Начертательная геометрия
.pdfиз свойств параллельного проецирования: отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций.
Пусть точка N делит отрезок EF в каком-то отношении. Следовательно, проекции отрезка делятся в том же отношении. Если, например, дана фронтальная проекция N" точки N, принадлежащей отрезку EF, то для построения горизонтальной проекции N' на горизонтальной проекции E'F' отрезка нужно выполнить следующие графические действия:
– провести произвольную прямую m из любой вершины горизонтальной проекции E'F';
– отложить на этой прямой два отрезка: отрезок E'Fo, равный по вели-
чине фронтальной проекции E"F", и отрезок E'No, равный по величине E"N"; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
– соединить прямой точки Fo и F' на горизонтальной проекции; У |
||||||||||||||||
|
– из |
|
построенной точки No |
провести |
прямую, параллельную |
пря- |
|||||||||||
мой FoF', – точка N' и будет искомой. |
|
|
|
Б |
Т |
||||||||||||
|
Прямые |
проецирующие – перпендикулярные одной плоско- |
|||||||||||||||
сти проекций (параллельные двум плоскостям проекций): |
|
|
|||||||||||||||
|
– фронтально-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
||
проекций V (параллельные плоскостям проекций H и W); |
|
|
|||||||||||||||
|
– горизонтально-проецирующие – перпендикулярные плоскости про- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оеци |
W); |
|
|
|
|||
екций H (параллельные плоскостям проекц |
V |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ецируется |
|
|
|
|
|
|
|||
|
– профильно-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости |
||||||||||||||||
проекций W (параллельные плоскостям п оекц й H и V). |
|
|
|||||||||||||||
|
!!! |
Поскольку положение |
п |
|
|
ующих |
прямых совпадает |
по |
|||||||||
направлению с проецирующим луч м к одной из плоскостей проекций, то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
(вырождается) в точку. Говорят, |
||||||||
одна из проекций прямых пр |
|
|
|
||||||||||||||
что проецирующие прямые |
бладают «собирательным» свойством, так как |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
очки«собирают», то есть представляют собой |
|||||||||||
их вырожденные проекц - |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекции всех точек, лежащ х на этих прямых. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
На рис. 2.5 ображены проекции фронтально-проецирующей прямой |
||||||||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
CD и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки распо- |
|||||||||||||||||
ложения |
|
екций фронтально-проецирующей прямой на чертеже: |
|
||||||||||||||
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
– фр нтальная проекция CD(C"D") представляет собой точку, т. е. |
||||||||||||||||
фронтальные |
|
р екции точек C, D и N совпадают как лежащие на одном |
|||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
про цирующем луче к плоскости проекций V; |
|
|
|
|
|||||||||||||
Р |
– горизонтальная проекция C'D' расположена перпендикулярно оси |
||||||||||||||||
про кций x и определяет натуральную величину прямой; |
|
|
|
– профильная проекция C"'D"' по построению располагается перпендикулярно оси проекций z и также определяет натуральную величину прямой.
!!! Конкурирующие точки – точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.
