Начертательная геометрия

Развертки поверхностей

10.2 Развертка цилиндрических поверхностей

1.

Способ нормального сечения

хорда

.

р

к

натуральная

6

о

линия симметрии

вел. образующих

5

хорда

ое

1

н

0

4

развертка

ль

ма

е

3

р

и

2

о

н

нормального

н

е

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

6

еч

с

сечения

образующая

У

Т

Н

à.

10.4

Б

Рис.

2.

Способ

й

раскатки

р

о

т

и

натуральная величина

образующих

з

Rдуги = хорде

о

6

5

4

3 2

1

0

п

е

6

0

5

4

2

1

Р

3

хорда

á.

Ëèñò 4

Рис. 9.15

160

Развертки поверхностей

S"

S

L

F

?

Е

6

D

FО"

F"

ЕО"

D"

Е"

5

С

DО"

СО"

С"

4

ВО"

А"

В"

3

В

хорда

0"

1"

2"

3"

4"

5"

6"

2

У

A

1

0

Т

2'

3'

4'

А'

хорда

линия сгиба

1'

5'

Н

6'

Для прямого кругового конуса:

0'

D

- угол

развертки,

= (R/L) · 360°,

Б

где R -

основания;

L - натуральная величина образующих

à.

точной

Рис. 10.6

радиус

1"

0"

р

0

о

2"

1

хорды

3"

т

2

R

L

3

и

з

R

образующая

°

п

0

6

1/6 доля

поверхности шара

е

0'

L

1'

3'

2'

Р

Фронтально-проецирующий

á.

описанный цилиндр

Рис.

10.7

Ëèñò 5

Рис. 9.16

161

Лекция 10

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

О б щ и е с в е д е н и я и о п р е д е л е н и я

Прямоугольные проекции предмета на взаимно перпендикулярные

плоскости проекций по методу Г. Монжа позволяют точно передать на

чертеже форму предмета и его размеры, просты в построении, но не обла-

дают наглядностью. Создание в уме по комплексному чертежу простран-

ственного образа изображенного предмета требует навыков аналитическо-

го мышления и наличия пространственного воображения, т. е. достаточно

развитого пространственного мышления.

Для наглядного изображения предмета существуют проекции, кото-

рые называют аксонометрическими

У

проекциями, или аксоно -

метриями (в переводе с древнегреческого – осеизмерение).

Аксонометрическая проек-

Т

xα, yα, zα – аксоно-

ция – это параллельная проек-

метрическихПлоскость аксоно-

метрические оси

ция предмета вместе с систе-

Н

мой прямоугольных координат,

Аксонометрическая

Б

xα

к которым этот предмет отне-

проекция точки A

Aα

ezα

сен в пространстве,

на некото-

Oα-Axα-A'-Aα – плоская

α

рую плоскость аксонометриче-

коорд натная ломаная

xα

Axα exα

ских проекций (рис. 10.1).

рующ е лучи

проекций

Oα

Чтобы обеспечить нагляд-

к плоскости α

z

Нап

eyα

ность предмета по

одн

му

п

ециавлеованияниеA

ez

изображению на одной

ак-

S

Проец

A'α

yα

сонометрической плоскос и, на-

x

Ax

правление

проецирования

(на-

ex

O

ey

правление

проец рующ х

о

лу-

Вторичная

т

y

проекция точки A

чей) не должно быть параллель-

A'

ным координатным плоскостям

O-Ax-A'-A – пространственная

проекций xOy, xOzиzOy, отно-

координатная ломаная

сительно к

рыхзвыполняются

Рис. 10.1

проекции

редмета на чертеже.

Системуорямоугольных координат Oxyz, к которой предмет относят

в

для построения его аксонометрии,

выбирают обычно так,

чтобыпространствеоси x, y и z этой системы совпадали с натуральной системой коор-

динатных осей чертежа.

е

Аксонометрические проекции как проекции параллельные имеют не-

которые свойства параллельных проекций:

Р– аксонометрическая проекция отрезка прямой также является прямой;

– если отрезки прямых параллельны на предмете, они также парал-

лельны на его аксонометрической проекции;

– аксонометрической проекцией окружности на аксонометрии в об-

щем случае является эллипс.

Н

аксонометрической плоскости и угла проецирования к этой плоскостиУ. На

аксонометрии положение точки Аα определяет плоская координатная лома-

ная Оα-Аxα-Ao'-Aα, отрезки которой соответствуют аксонометрическимТко-

Б

ординатам xα, yα и zα аксонометрической проекции точки А(Аα).

