Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Начертательная геометрия

.pdf

Скачиваний:

107

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

10.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') вспомогательной линии пересечения плоскостей – заданной α(∆ABC) со вспомогательной γ.

3-е действие. Определить проекции точки K(K",K') пересечения прямой m с плоскостью α.

II. Построить проекции точки M(M",M') пересечения прямой n с плоскостью α, повторив графические действия 1, 2 и 3 и соединить прямой линией построенные точки K и M.

–точки 1 и 5 – для определения относительной видимостиТнаУфронтальной проекции;

–точки 6 и 7 – для определения относительной видимостиНна горизонтальной проекции.

Структуризация материала четвертой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 4.9 (лист 1)Б. а последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального

закрепления основной части изученного материала при повторении

(рис. 4.10–4.12). йи

							р
						о
					т
				и
			з
		о
	п
е
Р

Взаимное положение двух плоскостей,

прямой линии и плоскости

Ðèñ. 4.10, à

Ðèñ. 4.10, á

Ðèñ. 4.10, ã, ä

Ðèñ. 4.11, à

Ðèñ. 4.10, å

Ðèñ. 4.11, á

Ðèñ. 4.11, â

Ðèñ. 4.11,

ã, ä

Ðèñ. 4.12, à

Ðèñ. 4.12, á

Рис. 4.9

Ëèñò 1

Прямая,

параллельная плоскости

Параллельные плоскости

Параллельная

В"

(m U n)

К"

(АВС)

К"

а"

С"

А"

а'

С'

К'

А'

Требуется: провести через т.К (К',К") прямую,

В'

К'

параллельную плоскости.

Решение: прямая а

(m U n),

так как аU m.

Рис.

4.1

Требуется: провести через т.К (К',К")

плоскость

, параллельную заданной

Параллельные плоскости

плоскости

(АВС).

Решение: плоскость

(m U n)

(АВС), так как

m АВ, а n ВС.

а"

Рисá. 4.2а

(а b)

К"

- знак совпадения

- пересечение элементов

- параллельностьБэлементов

а'

- знак принадлежности

К'

- знак "заключить"

Требуется: провести через т.К (К',К")

Пересечение плоскости частного

плоскость

параллельную заданн й

положения с плоскостью общего положения

плоскости

(а b).

(а

b),

ак как

М"N"

линия

Решение: плоскость

(m U n)

В"

m а

b, а n

c (c - вспомога

пересечения

ельная прямая).

(TV) V

Рисâ. 4.2б

М"

С"

А"

М" N"

v(//НTV)

М"

л.п."

А'

М'

С'

(TV)

М'N' - построена

В'

линия пересечения

(АВС) - общего положения

н(TН)

V - фронтально-проецирующая

л.п.'

(АВС)U

(

Н)

МN - линия пересечения

М'

(прямая общего положения)

М'

Рис.

4.4

( v)U

( v)

МN( TV) - линия пересечения

(

н) U

(

н)

МN(TV)

- линия пересечения

(фронтально-проецирующая прямая)

(горизонтально-проецирующая прямая)

Ëèñò 2

Рис. 4.10

Пересечение прямой частного положения с

плоскостью частного положения

плоскостью общего положения

т"

а"

т"

К"

Е"

т.K

b);

(DEF)TV

h(h'',h')

вспомогательная

прямая (горизонтальная)

Е'

а'

mTV

К'

b) -

общего положения

т'

К'

(DEF)

в т.K

m U

(a b)

в т.K

т.K

т; т.K

(DEF)

Рис.

4.5

Рис. 4.6

Пересечение прямой общего положения с

плоскостью частного положения

плоскостью общего положения

А"

В'

К"

В"

m - общего

С"

положения;

(АВС)

С'

К'

А'

вспомогательная пл. частного положения ,

(ABC)

в т.K

в которую заключена заданная прямая m

Рис.â4.7

Рис.