На рис. 2.5 точки C, D и N на прямой CD являются конкурирующими и по их расположению на прямой относительно плоскости V (по координатам y) можно определить на горизонтальной проекции порядок их «види-
20
мости»: ближе к наблюдателю и дальше от плоскости V (с наибольшей ко- |
|||||||||||||||||
ординатой y) находится точка D, затем точка N и точка C. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
Н.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
D"≡N"≡C" |
C"' |
N"' |
D"' |
|
|||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yС |
yN |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D"≡N"≡C" |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
C"' |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C' |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
N"' |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Н.в. |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D"' |
|
|
|
|
|
CD V – фронтально- |
||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C' |
N' |
|
D' |
|
|
|
|
|
N' |
|
|
проецирующая прямая У |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D' |
|
C, D и N – конкурирующие |
||||||
|
|
|
H |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
точки |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
y |
|
Н |
||
|
|
|
а |
|
|
|
|
Рис. 2.5 |
|
|
|
б |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
На рис. 2.6 изображены проекции горизонтально-проецирующей пря- |
||||||||||||||||
мой AB и принадлежащей ей точки C. Запомн те характерные признаки |
|||||||||||||||||
расположения проекций горизонтально-проец |
|
|
прямой на чертеже: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рующей |
|
|
|
||
|
– горизонтальная проекция AB(A'B') представляет собой точку, т. е. |
||||||||||||||||
горизонтальные проекции т чек A, B ииC совпадают как лежащие на одном |
|||||||||||||||||
проецирующем луче к плоск сти п |
екций H; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|||
|
– фронтальная проекция A"B" расположена перпендикулярно оси x |
||||||||||||||||
и определяет натуральную величину прямой; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
– профильная проекц |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A"'B"' |
по построению располагается парал- |
||||||||||||||
лельно оси z и также определяетнатуральную величину прямой. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
иz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Vз |
|
|
|
|
|
|
|
H |
z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
A" |
|
yA,B |
A"' |
|
|
|
|
|
A" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C" |
|
|
|
C"' |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
п |
С" |
|
A |
|
|
A"' |
|
|
Н.в. |
|
|
|
Н.в. |
|||
|
|
|
|
|
|
C"' |
|
|
|
B" |
|
|
|
B"' |
|
||
е |
|
B" |
|
С |
|
|
|
|
x |
|
O |
|
y |
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
A,B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B"' |
|
|
|
|
|
AB H – |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A'≡C'≡B' |
горизонтально- |
|||||
|
|
|
|
A'≡C'≡B' |
|
|
|
|
проецирующая |
||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
прямая |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
Рис. 2.6 |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
На рис. 2.7 изображены проекции профильно-проецирующей прямой EF
и принадлежащей ей точки M. Запомните характерные признаки расположения проекций профильно-проецирующей прямой на чертеже:
–профильная проекция EF(E"'F"') представляет собой точку, т. е. профильные проекции точек E, F и M совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций W;
–фронтальная проекция E"F" расположена параллельно оси x и определяет натуральную величину прямой; У
–горизонтальная проекция E'F' по построению также располагается параллельно оси x и также определяет натуральную величину прямойТ.W W E" M" F" НE"'≡M"'≡F"'
|
E" |
M" |
F" |
|
|
|
|
|
|
|
|
yE,F |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
E |
M |
|
E"'≡M"'≡F"' |
|
x |
|
|
|
O |
|
y |
||
x |
|
F |
|
|
|
|
|
E,F |
|
|
|
EF W – |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Б |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E' |
профильно- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F' |
|
проецирующая |
||
|
|
'E' |
M' |
|
F' |
|
|
|
|
Н.в. |
|
|
y |
|
прямая |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
и |
|
б |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
Определение по чертежу натуральной величины |
|||||||||||||||
отрезка прямой общего |
положения |
способом прямоугольного треуголь- |
|||||||||||||
ника и углов ее наклонатк плоскостям проекций H и V. |
|
|
|
||||||||||||
Натуральной вел ч |
|
ной заданного на чертеже отрезка прямой об- |
|||||||||||||
щего положения является гипотенуза построенного прямоугольного тре- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
угольника, дним катетом которого может быть горизонтальная (или фрон- |
|||||||||||||||
тальная) |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
р екция |
|
трезка, а вторым катетом этого треугольника будет |
|||||||||||||
разница к рдинат ∆z (или ∆y) конечных точек этого отрезка относитель- |
|||||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
но оси ро кций x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На рис. 2.8 показано построение натуральной величины заданного от- |
|||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р зка AB способом прямоугольного треугольника относительно фронталь- |
|||||||||||||||
ной и горизонтальной его проекций, для чего выполнен следующий графи- |
|||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческий алгоритм (графические действия): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1-е действие. Провести перпендикулярную линию m к фронтальной |
