Начертательная геометрия

которым заменяется окружность сечения, и провести направления ребер

(образующих), перпендикулярно линии сечения (линии пронумеровать), то

есть выполнить от ребра А"-А1" последовательную раскатку граней приз-

мы, заменившей цилиндр.

3-е действие. Построить конечные точки каждой образующей (ребра)

на пересечении образующих с линиями, проведенными перпендикулярно

образующим из одноименных точек нижнего основания.

4-е действие. Оформить чертеж развертки боковой поверхности ци-

линдра, соединив построенные конечные точки образующих плавными кри-

выми линиями (в примере развертка оборвана из-за недостатка места).

Для построения более точной развертки следует по формуле (1) (рис. 9.5,

где L – диаметр цилиндра) вычислить длину развертки и разделив этуУдли-

ну на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3 и 4

действия алгоритма.

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

Рис. 9.5

Рпа з в е р т к а к р у г о в о г о к о н у с а

На рис. 9.6 показан пример построения развертки боковой поверхно-

стиепрямого кругового конуса со срезом фронтально-проецирующей плос-

костью α(αV), которая пересекает его поверхность по эллипсу.

Р

Построение развертки боковой поверхности конуса выполняется по

алгоритму, приведенному выше для построения развертки пирамиды, с не-

которыми дополнениями.

Развертка выполняется по предлагаемому алгоритму.

1-е действие. Заменить прямой круговой конус вписанной правильной

12-угольной пирамидой с ребрами-образующими.

150

2-е действие. Построить развертку боковой поверхности пирамиды по

натуральным величинам ребер (образующих) и сторон основания, выпол-

нив следующие графические действия:

2.1. Отметить на свободном поле чертежа точку S и провести дугу ра-

диусом L, равным натуральной величине всех образующих конуса (ребер

пирамиды).

2.2. Отметить на дуге точку O на вертикальной линии симметрии раз-

вертки и построить вправо и влево на дуге засечками, равными сторонам-

хордам 12-угольника, точки, соответствующие вершинам этого многоуголь-

ника; пронумеровать эти точки и соединить их с вершиной развертки, пост-

роив таким образом вспомогательные ребра-образующие (грани пирамиды).

3-е действие. Достроить на развертке линию среза конуса фронтальУ-

но-проецирующей плоскостью α(αV), выполнив следующие графические

действия:

Т

3.1. На фронтальной проекции конуса перенести горизонтально на на-

туральную величину образующей S"-6" точки сечения, отмеченные на вспо-

Н

могательных образующих, то есть вращением вокруг оси i(i",i') построить

натуральные величины отрезков образующих-ребер сечения.

Б

3.2. Отложить на соответствующих образующих развертки натураль-

ные величины отрезков образующих-ребер до точек сечения (отмечены на

фронтальной проекции и на развертке ф

скобками отрезки O"-Oo"

й

образующей для точки Oо и 2"-2о" об азующей для точки 2o) и соединить

построенные точки сечения на азве тке плавной кривой линией.

4-е действие. Оформить че теж

гурными

азве тки,

проведя сплошными тол-

стыми линиями контур пос р еннрй развертки.

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 9.6

151

Для построения более точной развертки следует вычислить по форму-

ле (2) (рис. 9.6, где R – радиус основания конуса; L – длина образующей

конуса) угол развертки и разделить дугу развертки на 12 равных частей,

провести образующие и далее выполнить 3 и 4 действия алгоритма.

На рис. 9.7, а дан чертеж поверхностей кругового цилиндра и кругового

конуса, описанных вокруг сферы, и построена линия пересечения этих по-

верхностей по теореме Г. Монжа. На рис. 9.7, б построена развертка кони-

ческой части этой конструкции по следующему графическому алгоритму:

1-е действие.

У1о 0i

Провести

произ-

Ц

вольное

сечение,

перпендикулярное

3о

2о

оси конуса, и повер-

4о

Т

ik"

нуть

половину

ок-

5о

1"

0"

2" K"

ружности

сечения

3"

6о

в очерковую плос-

6"

5"

4"

3

2

1

0о

кость конуса.