4.8а

Пересечен е прямой общего положения с плоскостью общего положения

а"

Графический алгоритм:

М"

1 Заключить прямую m в плоскость частного

иК" b"

К'

N" 1''

положения

: m c

( V).

m - общего

2 Построить линию MN пересечения заданной

V m"

плоскости

(а b) со вспомогательной

(

положения;

(а

b) - бщего

(а b)

MN.

положения

оМ'

3 Определить проекции К(К',К") искомой точки

пересечения прямой m с плоскостью

(а

b):

MN U m

К(К',К").

4 Определить относительную видимость прямой

3''

а'

и плоскости по конкурирующим точкам.

Ëèñò 3

Рис. 4.11

Пересечение плоскостей общего положения, проекции которых не накладываются

(способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения)

Проекции искомой линии

В"

пересечения

V1(

Произвольные вспомогательные

М"

плоскости частного положения

А"

V2(

Графический алгоритм:

а"

Пересечь заданные плоскости

(а b)

М'

и (АВС) вспомогательной

С"

горизонтальной плоскостью уровня

V1)

В'

Построить линии пересечения

А'

л'п

заданных плоскостей со

вспомогательной:

1-2

(а b) U

а'

3-4

(АВС) U

Определить общую точку М(М',М"),

п'

принадлежащую искомой линии

С'

пересечения М

1-2 U 3-4

4 Повторить алгоритм и построить

вторую точку N(N',N"), принадлежащую

Рис. 4à.9

искомой линии пересечения МN.

Пересечение плоскостей общего положения,

которых накладываются

Л н я пересечения плоскостей строится по двум

точкам пересечения прямых общего положения с

плоскостью общего положения по алгоритму,

В"

проекциип иведённому для рис. 4.8.

л"п"

е"рГрафический алгоритм:

построили

А"

М"

1 Заключить прямую AB во вспомогательную

фронтально-проецирующую плоскость

V1).

2 Построить линию пересечения 1-2 заданной

А"

плоскости

( ABC) со вспомогательной плоскостью

3 Определить первую общую точку M(M',M") линии

пересечения заданных плоскостей.

4 Повторить алгоритм, заключив прямую

заданной

плоскости

e) во вспомогательную

горизонтально-проецирующую плоскость

h2) и

определить вторую общую точку N(N",N').

А'

5 Соединить построенные точки - MN - искомая линия

пересечения:

( ABC) U (d e)

MN.

С'

6 Определить относительную видимость плоскостей

М'

по конкурирующим точкам: 1 и 5, 6 и 3.

п2

В'

л'п'

построили

е'

Рис. 4.12

Ëèñò 4

Лекция 5
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости осно-
вано на двух теоремах геометрии:
1-я т е о р е м а: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
2-я т е о р е м а: о проекции прямого угла (изложена выше – см.
	У
рис. 2.14, 2.15 и 2.16) – если одна сторона прямого угла параллельна плос-
кости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость про-
екций угол проецируется прямым.	Т

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуля-

ра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизон-
тали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно про-
вести в плоскости.											Б
вести в плоскости.
	!!! Запомните:
	– фронтальная проекция m" прямой, перпендикулярнойНпрямой к плос-
										й
кости, перпендикулярна к фронтальной проекции f" фронтали этой плоско-
сти (m" f");								ности
делить на три группы:								ности
	– горизонтальная проекция						m'		прямой, перпендикулярной прямой
к плоскости, перпендикулярна к гор зонтальной проекции h' горизонтали
этой плоскости (m' h ').							р
этой плоскости (m' h ').
	Задачи на тему перпендикуля									прямой и плоскости можно раз-
	1-я					о
	1-я	г р у п п а. Провести					т т чки, лежащей в плоскости, перпенди-
куляр в пространство.
	2-я				и
	2-я	г р у п п а. Провес и из точки, не лежащей в плоскости, перпен-
дикуляр к этой плоскос .
			з
	3-я г р у п п а. Постротьплоскость, перпендикулярную к прямой об-
		о
щего положения (постро ть геометрическое место точек – ГМТ).
	П е р в а я			г р у п п а з а д а ч					требует по условию проведения пер-
	рп
пендикуляра т пл скости (восставить перпендикуляр) в пространство (см.
рис. 5.1).
	В этой гру			пе задач требуется,					как правило, построить на проведен-
ном п		ндикуляре проекции отрезка заданной величины. Графические
Р

действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекциях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 2.9).

