Начертательная геометрия

вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность – геометрическое

место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера – единственная геомет-

рическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих

У

через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек

на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геомет-

рическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

Н

Проекции шара и проекции его очерковых ок-

ружностей

Б

Т

Все три очерка шара – фронтальный, горизонтальный и профильный –

представляют

собой окружности одного

диаметра с центром в точке

О(О',О",О"') – это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 7.16).

й

Каждая точка на поверхно-

сти шара описывает вокруг

соответствующей

оси

окружности,

называемые

о

парал-лелями.

и

Фронтальный очерк ша-

т

р

ра – окружность n(n") – на-

зывается главным фронталь-

ным

меридианом,

который

з

лежит во фронтальной плос-

кости уровня β(βH), и его го-

о

и

ризонтальная

проекция n' –

это горизонтальная прямая,

п

а профильная проекция n"' –

вертикальная прямая, прохо-

дящие через центр шара.

Горизонтальный очерк

Р

шара – это окружность k(k'),

е

то есть экватор шара, ле-

Рис. 7.16

жащий в

горизонтальной

плоскости

уровня

α(αV), и

Точки B1(B1') и B2(B2'), заданные своими горизонтальными проекция-

ми, лежат на экваторе шара k(k'); фронтальные проекции точек совпадают

У

и определяются на фронтальной проекции экватора k(k") по линии связи

(B2" – невидимая), а профильные проекции B1"' и B2"' построены по коор-

Т

динатам yB1 = yB2 и лежат на профильной проекции k (k"') экватора.

Точка C(C"'), заданная своей профильной проекцией, лежит на главном

Н

профильном меридиане m(m'"); ее фронтальная проекция C(C") определяет-

ся по линии связи на фронтальной проекции m(m") профильного меридиа-

на, а горизонтальная невидимая проекция C(C') построенаБпо координате yC

и лежит на горизонтальной проекции проф льного меридиана m(m').

!!! Видимость проекций точки на проекц ях шара определяется види-

й

мостью той части поверхности ша а, на которой лежит точка, и определя-

ется указанными границами

п взгляде на каждую плоскость

проекций.

и

р

На рис. 7.17 показаны

примеры построения проек-

ций точек D и E, лежащ х

на поверхности шара, недовидимости

т

стающие проекции которых

построены с

-

овани

ем различных сей враще-

ния (без к

з

рдинат y).

Точка D задана види-

исполь

проек-

мой фронтальной

ци й D".

п

Для построения ее го -

ризонтальной

проек-

е

ции D(D') нужно использо-

вать горизонтально-проеци-

Р

рующую ось вращения i1 и

выполнить следующие гра-

фические

действия

(ал-

Рис. 7.17

горитм I ):

101

действия (алгоритм

I I ):

1-е действие. Провести через горизонтальную проекцию точкиУE(E')

прямую, перпендикулярную оси i2(i2') – это проекция круговой параллели

радиусом RE, по которой точка E вращается вокруг оси i2.

Т

2-е действие.

Провести

фронтальную проекцию этой параллели:

окружность радиусом RE с центром в точке O(O").

Н

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную

видимую проекцию точки E(E") на этой параллели.

Для построения п р о ф и л ь н ы х

Б

заданных точек D и E

нужно использовать профильно-проец рующую ось i3 и выполнить следу-

ющие графические действия (алгор тм

I I I ):

1-е действие.

проекций

Провести че ез ф онтальную проекцию точки D(D")

и горизонтальную проекцию

E(E') прямые, перпендикулярные оси

и

i3(i3",i3'), – это проекции круг вых па аллелей с радиусами RD1 и RE1 (рас-

положены вертикально), по к

т чки D и E вращаются вокруг оси i3.

рым

2-е действие. Провес и пр фильные проекции этих параллелей: ок-

ружности радиусами RD1

RточкиE1 с центром в точке O(O"').

3-е действие. Постро

по горизонтальным линиям связи профиль-

ть

ные проекции точек D(D'")

E(E"') на соответствующих параллелях (про-

фильная проекция

D(D'") невидимая).

