Начертательная геометрия. Часть 2

Н 36

Авторы:

Л.С. Корытко – лекции 9–10,

У

Ю.И. Садовский

– лекция 11,

М.К. Протасова – лекции 12,

И.М. Шуберт – лекции 13, 16–17,

Т

М.В. Кравченко – лекции 14–15, 18,

В.В. Тарасов – лекции 9, 15

Е.А. Телеш – графическое оформление

Н

Под редакцией В.В. Тарасова

Б

Рецензенты:

В.А. Столяр, П.В. Зелёный

й

Н 36

Начертательная геометрия: конспект

лекций

: в 2 ч. / Л.С. Корытко [и др.]; под ред.

В.В. Тарасова. – Минск: БНТУ, 2011. – Ч. 2: Метр ческ е задачи. Однокартинные изображе-

ния. – 118 с.

р

ISBN 978-985-525-535-3 (Ч.2).

часть 1 «Метод Монжа.

Позиционные задачи»,

Настоящий конспект лекций аз аб тан коллективом авторов кафедры «Инженерная

т

графика строительного профиля» Бел усск го национального технического университета и

предназначен для студен ов с р ельных специальностей.

Конспект состоит двух час ей:

часть 2 «Метр ческ е задачи. Однокартинные изображения».

Рассмотрены основные теоретические вопросы курса начертательной геометрии в соот-

ветствии с многолетней практ кой работы кафедры и увязкой с методикой проведения прак-

о

тических

анят й, решены многие типовые задачи, вызывающие у студентов наибольшие

трудн сти.

из

Часть 1: Мет д Монжа. Позиционные задачи, авторы: Ю.И. Садовский, М.Н. Петрович,

п

В. В. Тарас вз, Е.А. Телеш, издана в БНТУ в 2010 г.

УДК 515.18(075.8)

е

ББК 22.151.3я7

Р

ISBN 978-985-525-535-3 (Ч.2)

© БНТУ, 2011

ISBN 978-985-525-317-5

Произвольные линии в пространстве – строчными буквами латинского ал-

фавита a, b, c …

У

Прямые, параллельные плоскостям проекций:

горизонтали – h;

Т

фронтали – f;

профильные прямые – p.

Н

Плоскости общего положения, поверхности обозначаются заглавными

буквами греческого алфавита Ψ, Ω, Σ …

Б

Плоскости проекций – буквой греческого алфавита Π с добавлением ниж-

него индекса 1, 2, 3 …

й

Основные плоскости проекций:

горизонтальная – Π1;

и

фронтальная – Π2;

профильная – Π3.

р

Проекции точек, прямых и плоскостей на чертеже обозначаются теми же

о

буквами, что и в пространстве, с добавлением подстрочного индекса 1, 2, 3, со-

ответствующего плоскости пр екций, на кото ой они получены.

т

Обозначение основных пераций:

и

совпадение отмечае ся знаком ≡ ;

з

о

;

взаимная принадлежность – знаком

пересечение

тмечается знаком ∩;

е

результат остроения (логическое следствие) – знаком .

Р

Общие понятия. Способ замены плоскостей проекций

У

9.1. Общие понятия

Т

Решение многих пространственных задач (позиционных и метрических) на

эпюре часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты

Н

(оригиналы) расположены произвольно относительно плоскостей проекций и,

следовательно, проецируются на эти плоскости в искаженном виде. Задание на

Б

эпюре прямых и плоскостей частного положения значительно упрощает реше-

ние задач и делает его выполнимым при помощи простейших графических по-

строений. Например, проекции отрезка, расположенного наклонно ко всем

й

плоскостям проекций, не дают непосредственно его натуральную величину и

величину углов наклона его к плоскостям проекций (рис. 9.1, а).

и

р

о

т

и

трезок

Рис. 9.1

На рис 9.1, б

расположен параллельно фронтальной плоскости

проекций, эт му

н проецируется на эту плоскость без искажения, т. е.

ленных

|А2В2| = |АВо|.

Р

По данному чертежу определяется также и угол наклона прямой АВ к го-

У

Рис. 9.2

Б

Т

Для построения перпендикуляра из точки А(А1, А2) к горизонтальной пря-

мой h(h

,

h

) достаточно провести горизонтальную проекцию прямой А В

h

1

2

Н

1

1┴ 1

(рис. 9.3), по линии связи найти точку В2

й

и соединить ее с точкой А2.

и

р

о

т

и

з

Рис. 9.3

Рис. 9.4

Если

орямая l(l1, l2) – горизонтально проецирующая (рис. 9.4), то легко не

только остроить перпендикуляр АВ (А1В1, А2В2) из точки А к прямой l(l1, l2), но и

Р

Б

пространстве остается неизменным, а исходная система плоскостей проекций,

относительно которой задана фигура, заменяется новой.