5О"

Н

4

хорда

2-е

действие.

4О"

1о

0о

5

3О"О

"

2о

Разделить

окруж-

2

Б6

симметрии

1О"

4о3о

1

нат. вел.

5о

й

е

Линия

ность сечения на 6

и

образующих

н

6о

2

е

е

еч

частей и перенести

о

с

н

3

ь

ол

ое

5

зв

4

и

н

точки

1-6

парал-

о

ь

и

р

л

п

а

м

е

ь)

ор

н

и

ст

да

лельно

оси конуса

ен

ч

о

е

н

S

с

уж

кр

о

на

линию

сечения

(

р

(проекцию

окруж-

S"

б

ности), то есть по-

а

хо

Рис. 9.7

строить точки 1о-6о.

3-е действие.

вершину конуса S(S") и точки 1о-6о провести об-

т

разующие конуса до пересечения с проекцией линии пересечения с проек-

цией линии пересечения цилиндра и конуса О1"-6".

и

4-е действие. Вращением построенных образующих вокруг оси кону-

са

Через

чки 1о"-5о" на очерковую образующую S"-6", имеющую на

чертеже натуральную величину.

5-

о

д йствие. На свободном поле чертежа провести радиусом R=S"Оо

дугу и отложить на этой дуге шесть отрезков-хорд, на которые было поде-

перенести

л но с ч ние конуса.

6- действие. Через точку S на развертке и построенные точки Оо-6

е

провести семейство образующих.

Р

7-е действие. Отложить от точек Оо-6 на каждой образующей развертки

соответствующие натуральные величины образующих, взятые с чертежа,

то есть отрезки 6о-1о, 6о-2о и т. д.

8-е действие. Построенные на концах семейства образующих точки

соединить плавной кривой и оформить чертеж развертки (построена поло-

вина развертки).

сти оснований конусов.

Примем K = 3 и впишем в заданный конус вспомогательный конус

с вершиной S".

Достроим горизонтальную проекцию вспомогательного конуса и раз-

Н

У

делим половину окружности основания d1 на 6 частей (1-6).

Далее приступаем к построению развертки половины усеченного ко-

нуса по следующему графическому алгоритму:

Б

Т

1-е действие. На свободном поле чертежа построить развертку вспо-

могательного конуса с вершиной S (см. рис. 9.8), то есть построить точки

0-2-4-6 на дуге развертки.

й

2-е действие. На оси симметрии развертки (биссектриса полной раз-

вертки) выбрать произвольную точку К

провести семейство лучей, со-

единяющих соответственно произвольную точку К с точками 0-2-4-6 раз-

вертки вспомогательного конуса.

р

3-е действие. Отложить на п оведенных лучах отрезки, величины ко-

о

и КОо = К×КО;

торых определяются произведениями:

конус, подобный

т

заданному

К2о = К×К2;

d

з

К4о = К×К4;

L

и

К6о = К×К6,

где К – принятый коэффициент про-

d

1

порциональности, а величины КО,

D

К2,

К4 и К6 следует измерить на

п

2

3

4

6о

строящейся развертке.

На концах лучей определяются

1

5

0' S'

n6

L

S

точки Оо, 2о, 4о и 6о.

Р

произвольная

4-е действие. Через построен-

6

6о

K

точка

ные точки на концах лучей прове-

K6о=K·K6

е

n4

сти прямые n0-n6, каждая из которых

4

2

nо

L

n2

должна быть соответственно парал-

4о

лельна образующим

вспомогатель-

Линия симметрии

ного конуса на его развертке.

2о

5-е действие. На проведенных

прямых n0-n6 отложить натуральную

0о

Рис. 9.8

величину длин образующих задан-

ного усеченного конуса L.

153

6-е действие. Оформить чертеж развертки, соединив построенные точ-

ки развертки лекальными прямыми.

