО, 2000
УДК 51(07) |
|
|
|
|
К93 |
What is |
|||
ББК 22.1 |
||||
Mathematics? |
||||
|
||||
|
|
|
|
|
|
AN ELEMENTARY APPROACH TO |
|||
|
IDEAS AND METHODS |
|||
|
|
by |
||
|
RICHARD COURANT |
|||
|
|
and |
||
|
HERBERT ROBBINS |
|||
|
Oxford University Press |
Федеральная Программа |
London – New York – Toronto |
Книгоиздания России |
|
Р. Курант, Г. Роббинс
К93 Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001. — 568 с.
ISBN 5–900916–45–6
Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.
ББК 22.1
ISBN 5–900916–45–6 |
c |
МЦНМО, 2001 |
Оглавление |
|
Предисловие к изданию на русском языке . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
К русскому читателю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
Как пользоваться книгой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
Что такое математика? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
Г л а в а I. Натуральные числа |
19 |
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
§ 1. Операции над целыми числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью |
|
письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в |
|
недесятичных системах счисления. |
|
§ 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая ин- |
|
дукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
1. Принцип математической индукции. 2. Арифметическая про- |
|
грессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квад- |
|
ратов. *5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. |
|
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической ин- |
|
дукции. |
|
Дополнение к главе I. Теория чисел |
39 |
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
39 |
§ 1. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Форму- |
|
лы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических |
|
прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две |
|
еще не решенные задачи о простых числах. |
|
§ 2. Сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты. |
|
§ 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма . . . . . . . . . . . |
59 |
§ 4. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
61 |
1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики. |
|
3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерыв- |
|
ные дроби. Диофантовы уравнения. |
|
Г л а в а II. Математическая числовая система |
71 |
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
71 |
§ 1. Рациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
71 |
1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникнове- |
|
ние надобности в рациональных числах внутри самой математи- |
|
ки. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рацио- |
|
нальных чисел. |
|
§ 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы . . . |
77 |
3
4 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. |
|
3. |
Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Раци- |
|
ональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее |
||
определение иррациональных чисел посредством стягивающихся |
||
отрезков. *6. Иные методы определения иррациональных чисел. |
||
Дедекиндовы сечения. |
|
|
§ 3. Замечания из области аналитической геометрии . . |
. . . . . . . 92 |
|
1. |
Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий. |
|
§ 4. Математический анализ бесконечного . . . . . . . . . |
. . . . . . 98 |
|
1. |
Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чи- |
|
сел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Канто- |
||
ра. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконеч- |
||
ного. 6. Основания математики. |
|
|
§ 5. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . 111 |
|
1. |
Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое пред- |
|
ставление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из |
||
единицы. *4. Основная теорема алгебры. |
|
|
§ 6. Алгебраические и трансцендентные числа . . . . . . . |
. . . . . . 123 |
|
1. |
Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля |
|
и конструирование трансцендентных чисел. |
|
|
Дополнение к главе II. Алгебра множеств |
128 |
|
1. |
Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Од- |
|
но из применений к теории вероятностей. |
|
|
Г л а в а III. Геометрические построения. Алгебра числовых по- |
||
|
лей |
137 |
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . 137 |
|
Часть 1. |
Доказательства невозможности и алгебра |
140 |
§ 1. Основные геометрические построения . . . . . . . . . |
. . . . . . 140 |
|
1. |
Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Пра- |
|
вильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония. |
|
|
§ 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля . . |
. . . . . . 147 |
|
1. |
Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение — алгеб- |
|
раические. |
|
|
§ 3. Неразрешимость трех классических проблем . . . . . |
. . . . . . 155 |
|
1. |
Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических |
уравнениях. |
3. |
Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания |
|
по поводу квадратуры круга. |
|
|
Часть 2. |
Различные методы выполнения построений |
161 |
§ 4. Геометрические преобразования. Инверсия . . . . . . |
. . . . . . 161 |
|
1. |
Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое по- |
|
строение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как |
||
найти центр данной окружности с помощью одного циркуля. |
||
§ 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маске- |
||
рони с помощью одного циркуля . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . 167 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
5 |
*1. Классическая конструкция, служащая |
для удвоения куба. |
|
2. Построения с помощью одного циркуля. |
3. Черчение с помо- |
|
щью различных механических приспособлений. Механические |
|
|
кривые. Циклоиды. *4. Шарнирные механизмы. Инверсоры По- |
|
|
селье и Гарта. |
|
|
§ 6. Еще об инверсии и ее применениях . . . . . . . . . . . . . . . . . |
179 |
|
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение |
|
|
кпроблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
Гл а в а IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы
|
геометрии |
185 |
§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 185 |
|
1. |
Классификация геометрических свойств. Инвариантность при |
|
преобразованиях. 2. Проективные преобразования. |
||
§ 2. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 188 |
|
1. |
Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга. |
|
§ 3. Двойное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 192 |
|
1. |
Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение |
|
к полному четырехстороннику. |
|
|
§ 4. Параллельность и бесконечность . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 200 |
|
1. |
«Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные эле- |
|
менты и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно уда- |
||
ленными элементами. |
|
|
§ 5. Применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 206 |
|
1. |
Предварительные замечания. 2. Двумерное |
доказательство |
теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля . 4. Теорема Брианшона. |
||
5. |
Замечание по поводу двойственности. |
|
§ 6. Аналитическое представление . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 211 |
|
1. |
Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраиче- |
|
ские основы двойственности. |
|
|
§ 7. Задачи на построение с помощью одной линейки . |
. . . . . . . . 217 |
|
§ 8. Конические сечения и квадрики . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 218 |
|
1. |
Элементарная метрическая геометрия конических сечений. |
|
2. |
Проективные свойства конических сечений. |
3. Конические |
сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Бри- |
||
аншона для общего случая произвольных конических сечений. |
||
5. |
Гиперболоид. |
|
§ 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия . . . . . . . |
. . . . . . . . 234 |
|
1. |
Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова гео- |
|
метрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эл- |
||
липтическая, или риманова, геометрия. |
|
|
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измере- |
||
|
ний |
247 |
1. |
Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или |
|
комбинаторный, подход. |
|
|
Г л а в а V. Топология |
255 |
|
6 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
||
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 255 |
|
§ 1. Формула Эйлера для многогранников . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 256 |
|||
§ 2. Топологические свойства фигур . |
. |
. . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 261 |
|
1. |
Топологические свойства. 2. Свойства связности. |
|
|||
§ 3. Другие примеры топологических теорем . . . . |
. . . . . |
. . . . . 264 |
|||
1. |
Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех |
||||
красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точ- |
|||||
ке. 5. Узлы. |
|
|
|
|
|
§ 4. Топологическая классификация поверхностей . |
. . . . . |
. . . . . 276 |
|||
1. |
Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. |
||||
3. |
Односторонние поверхности. |
|
|
|
|
Приложение. |
|
|
|
284 |
|
*1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая мно- |
|||||
гоугольников. *3. Основная теорема алгебры. |
|
|
|||
Г л а в а VI. Функции и пределы |
|
|
|
293 |
|
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 293 |
|
§ 1. Независимое переменное и функция . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 294 |
|||
1. |
Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График |
||||
функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непре- |
|||||
рывность. *6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и |
|||||
преобразования. |
|
|
|
|
|
§ 2. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 311 |
|
1. |
Предел последовательности an. 2. Монотонные последователь- |
||||
ности. 3. Число Эйлера e. 4. Число p. *5. Непрерывные дроби. |
|||||
§ 3. Пределы при непрерывном приближении . . . |
. . . . . |
. . . . . 324 |
|||
1. |
Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия |
||||
предела. 3. Предел sinx x . 4. Пределы при x → ∞. |
|
||||
§ 4. Точное определение непрерывности . . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 332 |
|||
§ 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях . . . . |
. . . . . 334 |
||||
1. |
Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы |
Больцано. |
|||
3. |
Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Тео- |
||||
рема о последовательностях. Компактные множества. |
|
||||
§ 6. Некоторые применения теоремы Больцано . . . |
. . . . . |
. . . . . 339 |
|||
1. |
Геометрические применения. *2. Применение к одной механи- |
||||
ческой проблеме. |
|
|
|
|
|
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непре- |
|||||
|
рывность |
|
|
|
344 |
§ 1. Примеры пределов . . . . . . . . . |
. |
. . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 344 |
|
|
|
n |
|
n |
|
1. |
Общие замечания. 2. Предел q |
|
. 3. Предел |
√p. 4. Разрывные |
|
функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации. |
|||||
§ 2. Пример, относящийся к непрерывности . . . . |
. . . . . |
. . . . . 350 |
|||
Г л а в а VII. Максимумы и минимумы |
|
351 |
|||
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . 351 |
|
§ 1. Задачи из области элементарной геометрии . . |
. . . . . |
. . . . . 352 |
|||
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
7 |
1. |
Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторо- |
|
нах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. |
|
|
3. |
Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства каса- |
|
тельных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные |
|
|
свойства. *5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой. |
|
|
§ 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи . . |
360 |
|
1. |
Принцип. 2. Примеры. |
|
§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление . . . . . . |
363 |
|
1. |
Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и мини- |
|
мумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точ- |
|
|
ки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности. |
|
|
§ 4. Треугольник Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
