Начертательная геометрия

1

тип задач

2 тип задач

К"

В"

4"

2о"

НвС2

m"

h"

1"

О"

С"

у

Оо"

f"

А"

В"

2"

2"

т"

3"

2

О"

f"

5

мм

А

D"

h"

1"

h

1

С"

m

f

В

m

2

R10

У

А"

4

О

А

2

D

С

О

3

h

h

Т

Н

К

Нат. вел. ЕО

1

у

z

f

Рис. 8.1 à

Ео

БВ Рисá . 8.2

С

й

и

3 тип задач

р

Перпендикулярность плоскостей

F"

о

f"(

T E"F")

С"

m"

f"

D"

1"

т

n"

и

h"

В"

С"

В"

h"

х

2"

А"

Е"

х

Е"

з

А"

о

D"

Е

А

В

f'

х

f

Е

1

А

В

n

п

D

е

2

С

F

С

D

Р

h"( T E'F')

h

h

m

â

ã

Рис. 5.5

Ëèñò 2

60

Лекция 6

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линий и плоскостей в частных положениях относи-

тельно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение

различных задач. Существует несколько способов преобразования чертежа,

которые позволяют переходить от общих положений геометрических эле-

ментов в условиях задач к частным положениям. Рассмотрим эти способы.

Способ замены ( перемены) плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций дает возможность изменить общие

положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций H или V

на частные положения введением дополнительных плоскостей проекцийУ.

Сущность способа:

меняется, аТизменяется

– положение предмета в пространстве

не

положение плоскостей проекций относительно этого предмета так, чтобы

в дополнительной системе плоскостей проекций предмет занял частное поло-

Н

жение (проецирующее или положение уровня), удобное для решения задачи;

– проецирование предмета на дополнительные плоскости проекций

Б

выполняется по методу Г. Монжа – методу параллельного прямоугольного

проецирования на взаимно перпенд кулярные плоскости, то есть сохраня-

ется взаимная перпендикулярность основных

дополнительных плоско-

стей проекций.

й

и

На рис. 6.1 изображена

z

наглядная картина постр ения

V

B"

фронтальной проекции о резка

р

АВ(A"1B"1) на дополни ельную

A"

V1

плоскость проекц й V1.

о

zB

A1"

B1"

Образована

дополн

-

тель

zA

A

zA B O

ная система перпенд кулярных

x V

zB

V1

плоскостей пр екций H/V1 c но-

H

вой осью

и

zB

екций x1. Обрати-

те внимание,

з

к

рдина-

A'

ты

z фр нтальных проекций

что

H

B'

A"1 и B"1 конечных точек от-

р зка на дополнительной плос-

V1

пр

y

H x1

кости V1

равны координатам z

Рис. 6.1

фронтальныхе

проекций А" и В"

точек в заданной системе x-V/H. Для получения чертежа дополнительную

плоскость V1 поворачивают вокруг новой оси проекций x1 до совмещения

Р

с плоскостью проекций H.

На рис. 6.2 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования от-

резка АВ общего положения

д в у м я

последовательными з а м е н а -

м и

плоскостей проекций,

для чего выполнены следующие графические

действия:

61

B"

I з а м е н а.

A"

1-едействие. Введенапервая до-

полнительная система x1-H/V1(V1 H),

z

V

ось проекций X1 которой располо-

x H

A'

жена произвольно на поле чертежа.

B'

y

A2'

2-е действие. Построена в до-

y

полнительной плоскости проекций V1

z

B2'

фронтальная проекция A"1B"1 отрез-

ка АВ:

H

A1"

B1"

V1 H1

– проведены линии связи от го-

x1

V1

ризонтальных A' и B' проекций ко-

x2

Рис. 6.2

нечных точек отрезка, перпендикуУ-

лярные оси проекций Х1;

– от оси проекций x1 отложены координаты z, равные координатамТ z

фронтальных A" и B" проекций точек А и В в заданной системе x-V/H.

II

з а м е н а.

Н

3-е действие. Введена вторая дополнительная система x2-V1 / H1 (H1 V1),

ось проекций x2 которой расположена произвольно на поле чертежа.

Б

4-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций H1

горизонтальная проекция A'1 B'1 отрезка АВ:

– проведены линии связи от построенныхйв первой дополнительной

системе фронтальных проекций точек A"1

B"1, перпендикулярные оси

проекций x2;

и

– от оси проекций x2

жены к о динаты y, взятые из пре -

дыдущей

системы x1-H/V1:

р

си x1 до горизонтальных A' и B' проек-

ций точек А и В.

о

Поскольку на р с. 6.2 рассмотрен пример произвольного, без всяких

условий, двойного преобразования прямой общего положения, то и в пер-

вой и во

тл

дополн

тельных системах этот отрезок преобразовался

также в прямую

бщегоиположения.

AB – общего

л жения

Для преобразования прямой или плоско-

з

сти общего положения в прямую или плос-

A"

кость частного положения рассмотрим че-

B"

z

тыре основные задачи преобразова-

второй

x

V

ния способом замены плоскостей проекций,

п

применяемые как отдельные графические дей-

H

е

B'

ствия для решения различных задач.

A'

φH

H

Задача 1. Преобразовать прямую общего

x1

z

B1"

положения в прямую уровня.