На рисунке 5.1 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость β, параллельную заданной плоскости α(ABC), на расстоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости β нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости α, то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

m" f"

Для решения задачи требуется выпол-

нить следующий

графический

ал-

m' h'

f "

г о р и т м :

β"

1-е действие. Провести в заданной плос-

α"

кости общего положения ABC проекции

∆z

h"(//x)

фронтали f(f",f') и горизонтали h(h',h'):

– f' //

x, а f" – построить по вспомога-

h '

тельной точке 1;

∆z K'

– h" // x, а h' – построить по вспомога-

β'

α'

f '(//x)

тельной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плос-

15 мм

кости, например, от вершины A в пространУ-

d //AC

β(d ∩ e)

ство проекции перпендикуляра m(m",m'):

– фронтальную проекциюТm" перпен-

e //AB

Рис. 5.1

дикулярно f" (m" f");

– горизонтальную проекцию m' перпен-

дикулярно h' (m' h ').

3-е действие. На проекциях перпендикуляра m построить проекции

отрезка заданной величины 15 мм, для чего выполнить следующие графи-

ческие действия:

1. Ограничить построенную

m(m", m') произвольным отрез-

ком AK(AK", AK').

2. Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 5.1) спо-

собом прямоугольного треуг льника – это гипотенуза A'Kо.

3. На построенной гип

енузе

тл жить заданную величину A'Do = 15 мм

прямую

и построить проекции о резка AD(A"D", A'D') заданной величины (см. по-

строения), то есть проекц

очкиD(D",

D'), находящейся на расстоянии

15 мм от плоскости α(ABC)т.

4-е действие. Постро ть плоскость β, параллельную заданной плоско-

сти ABC,

проекции точки D две пересекающиеся прямые d и n,

соответственно параллельные двум пересекающимся прямым AC и AB плос-

кости ABC:

через

– d" // A"C"; e" // A"B";

проведя

– d' // A'C'; e' // A'B', то есть β(d ∩ e) // α(ABC).

г р у п п а

з а д а ч

требует по условию проведения

В т о р а я

п рп ндикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпенди-

куляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пере-

сечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

РПостроение точки пересечения прямой общего положения с плоско-

стью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.6).

На рис. 5.2 показано решение примерной задачи второй группы: опре-

делить расстояние от точки K до заданной плоскости α(∆ABC).

Эта задача относится ко второй группе, так

как расстояние от точки K до заданной плоско-

сти α(∆ABC) определяется величиной перпен-

∆z

дикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Для решения задачи требуется выполнить

следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости фрон-

∆z

таль f(f",f') и горизонталь h(h",h').

2-е действие. Провести через заданную точ-

Н.в.

f '

ку K(K",K') проекции перпендикуляра m(m",m')

к плоскости ABC:

– m" перпендикулярно f" (m" f");

βH

– m' перпендикулярно h' (m' h').

Рис. 5.2

3-е действие. Построить точку пересечения

O(O",O') перпендикуляра m с заданной плоскостью общего положения

ABC, выполнив промежуточный графический алгоритм:

1. Заключить прямую m во вспомогательную горизонтально-проеци-

рующую плоскость β(βH).

2. Построить вспомогательную л н ю пересечения 3-4 заданной плос-

кости α(∆ABC) со вспомогательной плоскостью β:

– 3'-4' – определяется на следе βH;

– 3"-4" – строится по принадлежностииточек 3 и 4 сторонам AC и AB

треугольника ABC;

3. Определить проекции искрм й точки пересечения O(O",O') на пере-

сечении проекций пос роенн й всп могательной линии пересечения 3-4

с проекциями перпенд куляраоm.

