поведение функции f(x) только при больших положительных значениях, то условие |x| > K мы должны заменить условием x > K; напротив, для случая больших по абсолютной величине отрицательных значений x вводим условие x < −K. Чтобы символизировать эти два способа «одностороннего» стремления к бесконечности, мы пишем, соответственно,

x → +∞, x → −∞.

§4. Точное определение непрерывности

В§ 1, пункт 5, мы ввели следующее определение непрерывности функции: функция f(x) непрерывна в точке x = x1, если при стремлении x к x1 величина f(x) стремится к пределу, равному f(x1). Если мы проанализируем эту формулировку, то увидим, что она подразумевает выполнение следующих двух требований:

а) существует предел a функции f(x) при стремлении переменной x

кx1,

б) этот предел a должен быть равен f(x1).

Если в определении предела на стр. 326 мы подставим вместо a его значение f(x1), то условие непрерывности принимает следующий вид:

функция f(x) непрерывна при x = x1, если, как бы мало ни было положительное число e, можно подобрать такое положительное число d (зависящее от e), что неравенство

|f(x) − f(x1)| < e

будет выполнено для всех x, удовлетворяющих условию

|x − x1| < d

(ограничение x 6= x1, введенное в определении предела, здесь излишне, поскольку неравенство |f(x) − f(x1)| < e при x = x1 удовлетворяется автоматически).

В качестве примера постараемся установить непрерывность функции f(x) = x3, скажем, в точке x1 = 0. Мы имеем

f(x1) = 03 = 0.

Выберем теперь маленькое положительное число e, например, e = 10001 .

Мы должны показать, что, ограничивая значения x числами, достаточно близкими к 0, получим соответствующие значения функции f(x),

отличающиеся от 0 меньше, чем на 10001 , т. е. заключенные между −10001

и + 10001 . Мы сразу видим, что значения f(x) не выйдут из этих границ, если мы ограничим изменение x значениями, отличающимися от 0 мень-

r

Если я утверждаю, что данная функция u = f(x) непрерывна в точке x = x1, то это значит, что я беру на себя по отношению к вам следующие обязательства: вы можете выбрать любое положительное число e, сколь угодно малое, но определенное. Тогда я обязуюсь подыскать такое положительное число d, чтобы неравенство |x − x1| < d влекло за собой неравенство |f(x) − f(x1)| < e. Но при этом я не обязуюсь найти такое число d, которое подошло бы ко всякому e, которое вы назовете потом: мой выбор d зависит от вашего выбора e. Если вы можете выбрать хоть одно e, для которого я не смогу подобрать подходящего d, то моя игра проиграна — мое утверждение опро-