|||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекции AB(A"B") отрезка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2-е действие. На этой прямой линии отложить отрезок A"Ao, равный |
|||||||||||||||
разнице координат ∆y конечных точек А(А') и В(B') отрезка относительно |
|||||||||||||||
оси проекций x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
3-е действие. Достроить гипотенузу AоB" треугольника, которая опре- |
|||||||||||||||||||
деляет искомую натуральную величину отрезка АВ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A" |
|
Н.в. |
|
|
|
|
|
|
|
Натуральная |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A" |
|
величина AB |
m |
|||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Bo |
|
|
|
|
|
(гипотенуза) |
||||
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
φV |
Bo |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
∆y |
|
|
|
z |
|
|
∆y |
|||
|
|
|
|
∆z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
φV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
B" |
У |
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
B" |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
∆z |
A' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
φH |
B |
|
|
|
|
|
|
A' |
|
|
|
||||||
|
Ao |
Н.в. |
φH |
∆y |
|
|
|
∆z |
|
|
∆y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
B' |
|
|
|
|
Ao |
φH |
|
Т |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
n |
Натуральная |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B' |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина AB |
|
|
|
|||
|
|
а |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
(гипотенуза) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогичные построения выполнены относительно горизонтальной |
|||||||||||||||||||
проекции отрезка A'B' – гипотенуза А'Bо |
также определяет натуральную |
||||||||||||||||||
величину заданного отрезка. |
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В построенных прямоугольных т еугольниках углы между проекция- |
|||||||||||||||||||
ми отрезка и гипотенузой |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
пределяют углы наклона прямой к плоскостям |
|||||||||||||||||||
проекций H и V: |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– угол φV между фрон альн й пр екцией A"B" отрезка и гипотенузой |
|||||||||||||||||||
AoB" определяет наклон о резкаок плоскости проекций V; |
|
|
|
||||||||||||||||
– угол φH между гор зонтальной проекцией A'B' отрезка и гипотену- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
зой A'Bо определяет наклон отрезка к плос- |
|
|
|
|
|
|
Натуральная |
||||||||||||
кости проекций H. |
и |
|
|
|
|
|
|
25 мм |
величина AK |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kо |
||||
!!! |
В задачах |
по |
начертательной гео- |
|
|
|
|
|
|
Bо |
|
||||||||
метрии |
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
A" |
|
|
|
|
|
∆y |
||
|
|
требуется построить на пря- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
мой общего |
|
л жения, не имеющей второй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
часто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B" |
K" |
n" |
||||
кон чной точки, проекции отрезка какой- |
Гипотенуза |
|
|
|
|
||||||||||||||
либо заданной величины. |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На рис. 2.9 показано построение на пря- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
мой n с одной конечной точкой A проекций |
|
|
|
|
|
|
|
|
n' |
||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
отрезка AB заданной величины 25 мм, для |
|
|
|
|
|
|
K' |
|
|
||||||||||
чего выполнен следующий графический ал- |
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
B' |
|
|
|||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
горитм (графические действия): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1-е действие. Ограничить прямую n про- |
|
|
A' |
|
|
A"B" и A'B' – проекции |
|||||||||||||
извольным отрезком АК(А'K', A"K"). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
отрезка величиной 25 мм |
||||||||||||||
2-е действие. Построить натуральную |
|
|
|
|
|
Рис. 2.9 |
|
|
|||||||||||
величину произвольного отрезка АК спосо- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
бом прямоугольного треугольника относительно, например, фронтальной |
|||||||||||||||||||
проекции A"K" – это гипотенуза – A"Kо (см. рис. 2.9). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3-е действие. На построенной натуральной величине A"Ko (гипотену- |
||||||||||||||||||
зе) от точки A" отложить отрезок равный 25 мм и построить точку Bо. |
|||||||||||||||||||
|
4-е действие. Из построенной точки Bо провести перпендикуляр на |
||||||||||||||||||
проекцию n" заданной прямой n и получить точку B", т. е. построить фрон- |
|||||||||||||||||||
тальную проекцию А"В" отрезка АВ заданной величины 25 мм; по линии |
|||||||||||||||||||
связи определить горизонтальную проекцию B' точки B, т. е. построить го- |
|||||||||||||||||||
ризонтальную проекцию А'В' отрезка АВ заданной величины 25 мм. |
|
||||||||||||||||||
|
Понятие о следах прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Следами прямой называются точки ее пересечения с плоскостями про- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
екций. На рис. 2.10 показано построение на чертеже фронтального и гори- |
|||||||||||||||||||
зонтального следов прямой АВ и определено прохождение прямой по ок- |
|||||||||||||||||||
тантам пространства: из IV через I во II. |
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||
|
|
|
|
Н |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
