меньшей.1 Решение этой задачи имеет тот или иной вид в зависимости от рас-

положения данных точек. Читатель с пользой сможет заняться более внимательным рассмотрением этого вопроса, исходя из проблемы Штейнера. Мы ограничимся здесь указанием результатов в типических примерах, изображенных на рис. 216–218. В первом примере решение дается системой из пяти отрезков с двумя «кратными точками», в которых сходятся по три сегмента, образуя между собой углы в 120◦. Во втором примере число кратных точек равно трем. При некоторых иных расположениях данных точек указанные фигуры не получаются: возможны случаи «вырождения», когда какая-нибудь одна из данных точек (или несколько таких точек) становится сама «кратной точкой» сети — таков третий из приведенных примеров.

A5

Рис. 216–218. Кратчайшая система путей, соединяющих данные точки

Если число данных точек равно n, то всего будет не более n − 2 кратных точек, в которых сходятся по три отрезка, образуя углы в 120◦.

Решение проблемы не всегда единственно. Так, если четыре данные точки расположены в вершинах квадрата, то возникают два эквивалентных решения (рис. 219, 220). Если точки A1, A2, . . . , An являются вершинами ломаной линии с углами при вершинах, достаточно близкими к 180◦, то сама ломаная является решением.

§ 6. Экстремумы и неравенства

Одной из характерных черт высших разделов математики является та выдающаяся роль, которую в них играют неравенства. В сущности, любая максимальная проблема всегда приводит к неравенству, выражающему тот факт, что рассматриваемая переменная величина не превышает некоторого максимального значения, доставляемого решением этой

1Выработка общих методов для решения прикладных задач типа описанной составила в последние годы предмет так называемого линейного программирования; см., например, [60]. — Прим. ред.

2. Обобщение на случай n переменных. Неравенство (1), связывающее средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин, может быть обобщено на любое число n положительных величин, которые мы будем обозначать x1, x2, x3, . . . , xn. Средним арифметическим этих величин называют выражение

m = x1 + x2 + . . . + xn , n

а средним геометрическим — выражение

√

g = n x1x2 . . . xn,

причем имеется в виду всегда положительное значение радикала. Общая теорема утверждает, что

и что равенство g = m возможно только в том случае, если все величины xi равны между собой.

Было предложено много различных остроумных доказательств этого общего результата. Простейший метод заключается в применении того же простого рассуждения, которое мы провели в пункте 1. Перед нами стоит проблема: разбить данное положительное число C на n положительных слагаемых, C = x1 + x2 + . . . + xn, таким образом, чтобы произведение P = x1x2 . . . xn было возможно большим. Мы будем исходить из допущения, на первый взгляд очевидного, но мы позднее будем иметь случай его проанализировать (§ 7), что наибольшее значение P существует и достигается, скажем, при значениях x1 = a1, x2 = a2, . . . , xn = an. Нам достаточно установить, что a1 = a2 = . . . = an, ибо в этом случае g = m. Допустим, что это не так: пусть, например, a1 6= a2. Тогда рассмотрим значения

x1 = s, x2 = s, x3 = a3, . . . , xn = an,

где

s = a1 + a2 .

2

Другими словами, мы заменим прежнюю систему значений величин xi новой системой, которая отличается от прежней лишь тем, что значения двух первых величин x1 и x2 сделаны равными между собой, причем общая сумма C остается неизменной. Мы можем написать

a1 = s + d, a2 = s − d,

где положено

d = a1 − a2 .

2

Новое произведение равно

P 0 = s2 · a3 . . . an,

тогда как прежнее произведение было

P = (s + d)(s − d) · a3 . . . an = (s2 − d2) · a3 . . . an.

Отсюда ясно, что при d 6= 0

P< P 0,

аэто противоречит сделанному допущению, что произведение P имеет максимальное значение. Итак, d = 0, и тогда a1 = a2. Таким же образом

доказывается, что a1 = ai, где ai обозначает любое из чисел a; отсюда следует, что все числа a равны между собой. Мы убедились в том, что 1) g = m, если все числа xi равны между собой, 2) наибольшее значение g получается только тогда, когда все числа xi равны между собой. Отсюда можно заключить, что во всех прочих случаях g < m. Теорема доказана.