При выборе новой плоскости проекций должен быть выполнен основной

принцип ортогонального проецирования (метода Монжа) – взаимной перпен-

П2

и

дикулярности плоскостей проекций, т. е. новую плоскость проекций необходи-

мо обязательно располагать перпенд кулярно

из основных исходных

плоскостей проекций.

р

одной

Пусть задана система плоскостей п оекц й П1

и П2 (в дальнейшем будем

обозначать сокращенно П

о

). Сп

еци уем точку А на эти плоскости и найдем

т

1

ее проекции А2

и А1 (рис. 9.5).

и

з

о

п

е

Р

ки А в системе П4 . Так как плоскость П1 осталась прежней, то и проекция точ-

П

1

ки А на эту плоскость не изменит своего положения.

Для получения новой фронтальной проекции точки на плоскость П4 опус-

Т

каем перпендикуляр из точки А на плоскость П4. Основание А4 этого перпенди-

куляра определяет искомую фронтальную проекцию точки А.

Установим, какая связь существует между проекциями А(А1, А2) и АУ(А1, А4)

одной и той же точки в обеих системах.

Горизонтальная проекция у них общая и так как расстояние точки А от

плоскости П1 не изменилось, то |АА1| = |А2Аx| = |А4Аx΄|, т. е. расстояние новой

фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию заменяемой проекции

до предыдущей оси.

Н

Чтобы перейти к эпюру, повернем плоскость П4 вокруг оси Х΄ и совместим с

плоскостью П1. Тогда и новая фронтальная проекцияБА4 совместится с плоско-

стью П1

и при этом окажется на одном перпендикуляре к осиХ1΄ с проекцией А1.

На рис. 9.6

показаны те построен я, которые надо произвести на эпюре.

Чтобы от проекций (А1, А2) точки А

йП

в с стеме

2 перейти к проекциям A1, А4)

П1

П4

и

той же точки в системе

, не бх димо п овести новую ось проекций Х΄, ко-

торая определяет

П1

р

г риз нтально-проецирующей плоскости П4, за-

тем из горизонтальной проекцочки А1 опустить перпендикуляр на новую

ось Х΄.

На построенном перпендикуляре отложить (от новой оси) отрезок

Аx А4

т

= АxА2. Полученная так м образом точка А4 является проекцией точки А

на плоскость П4.

положение

Замена г ри

нтальной плоскости П1 новой плоскостью П4 и построение

новых

з

П

2 осуществляется аналогично рассмот-

р екций т чки

А в системе

П4

р нному случаюос той лишь разницей, что теперь остается без изменения фрон-

тальная

ро кция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А5

п

точки А н обходимо из фронтальной проекции точки А2 опустить перпендику-

ляр на новую ось Х΄и отложить на нем от точки пересечения с осью Х΄ отрезок

е

А5Аx΄, равный расстоянию старой горизонтальной проекции от старой оси А1Ах

(рис. 9.7).

Р

У

Т

Н

Б

й

и

Рис 9.6

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 9.7

ния замены одной плоскости проекций бывает недостаточно.

У

На рис. 9.8 показан пример замены двух плоскостей проекций. Проекция

заданной точки А на плоскость П4 построена известным способом (см. рис. 9.6).

Для построения проекции точки А5

на плоскость П5 из точки А4

опущен перпен-

дикуляр на новую

Т

ось Х΄΄ и на этом перпендикуляре отложен отрезок

А2А5 = АХ΄А1.

Н

Б

й

и

р

и

о

з

т

Рис. 9.8

о

а тем, чтобы не происходило накладывания новых про-

Следует следить

екций на старые.

п

е

9.2.2. Основные задачи, решаемые способом замены

Р

плоскостей проекций

4

У

Т

Н

Рис. 9.9

Б

Решение этой задачи показано на рис. 9.9, б. Параллельно А1В1 проведена

прямой

ось Х΄, и в системе плоскостей проекций

П1

построена новая фронтальная

П4

проекция отрезка А4В4. Очевидно, что

|А4В4| = |АВ| и угол φ, образованный

проекцией А4В4

с осью Х΄, равен углу наклона

АВ к плоскости П1.

р

Задача 9.2. Преобразовать эпюр,

зоб аженный на рис. 9.10, так, чтобы

о

отрезок АВ прямой линии общего положенияиоказался перпендикулярным од-

ной из плоскостей проекций.

т

и

з

о

п

е

Р