Начертательная геометрия. Часть 2

У

Т

Н

Б

й

и

р

Рис. 10.9

о

Рассмотрим, как изменяется положение проекций точки при вращении ее

вокруг оси, перпендикулярн й к пл ск сти П1 (рис. 10.10).

т

и

з

о

п

е

Р

стве на плоскость П1 проецируется без искажения, так как она принадлежит

плоскости Σ, параллельной П1. Фронтальная проекция точки М(М2) перемеща-

ется по прямой, параллельной оси ОХ.

У

Вращение геометрических фигур сводится к вращению конечного числа то-

Т

чек, определяющих данную фигуру. При этом полезно иметь в виду следующее:

а) точки, лежащие на оси вращения, не меняют своего положения, осталь-

ные точки вращаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения;

б) все вращающиеся точки поворачиваются в одну сторону на один и тот

же угол;

Б

в) если ось перпендикулярна некоторой плоскости проекций, то проекции

на эту плоскость вращающейся фигуры в любом ее положении конгр уэнтны.

Последнее вытекает из рассмотренных свойств метода плоскопараллельногоН

перемещения, так как вращение вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям

проекций, представляет собой частный случай этого метода.

и

Рассмотрим, как на эпюре осуществляется перемещение отрезка общего

вращен2

положения в частное положение путем

йя вокруг оси перпендикулярной

плоскостям проекций.

бщего

1

Задача 10.5. Отрезок

АВ

п ложения преобразовать в положение,

параллельное плоскости пр екций П .

Чтобы осуществи ь

ак е пре бразование, достаточно повернуть отре-

и

зок АВ вокруг оси i П на угол α. Для сокращения количества геометрических

з

построений ось i В (р ст. 10.11).

о

п

е

Р

образования, следовательно, В1 ≡ В1/ и В2 ≡ В2/. Для нахождения точки А2/ необ-

ходимо из А1/ провести вертикальную линию связи и отметить точку ее пересе-

чения в горизонтальной прямой, проведенной через А2.

У

10.2.2. Вращение вокруг линий уровня

Т

Вращение вокруг линий уровня применяют в тех случаях, когда данную

плоскую фигуру требуется совместить с какой-либо плоскостью, параллельной

Н

плоскости проекций. В таком положении плоская фигура проецируется на со-

ответствующую плоскость проекций без искажения.

Б

На рис. 10.12 показано вращение точки А вокруг горизонтальной оси

й

и

р

о

т

и

з

о

п

Рис. 10.12

е

Точка А будет перемещаться по окружности с центром в точке С (точка

пересечения оси вращения с плоскостью Σ): С = h ∩ Σ. Радиус этой окружности

Рравен расстоянию от точки А до оси вращения h (R = АС).

Когда точка А, вращаясь вокруг оси h, совместится с плоскостью, парал-

лельной плоскости проекций П1, радиус вращения этой точки R = CA займет го-

ризонтальное положение и спроецируется наП1 без искажения: C1A1

= CA = R.

Задача 10.6. Определить натуральную величину расстояния от точки А до

горизонтали h.

Порядок решения задачи следующий.

У

1. Через горизонтальную проекцию А1 точки А проведем горизонтальный

след плоскости Σ (Σ1 h1) и отмечаем центр вращения С(С1С2).

Т

2. Определяем натуральную величину радиуса вращения Rвр.

= А0С1

(как

гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются гори-

зонтальная проекция радиуса вращения А1С1

и разность координат Z точек А и

С, ∆Z = ZА – ZC). Гипотенуза треугольника ∆С1А1А/ 0, С1А0

Н

= Rвр..

Новое, после поворота, положение точки А1 находится на пересечении ду-

/

/

Б

ги окружности, проведенной из горизонтальной проекции центра вращения С1

радиусом, равным С1А0, с горизонтальным следом Σ1 плоскости Σ.

АВС

Задача 10.7. Определить натуральную

величину

треугольника

(рис. 10.13). Используем метод вращения вокруг горизонтали h.

Точки D и А не меняют своего положения в процессе вращения треуголь-

ника (А1 ≡ А1 , D1 ≡ D1 ), так как они принадлежат оси вращения h (D h, А h),

а горизонтальные проекции точек В и С перемещаются по прямым, перпенди-

кулярным h1 (B1B1/ h1

и С1С1/ h1). Положенйе точки В1/ после поворота тре-

угольника определено описанным выше способом (О1В1/ = О1В0 = Rвр.). В ре-

о

зультате вращения треугольник АВС занялиположение А1/B1/C1/, параллельное

плоскости П1, и спроецировался на эту плоскость без искажений: А1/В1/C1/ =

рдинат

= ABC . Фронтальная проекция

реугрльника после поворота А2/B2/C2/ – прямая

линия, параллельная

оси

.