точки

Постр

зение проекций шара со срезами плоско -

стями частн

го положения

Всякая

пересекает поверхность шара по окружностям (кру-

лоскость

говым араллелям). В зависимости от расположения секущих плоскостей

п

относит льно плоскостей проекций H, V и W окружности сечений могут

про цироваться либо в окружности, либо в эллипсы.

е

На рис. 7.18 показан пример построения проекций шара со срезами

горизонтальной плоскостью α(αV) и профильной плоскостью β(βV).

РОкружность сечения шара горизонтальной плоскостью α(αV) проеци-

Окружность сечения ша-

ра профильной плоскостью β

проецируется

в

окружность

(круговую параллель) радиу-

сом Rβ на профильную проек-

цию шара (невидимая окруж-

ность), а горизонтальная про-

У

екция этой окружности – вер-

тикальная прямая. В качестве

оси вращения для построения

параллели Rβ взята профиль-

но-проецирующая ось i3.

На этом же рисунке пока-

Т

зано расположение проекции

характерных точек 1, 2, 3, 4,

5 и 6, лежащих в плоскостях

Рис. 7.18

сечений на характерных очер-

Н

Б

ковых окружностях шара:

– точки 1, 3, 4 и 6 лежат на главном фронтальном меридиане шара n

и их проекции определяются на проекц ях этого меридиана;

– точки 5 лежат на экваторе

k

х проекции определяются на

проекциях экватора;

й

– точки 2 лежат на

ме

m и их проекции опреде-

ляются на проекциях этого меридиана.идиане

Оформление

шара

очерков проекций яс-

профильном

но из чертежа.

На рис. 7.19 пока-

т

зан

пример

построе-

ния проекций шара со

срезом

и

фр нтально-

з

проецирующей

пл с-

костью γ(γV).

Фр н-

тальная

роекцияок-

ружности с чения ша-

п

ра плоскостью γ сов-

с вырожденной

падает

в линию фронтальной

проекцией

плоскости

Р

γ, а на горизонтальную

и профильную проек-

ции шара эта окруж-

ность сечения проеци-

Рис. 7.19

руетсявэллипсы.

103

Н

принадлежности своей параллели (алгоритм I ); малая ось эллипсаУ–

линия 5'-1'.

Построенные видимые горизонтальные проекции точек соединитьТплав-

ной кривой эллипса с помощью лекала.

Б

Очерк горизонтальной проекции определяет его экватор вправо от то-

чек 4(4').

й

Профильная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по

профильным проекциям обозначенных точек:

ли

– точки 1(1"') и 5(5"') – лежат на n(n'") главного меридиана;

– точки 2(2"') – лежат на проекц

m(m"') профильного меридиана;

– точки 3 (3"') и 4(4"') – пост оены

по принадлежности соответ-

ствующим относительно оси в ащения i3 параллелям (алгоритм I I I ,

отмечена параллель R4).

т

Построенные видимые пр екциирточек соединить плавной кривой эл-

липса.

и

Очерк проф льной проекцииоопределяет профильный меридиан m(m"')

от точек 2(2"') вн .

Т о р

в а я

поверхность –

тор

Поверхн сть,

п лучаемая при вращении образующей окружно-

п

сти m (или ее дугиз) вокруг оси i, лежащей в плоскости этой окружности, но

не рох дящей через ее центр, называется торовой. Образующая окруж-

е

ность m вращаетсяо вокруг оси тора i по направляющей окружности радиу-

сом R (рис. 7.20, а, б, в, г).

Г ом трическое тело, ограниченное торовой поверхностью, называют

тором.