369 |
|
1. |
Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказа- |
|
тельство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, обра- |
|
|
зованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач |
|
|
на отражение и эргодическое движение. |
|
|
§ 5. Проблема Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
376 |
|
1. |
Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможно- |
|
стей. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. |
|
|
5. |
Обобщение: проблема уличной сети. |
|
§ 6. Экстремумы и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
382 |
|
1. |
Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух по- |
|
ложительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. |
|
|
3. |
Метод наименьших квадратов. |
|
§ 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . |
388 |
|
1. |
Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы |
|
элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более |
|
|
сложных случаях. |
|
|
§ 8. Изопериметрическая проблема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
395 |
|
*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между |
|
|
проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой . . . . . |
398 |
|
§ 10. Вариационное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
401 |
|
1. |
Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оп- |
|
тике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу |
|
|
Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы. |
|
|
§ 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыль- |
|
|
ными пленками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
407 |
|
1. |
Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, |
|
относящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения |
|
|
других математических проблем. |
|
|
Г л а в а VIII. Математический анализ |
421 |
|
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
421 |
|
§ 1. Интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
422 |
|
1. |
Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о поня- |
|
тии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. |
|
|
Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчис- |
|
|
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
|
ления». |
|
§ 2. |
Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
438 |
|
1. Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. При- |
|
|
меры. 4. Производные от тригонометрических функций. *5. Диф- |
|
|
ференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. |
|
|
Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл вто- |
|
|
рой производной. 8. Максимумы и минимумы. |
|
§ 3. |
Техника дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
450 |
§ 4. |
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» . . . . . . . . . . . |
457 |
§ 5. |
Основная теорема анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
460 |
1.Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для p.
§6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм . . . . 467
1.Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
§ 7. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
478 |
1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциаль- |
|
ной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные про- |
|
центы. 3. Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движе- |
|
ния Ньютона. |
|
Дополнение к главе VIII. |
487 |
§ 1. Вопросы принципиального порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . |
487 |
1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения по- |
|
нятия интеграла. Работа. Длина кривой. |
|
§ 2. Порядки возрастания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
494 |
1. Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок |
|
возрастания функции ln(n!). |
|
§ 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения . . . . . . . . . . |
497 |
1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = |
|
eix. 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, |
|
выражающая sin x в виде бесконечного произведения. |
|
*§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистиче- |
|
ского метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
507 |
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения |
511 |
Арифметика и алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
511 |
Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
513 |
Геометрические построения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
519 |
Проективная и неевклидова геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . |
519 |
Топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
521 |
Функции, пределы, непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
524 |
Максимумы и минимумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
524 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
9 |
Дифференциальное и интегральное исчисления . . . . . . . . . . . . |
527 |
Техника интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
528 |
Добавление 1. Вклейка «От издательства» в первое издание кни- |
|
ги на русском языке |
534 |
Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?» |
537 |
Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
544 |
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
550 |
Предисловие к третьему изданию на русском языке
Книга, которую держит в руках читатель,— одно из самых замечательных введений в математику в ряду тех, что обращены к широкой читательской аудитории. Ее замысел выражен в предисловии: «Нет ничего невозможного в том, чтобы, начиная от первооснов и следуя по прямому пути, добраться до таких возвышенных точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы современной математики.»
Первый из авторов книги — Рихард Курант (1888–1972) — один из ведущих математиков XX века, ученик Д. Гильберта, иностранный член Академии Наук СССР. Книги Куранта неоднократно издавались на русском языке. На них выросло не одно поколение математиков. Его книги «Уравнения математической физики», «Теория функций», «Уравнения в частных производных», и «Принцип Дирихле» до сих пор остаются основополагающими при изучении математики.