Поскольку направление проецирования S не параллельно ни одной из

осей системы прямоугольных пространственных координат, то истинные

й

размеры отрезков пространственной координатной ломаной О-Аx-A'-A на

аксонометрической проекции искажаются

, следовательно, искажаются

размеры любого предмета на его аксонометр ческом изображении.

Для определения степени искажен я размеров предмета на аксоно-

метрических проекциях введено понят е коэффициентов искажения по

аксонометрическим осям.

и

Если на осях x, y и z системы нату альных прямоугольных координат

т

отложить от точки О равные масштабныеротрезки ex = ey = ez, то в систе-

ме аксонометрических ко рдина ных

сей получаются искаженные проек-

и

ции этих отрезков еxα, еy α

оezα.

з

Отношения аксонометр ческих проекций масштабных отрезков к на-

туральным велич нам масштабных отрезков и называются коэффициента-

по

ми искажения

аксонометрическим осям:

п

K

X

e X

; K Y

e Y

; K

e Z

.

ные

Р

e X

e Y

e Z

Расч тные коэффициенты искажения имеют дробные значения, неудоб-

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксоно-

метрические проекции разделяются на:

а) изометрические , у которых все коэффициенты искажения

равны, т. е. Kx = Ky = Kz (izos – равный);

б) диметрические, у которых два коэффициента равны, т. е.

Kx = Kz, а Ky им не равен (di – двойной);

в) триметрические , у которых все коэффициенты разные, т. е.

Kx Ly Kz (treis – три).

В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости аксо-

нометрических проекций (угла проецирования), аксонометрические про-

екции разделяются на:

а) прямоугольные – проецирующие лучи перпендикулярныУак-

сонометрической плоскости проекций (угол проецирования равен 90°);

б) косоугольные – проецирующие лучи не перпендикулярныТак-

сонометрической плоскости проекций (угол проецирования не равен 90°).

Аксонометрических проекций можно получить бесконечное множе-

Н

ство, как может быть бесконечно количество аксонометрических плоско-

стей проекций и направлений проецирования к ним.

Основная теорема аксонометрических

Б

была сформулирова-

на немецким геометром К. Польке: «Любые три отрезка на плоскости, вы-

ходящие из одной точки, могут быть

няты за параллельные проекции

(то есть аксонометрические проекц

проекций

) т ех равных и взаимно перпендику-

лярных отрезков (аксонометрических осей) в пространстве».

Г. Шварц, немец-

и

кий математик, обоб-

OABC – масштабный тетраэдр (треугольная пирамида), выде-

щил теорему К. Поль-

пр

ленный из куба с равными взаимноперпендикулярными ребрами:

ке, доказав, что «лю-

A

OA OC; OC OB; OB OA

о

бой полный четырех-

т

A

угольник на плоскости

всегда является парал-

O

B

и

лельной пр екциейзне-

C

O

B

OαAαBαCα – полный (вы-

которого масштабн го

Куб

пуклый) четырехугольник

тетраэдра ( ирамиды),

(проекция пирамиды)

им ющ го

о

и

Направление

C

Aα

zα

равные

взаимно

перпендику-

проецирования

п

бра» (диаго-

Oα

Bα yα

нали четырехугольни-

Плоскость ак-

лярные

рассматри-

сонометриче-

ка можно

ских проекций

Cα

Аксонометриче-

Рвать как аксонометри-

α

xα

ские оси xα, yα, zα

ческие оси, рис. 10.2).

Эту обобщенную тео-

Рис. 10.2

рему и называют тео-

ремой Польке-Шварца.

164

сматриваются (подробнее об этом см. в [12]).

В стандарте даны пять видов аксонометрических проекций:

У

1.

Прямоугольная изометрия.

2.

Прямоугольная диметрия.

3.

Косоугольная фронтальная диметрия.

4.

Косоугольная фронтальная изометрия.

5.

Косоугольная горизонтальная изометрия.

Н

В курсе начертательной геометрии рассматриваются первых три вида

аксонометрических проекций.

Б

Т

Окружности на проекциях предметов проецируются на аксонометри-

раллельных плоскостям проекций,

на аксонометриях в основном

й

по точкам, принадлежащих этим ок ужностям.

П р я м о у г о л ь н я и з м еият

В прямоугольной

акс нометрические оси расположены под

строятся

равными углами друг к другу (120 ).

Для прямоугольных

получена расчетная формула по ко-

эффициентам искажен я:аксонометрий

изометрии

K 2

2 ,

K

2

K 2

X

Y

Z

и

т. е. сумма квадрат в коэффициентов искажения равна двум [12].

з

В рям уг льн й изометрии коэффициенты искажения равны и по

о

п