называют открытым (круговое

Тор

кольцо), если образующие

окружности m в осевом сечении не пересекаются и не касаются друг друга,

Рто есть R > r. Проекции открытого тора с горизонтально-проецирующей

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 7.20

П о с т р о е н и е п р о е к ц и й о т к р ы т о г о т о р а

На рис. 7.21 показан пример построения фронтальной, горизонталь-

ной и профильной проекций половины открытого тора с фронтально-про-

ецирующей осью i.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Рис. 7.21

Р

Фронтальную

проекцию (очерк) тора определяют:

– максимальная и минимальная круговые окружности-параллели n1(n1")

и n2(n2"), по которым диаметральные точки N1 и N2 образующей окружно-

сти m вращаются вокруг оси тора i;

– окружности-параллели t1(t1") и t2(t2") диаметральных точек T1 и T2,

которые совпадают между собой и совпадают с проекцией направляющей

Горизонтальную проекцию (очерк) тора определяют:

– совпадающие

проекции n1(n1') и

n2(n2') окружностей-параллелей

У

фронтального очерка проецируются в прямую линию, перпендикулярную

оси i(i') тора, и совпадают с горизонтальной осью симметрии проекции;

Т

– две образующие окружности m(m'), лежащие в плоскости среза α(αV),

которые проецируются в натуральную величину и видимыми являются толь-

ко их половины;

– две горизонтальные линии, в которые проецируются окружности-

параллели t1(t1') и t2(t'), полученные при вращении диаметральных точек T1

и T2 (перпендикулярны оси вращения i(i').

Профильную проекцию (очерк) тора определяютН:

– совпадающие проекции n1(n1"') и

й

n2(n2"') окружностей-параллелей

фронтального очерка проецируются в прямую вертикальнуюБ

линию и сов-

падают с осью симметрии проекции;

и

– окружность mβ, лежащая в проф льной плоскости β (половина ее –

невидимая);

пр

– прямая горизонтальная линия совпадающих проекций образующих

о

окружностей m(m"'), лежащих в пл ск сти среза α(αV);

т

екции окружностей-параллелей t1(t1"')

– две вертикальные прямые –

и t2(t2"').

Точки на п верхноститора лежат на круговых параллелях, по кото-

!!! Запомните харак ерные признаки проекций открытого тора на

чертеже.

Построен е

проекций

точек, лежащих на поверхности тора

t1 и t2 и m строятсяпо их принадлежности этим окружностям.

рым они вращаютсязвокруг его оси i.

1. Т чки, лежащие на характерных очерковых окружностях тора n1 и n2,

е

Р

На рис. 7.21 показаны примеры построения проекций точек по одной

екции точек D(D1') и D(D2') на проекциях этих вспомогательных параллелей.

Н

4-е действие. Профильные видимые проекции точек D1(D1'") и DУ2(D2'")

построить по координатам yD.

(невидимая), заданных своими совпадающиТ

Проекции точек E1 и E2

-

Б

ми горизонтальными проекциями E1(E1') ≡E2(E2') и не лежащие на харак-

терных окружностях тора, строятся по "обратному" а л г о р и т м у I I :

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции тора прямую,

й

перпендикулярную оси вращения тора i(i') – это горизонтальные совпада-

ющие проекции

вспомогательных круговых

параллелей радиусами RE1

и RE2 для точек E1 и E2.

и

2-е действие. Построить

радиусами

RE2 фронтальные проекции

RE1

этих параллелей: RE2 – параллель на внут енней поверхности тора, а RE1 –

параллель на наружной поверхности то а.

3-е действие. Построить

линии связи фронтальные проекции точек

т

E1(E"1) и E2(E"2) на проекциях э их вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные невидимые проекции точек E1(E"1) и E2(E"2)

и направляющая

кружности

2-го порядка – порядки умножаются) и кри-

построить по коорд на ам yEпо.

ки 1(1",1'), лежащие на проекциях образующей окружности m(m1",m2').

3-е действие. Построить по линии связи видимые горизонтальные про-

Тор имеет также т р е т ь ю

систему сечений плоскостями уровня,

параллельными оси его вращения i.

На рис. 7.22 показаны формы кривых в различных сечениях открыто-

го тора плоскостями уровня (ось тора i V).

На рис. 7.22, а сечения проведены параллельно оси тора i(i") на его

фронтальной проекции и являются горизонтальными плоскостями уровня.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 7.22

В зависимости от расстояния t секущей плоскости до оси тора на его

поверхности получается 4 вида кривых, объединенных общим названием –

кривые Персея (геометр древней Греции).