Данную книгу Курант задумал написать в драматический период истории, осенью 1939 г., когда разразилась вторая мировая война. Пятью годами раньше он оказался в Соединенных Штатах Америки, изгнанный фашистами со своей родины — Германии, где он работал в математическом интституте Гёттингенского университета. Нельзя не отметить огромную заслугу Куранта как организатора в том, что этот институт стал мировым математическим центром. Собственно говоря, Курант, воплотив давнюю мечту Феликса Клейна, основал этот институт. В США Курант создал еще один выдающийся институт (ныне известный как «курантовский институт»), который играл и играет важную роль в развитии прикладной математики во всем мире.
Для осуществления своего замысла — написать книгу, читая которую можно было бы «войти в соприкосновение с самим содержанием живой математической науки»,— Курант привлек молодого двадцатичетырехлетнего тополога Герберта Роббинса. Курант, используя свой талант организатора, сумел добыть в те трудные годы немалые материальные средства для издания такого объемного труда. Он долго колебался, выбирая название для своей книги, и окончательно утвердился в нем, лишь поговорив с великим немецким писателем, также лишенным родины, Томасом Манном.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ 11
Книга Куранта и Роббинса была переведена на русский язык и подготовлена к печати в 1947 г. Это было очень трудное время для нашей страны. Только что закончилась Великая Отечественная война, потребовавшая немыслимого напряжения. Но, несмотря на это, целесообразность издания труда Куранта и Роббинса была совершенно несомненной для проницательных ученых, думавших о будущем страны.
Однако для того, чтобы книга вышла в свет, потребовалось преодолеть существенные препятствия: у нас началась борьба с космополитизмом, когда русская культура противопоставлялась мировой, а значение последней принижалось. Для выхода книги потребовалось предисловие «От издательства». Оно было вклеено в каждый экземпляр отпечатанного тиража (15 000 экземпляров), между десятой и одиннадцатой страницами, без номеров страниц и без указания о нем в оглавлении.
Требовались особые аргументы для того, чтобы уже напечатанный тираж не был уничтожен. Предисловие было написано Андреем Николаевичем Колмогоровым — одним из величайших математиков уходящего века, хотя и не было подписано им.
Это предисловие — примечательный исторический документ, в котором отражены драматические перипетии того времени. Оно напечатано в добавлении к этому изданию, но мне хочется привести здесь некоторые фрагменты из него о значении книги Куранта и Роббинса. Они актуальны и в наше время, когда живо обсуждаются проблемы математического образования.
Первые три абзаца предисловия обращены к тем основным группам молодежи, для которых, по мнению Колмогорова, книга может быть наиболее полезна. Прежде всего, это школьники, ибо «существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки». Затем, это студенты инженерных, химических, биологических и сельскохозяйственных вузов, в которых «оставляют совершенно в стороне ряд более общих и новых идей математики... Между тем, эти идеи становятся все более существенными для всей совокупности точных и технических наук». Наконец, это «молодежь, избравшая своей специальностью математику или те разделы естественных наук (механика, астрономия, физика), изучение которых связано с прохождением вполне современного курса математики... [и которая] часто нуждается в том, чтобы еще на стадии перехода из средней школы в высшую в более легкой и наглядной форме познакомиться с различными разделами математики, вплоть до самых важных и современных».
Труд Куранта и Роббинса удовлетворяет потребности этих групп молодежи. Но не только. Эта книга интересна всякому человеку, которому небезразлична судьба научного знания. Вне всякого сомнения, она вхо-
12 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
дит в золотой фонд литературы по математике. Книга была переведена на многие языки и сразу же после ее издания стала математическим бестселлером.
Эта книга была написана шестьдесят лет назад. С тех пор во всем мире и в математической науке произошли весьма значительные изменения. Структура книги Куранта и Роббинса во многом соответствует структуре математики, сложившейся в начале века. Представление об этой структуре дает список основных секций на Втором математическом конгрессе (Париж, 1900 г.): арифметики и алгебры, геометрии, анализа, механики и математической физики. Ныне, в дополнение к этим четырем секциям, на современных конгрессах работают секции математической логики и оснований математики, топологии, алгебраической геометрии, комплексного анализа, теории групп Ли и теории представлений, теории функций и функционального анализа, дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений, численных методов, дискретной математики и комбинаторики, теории информации и приложений математики к нефизическим наукам.
Масштаб произошедших изменений не даёт возможности в коротких редакторских примечаниях отразить содержательно достижения в математике за последние две трети века. Поэтому мы ограничились лишь самыми необходимыми комментариями к тексту книги, но при этом значительно пересмотрели и расширили список литературы, включив в него наиболее интересные книги, ориентированные на школьников, вышедшие за последние тридцать лет,
В добавлении помещен также фрагмент книги К. Рид «Курант в Гёттингене и Нью-Йорке», посвященный истории создания книги Куранта и Роббинса.