РV1

φH

1-я задача

На рис. 6.3 показано преобразование пря-

x1 // A'B'

мой общего положения АВ во фронтальную

AB // V1

A1"

Натуральная

величина

прямую уровня. Для решения задачи выпол-

62

Рис. 6.3

нен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций

x1-H/V1, расположив ось проекций x1 п а р а л л е л ь н о

горизонтальной

проекции A'B' отрезка АВ.

2-е действие. Построить фронтальную проекцию A"1B"1 отрезка в до-

полнительной плоскости V1 по координатам z, взятым из предыдущей си-

стемы x-V/H.

AB – общего положения

В результате преобразования отрезок AB

Натуральная

в дополнительной системе занял положение,

A1'

параллельное дополнительной плоскости про-

величина

y

φH

1-я задача

екций V1, т. е. преобразовался во фронталь-

B1'

ную прямую уровня. Следовательно, построе-

ны также натуральная величина отрезка и угол

A"

H1 Уx1

его наклона φH к плоскости проекций H.

V

На рис. 6.4 показано преобразование пря-

B" x //A"B"

x

V

Т1

мой общего положения AB в горизонтальную

A1'B1'//H1

прямую уровня. Для решения задачи введена

Hy

B'

дополнительная система плоскостей проекций

Н

A'

x1-V/H1 (x1// A"B") и выполнены аналогичные

Рис. 6.4

графические действия.

Б

Задача 2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

На рис.

6.5 показано

преобразован йе

фронтальной прямой CD в го изонтально-

CD

– фронтальная прямая (//V)

проецирующую прямую. Для решенияизада-

Натуральная

y C1' ≡ D1'

чи выполнен следующий графический ал-

D"

величина

CD H1

горитм:

р

H1

1-е действие. Ввес

д п лнительную

C"

φH

V

о

x1

систему плоскостей проекц й x1-V/H1, рас-

x V

положив ось проекц й xт1 перпендику -

y

x1 C"D"

H

лярно фронтальной проекции C"D" от-

D'

2-я задача

C'

резка CD.

и

2-е действие.

Построить горизонталь-

Рис. 6.5

з

ные сов адающие проекции C'1 и D'1 точек

C и D отрезка в дополнительной плоскости

о

CD – горизонтальная прямая (//H)

про кций H1

о координатам y, взятым из

пр дыдущпй системы x-V/H.

C"

D"

В р зультате преобразования горизон-

z

2-я задача

тальныйеотрезок CD в дополнительной сис-

x V

x1 C'D'

теме занял положение, перпендикулярное до-

H

полнительной плоскости проекций H1, т. е.

C'

D'

Р

C1"≡D1"

преобразовался в горизонтально-проецирую-

z

щую прямую.

H V1

CD V1

На рис. 6.6 показано преобразование

x1

горизонтальной прямой уровня CD во фрон-

Рис. 6.6

тально-проецирующую прямую. Для реше-

63

α(ABC) H

ния задачи введена дополнительная система плос-

B"

костей проекций x1-H/V1

(x1 C'D')

и выполнены

f"

аналогичные графические действия.

A"

h"

Задача 3. Преобразование плоскости общего

x

C"

положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий

αH

этого преобразования, напомним, что у проецирую-

f'

C'

B'

щих плоскостей, перпендикулярных V или Н, од-

h'

A'

f α(ABC)

на из линий уровня – или фронталь, или горизон-

f H

таль – является проецирующей прямой.

f – горизонтально-

На рис. 6.7 показано, что у горизонтально-

проецирующая прямая

проецирующей плоскости α(ABC), горизонтальнаяУ

Рис. 6.7

проекция которой вырождается в линию, фронталь

β(CDE) V

плоскости f(f",f') занимает положение горизонтальТ -

βV

но-проецирующей прямой, то есть она перпенди-

C"

h β(CDE)

кулярна плоскости проекций НН(горизонтальная

h V

h"

проекция f (f') вырождается в точку).

E"

D"

На рис. 6.8 показано, что у фронтально-про-

ецирующей

Б

f"

β(CDE), фронтальная про-

x

екция которой вырождается в линию, горизонталь

D'

плоскости h(h",h')

зан мает положение фронталь-

й

f '

но-проеци ующей прямой, то есть она перпендику-

C'

лярна

ф онтальной плоскости проекций V (ее

плоскости

h'

E'

фр нтальная п оекция h(h") вырождается в точку).

На

. 6.9 показано преобразование плоско-

h – фронтально-

рис

с

бщегоп ложения во фронтально-проецирую-

проецирующая прямая

щую плоскость. Для решения задачи выполнен

Рис. 6.8

тследующий графический алгоритм:

Провести

в

α(ABC) – плоскость общего положения

1-е

действие.

плоскости α(ABC) проекции го-

B"

и

з

3-я задача

ризонтали h(h",h').

h"

1"

2-е действие. Ввести допол-

C"

о

z

A1"

V1

нительную

систему

плоскостей

x

V

C1"Ξ11"B1"

X1-H/V1, расположив ось проек-

A"

H

φH

ций x1 перпендикулярно горизон-

п

z

е

тальной проекции h' горизонтали

C'

x1 h'

плоскости.

A'

V1

3-е действие. Построить в до-

Рh'

H

x1

полнительной плоскости проек-

1'

B'

ций V1

фронтальную

проекцию

A1"B1"C1" плоскости ABC по ко-

В системе x1-H/V1 плоскость

ординатам z, взятым из преды-

α(ABC) V1 – фронтально-проецирующая

Рис. 6.9

дущей системы x-V/H, (проекция

плоскости выродилась в прямую).

64

В результате преобразования плос-

В системе x1-V/H1 плоскость