4-е действие. Постро

натуральную величину отрезка KO способом

ть

прямоугольного треугольн ка, то есть определить расстояние от точки K

до плоскости ABC.

Т р е т ь язг р у п п а

з а д а ч

требует по условию построения не-

которой всом гательной плоскости (геометрического места точек), пер-

еп ндикулярнойпк прямой общего положения. Эту перпендикулярную плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых Рдолжна быть перпендикулярна прямой общего положения (теорема о пер- п ндикулярности прямой и плоскости, т. е. признак перпендикулярности прямой и плоскости). На чертеже плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, можно задать только проекциями пересекающихся прямых уровня – фронтальной (параллельной плоскости проекций V) и горизонтальной (параллельной плоскости H), что соответствует теореме о проекции прямого угла. В задачах этой группы, как правило, требуется по условию определить точку пересечения заданной прямой со вспомогатель-

ной перпендикулярной плоскостью.

На рис. 5.3 показано решение примерной за-

Н.в. КО αV

дачи третьей группы: определить расстояние от

точки K до прямой общего положения m.

∆y

a"(//x)

Эта задача относится к третьей группе, по-

скольку на чертеже провести перпендикуляр к пря-

β"

мой общего положения, по которому определяет-

ся расстояние от точки K до заданной прямой m,

b" m"

нельзя (прямой угол в этом случае не проециру-

a' 2'

a' m'

ется прямым). Следовательно, для решения нуж-

β'

но построить вспомогательную плоскость β, пер-

∆y

O' b'(//x)

пендикулярную к заданной прямой, которая бу-

дет геометрическим местом всех перпендикуля-

ров к этой прямой.

β(a ∩ b)

Для решения задачи требуется выполнить сле-

Рис.Т5.3

дующий г р а ф и ч е с к и й

а л г о р и т м :

1-е действие. Построить троим вспомогательную плоскость β, перпен-

дикулярную заданной прямой m, задав ее двумя пересекающимися прямы-

ми уровня a и b:

– горизонтальной прямой а: a" // x; a' m';

– фронтальной прямой b: b' // x; b" m".

2-е действие. Построить точку О(O',O") пересечения заданной пря-

мой m со вспомогательной плоскостью β(a∩b) по алгоритму построения

точки пересечения прямой

положенияс плоскостью общего поло-

жения (см. рис. 5.3).

днрименные проекции точек K и O: полу-

3-е действие. Соедини ь

ченный отрезок общего п л жения KO(K"O", K'O') и есть расстояние от

общего

точки до прямой, скаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Постро

натуральную величину построенного отрез-

ть

ка KO способом прямоугольного треугольника (см. рис. 5.3).

Структури ация

пятой лекции в рассмотренном объеме схе-

материала

матически представлена на рис. 5.4 (лист 1). На последующем листе 2 ком-

пактно

риведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления

материала при повторении (рис. 5.5).

го

изученн

Перпендикулярность

Ðèñ. 5.5, ã

Ðèñ. 5.5,

(h Uf)

Ðèñ. 5.5, â

Ðèñ. 5.5, á

Рис. 5.4

Ëèñò 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.08.201988.41 Кб3насосы.docx
#
31.05.2015467.68 Кб55Настя организация с мтр.docx
#
31.05.20152.03 Mб86начерталка 2 семестр метода с заданиями.pdf
#
31.05.20156.97 Mб64Начертательная геометрия. Часть 2.pdf
#
31.05.2015261.17 Кб32начертательная геометрия.docx
#
26.03.201610.1 Mб107Начертательная геометрия.pdf
#
26.03.201610.42 Mб166начертательная геометрия_заочники.doc
#
26.03.20165.18 Mб66наша практика ФЭС 110412(2).docx
#
31.05.20157.6 Mб83Недо-метода по ГП.docx
#
20.11.201989.6 Кб2недостающие вопросы по ММ.doc
#
31.05.20152.78 Mб465немецкий.doc