В. М. Тихомиров
Предисловие ко второму изданию на русском языке
Книга Р. Куранта и Г. Роббинса уже издавалась в СССР в 1947 г. Она пользуется большим успехом у любителей математики самых различных возрастов и уровней подготовки, но давно уже стала библиографической редкостью. В серии «Математическое просвещение» она займет свое почетное место.
Перевод, выполненный для первого издания под редакций покойного проф. В. Л. Гончарова, был выправлен и пополнен по последним английскому (1948) и немецкому (1962) изданиям. Восстановлен также предметный указатель. Список «рекомендованной литературы» следует
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ 13
оригиналу лишь в части книг, переведенных на русский язык; редакторы русского издания дополнили его рядом книг, имеющихся на русском языке.
Примечания редакторов русского издания немногочисленны (они помечены цифрами, в то время как примечания авторов обозначены звездочками1.) Редакторы, не желая нарушать цельный и впечатляющий стиль книги, не стремились исправлять и дополнять довольно случайный выбор их указаний на историю вопроса и принадлженость отдельных результатов определенным лицам.
Мы рады поблагодарить проф. Р. Куранта за любезное внимание, оказанное им новому изданию книги на русском языке. В своем коротком обращении к русскому читателю он еще раз подчеркивает руководящую идею своей педагогической деятельности: пропаганду органического единства математики и ее неразрывной связи с естествознанием и техникой. При этом имеется в виду не нравоучения об обязанности математиков быть полезными, а наглядная демонстрация того, что живые источники математического творчества неотделимы от интереса к познанию природы и задачам управления природными явлениями.
В новом издании использованы замечания проф. К. Л. Зигеля и проф. Отто Нейгебауэра, которым мы вместе с авторами выражаем искреннюю признательность.
Москва, |
А. Н. Колмогоров |
12 ноября 1966 г. |
|
1 В настоящем издании не сохранилось. — Прим. ред. наст. изд.
К русскому читателю
Выход в свет второго русского издания нашей книги — весьма приятное для меня событие. Я всегда с глубоким восхищением относился к замечательному вкладу в нашу науку, сделанному многими выдающимися математиками Советского Союза. Пожалуй, в большей степени, чем в некоторых странах Запада, русская математическая традиция сохранила идеал единства науки и способствовала упрочению роли математики в научных и технических приложениях. На меня также производит сильнейшее впечатление активное участие, которое принимают крупные математики Советской России в деле подъема математического образования. Я рад, что свое место в русской научно-педагогической литературе по математике заняла и наша книга.
Настоящее издание отличается от предыдущих английских и немецких изданий небольшими исправлениями и уточнениями, которыми мы обязаны, в частности, профессору К. Л. Зигелю, Отто Нейгенбауэру и другим своим коллегам.
Нью-Йоркский университет, |
Р. Курант |
9 мая 1966 г. |
|
ПОСВЯЩАЕТСЯ
Эрнсту, Гертруде, Гансу и Леоноре Курант
Предисловие к первому изданию
На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики являлось необходимой составной частью интеллектуального багажа каждого образованного человека. В наши дни установленному традицией воспитательному значению математики угрожает серьезная опасность. К сожалению, профессиональные представители математической науки в данном случае не свободны от ответственности. Обучение математике нередко приобретало характер стереотипных упражнений в решении задач шаблонного содержания, что, может быть, и вело к развитию кое-каких формальных навыков, но не призывало к глубокому проникновению в изучаемый предмет и не способствовало развитию подлинной свободы мысли. Научные исследования обнаруживали тенденцию в сторону чрезмерной абстракции и специализации. Приложениям и взаимоотношениям с иными областями не уделялось достаточно внимания. И все же эти малоблагоприятные предпосылки ни в какой мере не могут послужить оправданием для политики сдачи позиций. Напротив, те, кто умеют понимать значение умственной культуры, не могут не выступить — и уже выступают — на ее защиту. Преподаватели, учащиеся — все, хотя бы и не связанные со школой, образованные люди — требуют не идти по линии наименьшего сопротивления, не складывать оружия, а приступить к конструктивной реформе преподавания. Целью является подлинное понимание существа математики как органического целого и как основы научного мышления и действования.