ко

з

о

п

е

Р

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

Рис. 10.13

е

Р

Общие понятия. Способы построения касательных плоскостей.

Основные типы задач по построению касательных плоскостей

У

11.1. Общие понятия

Т

Плоскостью, касательной к криволинейной поверхности в обыкновен-

ной точке

K, называется плоскость, определяемая двумя пересекающимися

Н

K (рис.

прямыми, касательными к этой поверхности в обыкновенной точке

11.1).

Б

й

и

т

р

ками

оРис. 11.1

Обыкновенными точ

поверхности являются точки, в которых можно

построить

только

одну касательную плоскость к поверхности.Особыми точками

поверхности считаются те, в которых нельзя построить только одну касательную

плоскость. Примерамизособых точек поверхности являются вершина конуса,

точка ребра в зврата и т. д.

ленной

Касательные плоскости применяются при построении линий пересечения

пов рхност й, очерков поверхностей, собственных теней поверхности, нормали

Р

прхности и т. д.

к пов

Для того чтобы провести прямую, касательную к поверхности в опреде-

к какой-либо линии, принадлежащей этой поверхности.

У

В качестве линий поверхности обычно используются линии ее определи-

теля или линии, которые легко могут быть построены графически. Например, у

поверхностей вращения это

параллели

и меридианы, у линейчатой

поверхности – ее прямолинейные образующие.

Т

На рис. 11.1 касательная плоскость к поверхности в точке K задается двумя

пересекающимися прямыми t1

Н

и t2, которые касательны двум кривым m и l,

принадлежащим заданной поверхности и проходящим через точку K.

Б

Касательная плоскость может иметь с поверхностью только одну общую

точку. В этом случае все линии поверхности, пересекающиеся в рассматриваемой

точке, находятся по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки поверх-

й

ности называются эллиптическими. Поверхности, у которых все точки эллипти-

ческие, являются выпуклыми криволинейными поверхностями. К ним относятся

сфера, эллипсоид вращения, параболоид

вращения

, закрытый тор и т. д.

Касательная плоскость может иметь с поверхностью общую линию (пря-

р

мую или кривую). Например, касательная плоскость касается торсовых поверх-

ностей вдоль их образующей – п ямой л н

. Она является касательной плос-

о

костью для всех его точек, лежащих на этой прямой. Точки поверхности, удо-

влетворяющие этому условию,

называются па аболическими. К ним относятся

т

точки развертываемых прям линейных поверхностей – конических, цилиндри-

ческих и с ребром возвра а.

и

Касательная плоскос ь к поверхности в данной точке может пересекать

поверхность, к которой она проведена. В пересечении могут получаться пере-

з

секающиеся две прямые, две кр вые либо прямая и кривая линии.

Точки

поверхности

, в которых касательная плоскость пересекает поверх-

ность, называются гиперболическими. Такие точки касания находятся на внут-

п

ренней верхн сти ткрытого тора.

через

11.2. Способы построения касательных плоскостей

Р

Наибол е распространенными являются следующие случаи построения ка-

сат льных плоскостей к поверхностям:

–

точку на самой поверхности;

Н

Задача 11.1.

Б

Построить плоскость, касательную к поверхности сферы в

точке K (рис. 11.2).

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 11.2

радиус, являющийся нормалью к касательной плоскости в точке K. Построен-

ная плоскость ему перпендикулярна.

У

Задача 11.2. Построить касательную плоскость к поверхности вращения в

точке K (рис. 11.3).

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 11.3

фронтальной проекции до совмещения с главным меридианом n2΄ и проведем

касательную t′′2 в точке K′2, лежащей на той же окружности параллели, что и

У

точка K, до пересечения с осью вращения фигуры в точке S2. Через эту же точку

S2 пройдет касательная t′ 2 после возвращения поворачиваемого меридиана n в

исходное положение. Для ее построения соединяем S2

и K2.

Т

Вторая касательная t строится с использованием окружности – параллели m.

Ее фронтальная проекция t2 на фронтальной плоскости проекций совпадает с

Н

проекцией m этой окружности параллели. Горизонтальная проекция t1

строится

как касательная прямая к горизонтальной проекции окружности– параллели m1.

Б

Касательные t и t′ и определят искомую касательную плоскость.

Отметим, что в этой задаче точка касания K также представляет собой эл-

липтическую точку касания.

й

Задача 11.3.

Построить плоскость, касательную к цилиндру в точке K

(рис. 11.4).

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р