У с л о в н ы е р а з в е р т к и п о в е р х н о с т е й

Условные развертки можно выполнить для некоторых неразвертыва-

ющихся поверхностей.

Рассмотрим построение условных разверток неразвертывающихся по-

верхностей сферы и открытого тора (кругового кольца).

Развертка сферической поверхности

На рис. 9.9 показано построение условной развертки сферической по-

верхности.

У

Поверхность сферы

хордам

А

условно разрезают на ка-

Очерк сферы совпадает с

1

по

очерком описанного цилиндра

кое-то количество частей

2

1"

АО"

Т

дуги

(6, 12 и более) и каждую

2"

3

3"

часть заменяют (аппрок-

хорда

4

4"

1/6 доля

А

симируют) цилиндриче-

5

5"

развертки

ской описанной поверх-

Развертка

6"

0

Б

1

ностью, фронтальная про-

Со 6"

2

екция которой совпадает

й

хорда

3

с фронтальным очерком

4

сферы – окружностью.

6о

5

6о

Во

Далее

выполнятся

и

Со 6

развертка одной доли по-

р2о

верхности сферы как сек-

6 '

тора цилиндрической по-

1/6 сферы

1о

верхности по следующе-

оС 6' 5' 4' 3' 2' 1'

А'

му графическому алгот-

2о

1о

В

ритму:

6о'

1-е действие. На го-

ризонтальн й

пр екции

разрезать

зверхн сть

сферы на 6 частей и рас-

Описанные

смотреть оэту 1/6 часть

цилиндры

(с ктор) как фронтально-

Рис. 9.9

п

про цирующий цилиндр,

описанный вокруг сферы.

е2действие. Разделить дугу очерковой окружности А0В0 сферы, ко-

торая совпадает с окружностью описанного цилиндра, на 12 частей (по-

Рскольку есть симметрия, рассматриваем дугу А0С0) и заменить участки

хордами (то есть вписать 12-угольную призму) – А0"-1", 1"-2" и т. д.

3-е действие. Спроецировать точки 1"-6" на стороны взятого сектора

его горизонтальной проекции.

4-е действие. Свободном поле чертежа провести вертикальную линию

и отложить от точки С0 вверх и вниз по 6 отрезков, равных величине хорд

(точки пронумеровать).

5-е действие. Через каждую построенную точку А-6 провести гори-

зонтальные линии и на каждой отложить величину соответствующей обра-

зующей: 10-10, 20-20 и т. д.

6-е действие. Конечные точки соединить лекальной кривой.

Таким образом построена 1/6 доля условной поверхности сферы, а 6 та-

ких долей составят развертку всей поверхности.

С увеличением количества долей (1/12, 1/24 и т. д.) точность разверт-

ки увеличивается.

У

Развертка поверхности открытого тора

На рис. 9.10 показана условная развертка поверхности открытого тора.

Поверхность кольца разрезают на какое-то количество долейТ(6, 12

и более) плоскостями, проходящими через его ось i", и заменяют каждую

долю (сектор)

поверхно-

описанный

Н

цилиндр

сти описанной цилиндри-

Б

ческой поверхностью.

Далее выполняют раз-

6

6о

1/6 развертки

вертку одной доли поверх-

1о

поверхности тора

ности

по

графическому

0о

2о

й

5

5о

алгоритму,

приведенному

3о

4

4о

4о

для построения развертки

5о

6о

3

3о

одной

доли

поверхности

1/6 т ра

и

6

i"

2

сферы.

0

1

2

3

4

5

2о

р

На рис. 9.11 приведен

о

1

1о

чертеж построен я час

0

0

0

(правой) развертки

-

0о

нированной

т

геометр че-

ской поверхности, состоя-

комби

щей из трех п лых цили-

ндров,

с

з

бщенных двумя

коническими рукавами,

в

0'

6'

котором

о

одытоживается

1'

5'

изуч нный материал дан-

хорда

2'

4'

п

3'

ной

т мы.

Показано, что

Очерк образующей тора

развертка

каждой

части

совпадает с поверхностью

цилиндра