3. Метод наименьших квадратов. Среднее арифметическое n

чисел x1, x2, . . . , xn (которые здесь нет необходимости считать обязательно положительными) обладает замечательным минимальным свойством. Пусть u — числовое значение некоторой неизвестной величины, которое мы хотим определить насколько возможно точнее с помощью какого-то измерительного инструмента. Пусть произведено для этой цели n измерений, которые дали результаты x1, x2, . . . , xn, слегка различающиеся между собой, что обусловливается неизбежными и зависящими от разных причин измерительными ошибками. Возникает вопрос: какое же значение следует приписать величине u в качестве заслуживающего наибольшего доверия? В качестве «истинного» или «оптимального» значения принято выбирать среднее арифметическое

m = x1 + x2 + . . . + xn . n

Дать подлинное обоснование указанной процедуре было бы невозможно, не углубляясь в пространные рассуждения, относящиеся к области теории вероятностей. Все же мы можем здесь отметить некоторое минимальное свойство средней арифметической m, которое до некоторой степени оправдывает ее выбор. Пусть u — какое угодно числовое значение измеряемой величины. Тогда разности u − x1, u − x2, . . . , u − xn представляют собой отклонения этой величины от результатов отдельных наблюдений. Эти отклонения могут быть частью положительными, частью отрицательными, и совершенно естественно стремиться к такому оптимальному выбору u, при котором «тотальное» (в каком-то смысле) отклонение было бы возможно меньше. Следуя Гауссу, берут обыкновенно в качестве «измерителей неточности» не сами отклонения, а их квадраты (u − xi)2 и затем выбирают оптимальное значение u с таким расчетом, чтобы минимизировать «тотальное» отклонение, под каковым понимают сумму квадратов отдельных отклонений

(u − x1)2 + (u − x2)2 + . . . + (u − xn)2.

Определенное таким образом оптимальное значение u есть не что иное, как среднее арифметическое m: в этом заключается исходное положение знаменитого «метода наименьших квадратов», созданного Гауссом. Мы постараемся возможно проще доказать это утверждение. Если мы напишем

(u − xi) = (m − xi) + (u − m),

то получим

(u − xi)2 = (m − xi)2 + (u − m)2 + 2(m − xi)(u − m).

Сложим, далее, все такие равенства, полагая i = 1, 2, . . . , n. Последний член при этом дает

2(u − m)(nm − x1 − . . . − xn),

а это выражение по определению m равно нулю. Следовательно, мы получаем:

(u − x1)2 + (u − x2)2 + . . . + (u − xn)2 =

= (m − x1)2 + (m − x2)2 + . . . + (m − xn)2 + n(u − m)2.

Отсюда уже ясно, что

(u − x1)2 + (u − x2)2 + . . . + (u − xn)2 >

> (m − x1)2 + (m − x2)2 + . . . + (m − xn)2,

причем знак равенства возможен только при u = m. Как раз это самое мы и собирались доказать.

Общий метод наименьших квадратов принимает руководящий принцип — минимизировать сумму квадратов — во всех более сложных случаях, когда нужно как-то согласовать между собой ряд слегка противоречащих друг другу данных наблюдения. Так, представим себе, что измерены координаты xi, yi для n точек, которые теоретически должны лежать на прямой линии, и предположим, что полученные таким эмпирическим путем точки оказываются расположенными по прямой не вполне точно. Как выбрать прямую, которая наилучшим образом была бы «приложена» или «подогнана» к этим точкам? Руководящий принцип приводит к следующему приему (который — необходимо признать — мог бы быть заменен и другими процедурами, основанными на иных рассуждениях). Пусть y = ax + b есть уравнение искомой прямой, так что наша проблема заключается в определении коэффициентов a и b. Измеренное по направлению оси y расстояние прямой от точки xi, yi равно yi − (axi + b), т. е. yi − axi − b, причем имеет положительный или отрицательный знак, смотря по тому, расположена ли точка выше или ниже прямой. Тогда квадрат этого расстояния равен (yi − axi − b)2, и согласно основному принципу метода наименьших квадратов нам достаточно подобрать a и b таким образом, чтобы выражение

(y1 − ax1 − b)2 + (y2 − ax2 − b)2 + . . . + (yn − axn − b)2

достигало наименьшего возможного значения. Мы приходим, таким образом, к минимальной проблеме с двумя переменными величинами a и b. Хотя решение этой проблемы с исследованием всех подробностей и не представляет особенной трудности, мы все же воздержимся здесь от его рассмотрения.