Несколько блестящих книг биографического и исторического содержания и кое-какие публицистические выступления разбудили в широких кругах, казалось бы, безразличных к математике, на самом деле никогда не угасавший к ней интерес. Но знание не может быть достигнуто с помощью одних лишь косвенных средств. Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными способами — так же как, например, вы не сможете приобрести музыкальной культуры путем чтения журнальных статей (как бы ярко они ни были написаны), если не научитесь слушать внимательно и сосредоточенно. Нельзя обойтись без действенного соприкосновения с самим содержанием живой
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ |
17 |
математической науки. С другой стороны, следовало бы избегать всего слишком технического или искусственного, делая изложение математики в одинаковой степени свободным от духа школьной рутины и от мертвящего догматизма, отказывающегося от мотивировок и указания целей, — того самого догматизма, который представляет собой столь неприятное препятствие для честного усилия. Нет ничего невозможного в том, чтобы, начиная от первооснов и следуя по прямому пути, добраться до таких возвышенных точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы современной математики.
Настоящая книга делает такую именно попытку. Поскольку она не предполагает иных сведений, кроме тех, которые сообщаются в хорошем школьном курсе, ее можно было бы назвать популярной. Но она — не уступка опасной тенденции устранить всякое напряжение мысли и упражнение. Она предполагает известный уровень умственной зрелости и готовность усваивать предлагаемое рассуждение. Книга написана для начинающих и для научных работников, для учащихся и для учителей, для философов и для инженеров; она может быть использована как учебное пособие в учебных заведениях и в библиотеках. Может быть, намерение обратиться к такому широкому кругу читателей является чересчур смелым и самонадеянным. Нужно признать, что под давлением иной работы мы вынуждены были при публикации этой книги искать компромиссы: подготовка велась многие годы, но так и не была понастоящему закончена. Мы будем рады критике и готовы выслушать пожелания.
Если ответственность за план и философское содержание этой публикации ложится на нижеподписавшегося, то воздаяние ее достоинствам (если таковые имеются) мне подобает разделить с Гербертом Роббинсом. С самого момента присоединения к задуманной работе он отдался ей с увлечением, как своей собственной, и его сотрудничество сыграло решающую роль в окончательном придании книге ее настоящей формы.
Я должен выразить свою глубокую благодарность за помощь многочисленным друзьям. Беседы с Нильсом Бором, Куртом Фридрихом и Отто Нейгебауэром оказали влияние на мои позиции в вопросах философского и исторического характера. Большое количество конструктивных критических замечаний с точки зрения педагога высказала Эдна Крамер. Давид Гильбарг записал лекции, положенные затем в основу книги. Эрнест Курант, Норман Девидс, Чарльз де Прима, Альфред Горн, Герберт Минтцер, Вольфганг Вазов и другие помогли в поистине бесконечной работе по перепечатке рукописи и внесли в нее множество улучшений. Доналд Флендерс внес много ценных предложений и тщательно выверил рукопись к печати. Джон Кнудсен, Герта фон Гумпенберг, Ирвинг Риттер и Отто Нейгебауэр изготовили чертежи. Часть упражнений для приложения в конце книги исходит от Г. Уитни. Кур-
18ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ, ТРЕТЬЕМУ И ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЯМ
сы лекций и статьи, положенные в основу книги, были осуществлены благодаря щедрой поддержке Отдела народного образования Рокфеллеровского фонда. Я должен также поблагодарить издательство Waverly Press, особенно г-на Гровера К. Орта, за чрезвычайно квалифицированную работу и издательство Oxford University Press, особенно г-на Филипа Водрена и г-на У. Омана, за инициативу и поддержку.
Нью-Рошель, Нью-Йорк, |
Р. Курант |
22 августа 1941 г. |
|
Предисловие ко второму, третьему и четвертому изданиям
В последний год, под воздействием совершающихся событий, возник усиленный спрос на математическую информацию и соответствующий инструктивный материал. Сейчас больше чем когда-либо существует опасность выхолащивания и разочарований, если только учащиеся (и учителя) не сумеют увидеть и схватить то, что лежит за формулами и преобразованиями, — истинное существо и содержание математики. Именно для тех, кто видит глубже, была написана эта книга, и отклики на первое издание поддерживают в авторах надежду, что она принесет пользу.
Благодарим читателей, чей критические замечания позволили внести в новые издания многочисленные поправки и улучшения. За большую помощь в подготовке четвертого издания сердечно благодарим г-жу Наташу Артин.
Нью-Рошель, Нью-Йорк, |
Р. Курант |
|
18 |
марта 1943 г. |
|
10 |
октября 1945 г. |
|
28 |
октября 1947 г. |
|