II октант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II октант |
|||
|
Фронтальный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фронтальный |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
след |
|
|
|
lV≡lV'' |
|
|
|
|
|
|
|
след |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
B" |
|
|
I октант |
|
йA" |
l" |
|
B" |
lV≡lV'' |
||||
|
|
V |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
l" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
x |
lH'' |
I октант |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A" |
|
|
lV' |
|
|
|
и |
|
|
|
|
lV' |
||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
l' |
|
B' |
|||||||
|
|
|
|
|
|
B' |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lH'' |
|
|
l' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
о |
|
IV октант |
A' |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
H |
|
lH≡lH' |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lH≡lH' |
|
|
|
|
|||||
III октант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Гор |
зонтальный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
IV октант |
|
|
|
|
|
|
Горизонтальный |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
след |
|
|
|
|
|
|
|
след |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
а |
|
и |
|
Рис. 2.10 |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В з а и м н е п о л о ж е н и е д в у х п р я м ы х |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Две |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
рямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться |
|||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или скр щиваться. Запомните характерные признаки расположения на чер- |
|||||||||||||||||||
т |
про кций двух различно расположенных прямых. |
|
|
|
|
||||||||||||||
же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то |
||||||||||||||||||
их одноименные проекции на чертеже также параллельны. На рис. 2.11 |
|||||||||||||||||||
Ризображены параллельные прямые AB и CD. На чертеже фронтальные |
|||||||||||||||||||
и горизонтальные проекции прямых параллельны: A"B"//C"D" и A'B'//C'D'. |
|||||||||||||||||||
|
Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, |
||||||||||||||||||
то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии |
|||||||||||||||||||
связи. На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых EF и KN. |
24
Проекции точки их пересечения M(M",M') лежат на пересечении одноимен- |
||||||||||||||||
ных проекций прямых и на одной линии связи. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
B" |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D" |
|
|
|
|
|
|
B" |
D" |
|
|
|
A" |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C" |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
D |
|
|
|
|
|
||
|
A" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B' |
D' |
|||
|
|
|
|
A |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
B' |
D' |
|
|
A' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
H |
A' |
|
C' |
|
|
|
|
C' |
AB // CD |
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Т |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.11 |
|
Б |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
й |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
K" |
|
|
|||
K" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
M" |
F" |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E" |
|
||||
|
|
|
|
|
M" |
|
F" |
|
|
|
N" |
|
||||
|
E" |
|
K |
|
|
|
оN" |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
N' |
|
|
|
|
|
|
|
|
тN |
|
|
|
|
M' |
|
||||
x |
|
|
E |
|
|
|
|
|
E' |
F' |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
N' |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
иE' |
|
|
|
|
K' |
EF ∩ KN |
|
|||||
|
|
з |
|
|
M' |
F' |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак |
|
|||||
|
о |
H |
K' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
пересечения |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
п |
|
|
|
|
|
|
а |
|
Рис. 2.12 |
|
б |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скрещивающиеся прямые. |
Если две прямые не параллельны и не пе- |
|||||||||||||||
Рресекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции |
||||||||||||||||
могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном |
||||||||||||||||
проецирующем луче. На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещиваю- |
||||||||||||||||
щихся прямых АВ и CD. Их одноименные проекции накладываются и об- |
||||||||||||||||
разуют четыре конкурирующие точки (2 пары): |
|
|
|
|
25
–конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций H, но принадлежат разным прямым: точка 1 принадлежит прямой AB, а точка 2 – прямой CD; горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают;
–конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций V, но принадлежат разным прямым: точка 3
принадлежит прямой CD, а точка 4 – прямой AB; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают. УD"A" Т3"≡4"
|
|
|
1" |
|
3"≡4" |
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
2" |
B" |
|
|
|
2" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
B" |
|
D |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
||||
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
x |
C" |
|
|
||||||
|
C" |
|
|
3 |
|
B |
|
|
|
|
Н B' |
||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B' |
|
|
|
|
|
|
y4 |
|
|
|
|
|
|
|
4' |
|
|
|
|
|
|
Б |
y3 |
||||
|
|
C' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1'≡2' |
3' |
|
|
D' |
|
|
|
|
4' |
||||
|
|
|
A' |
|
|
|
|
|
|
|
C' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1'≡2' |
3' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йA' |
|
D' |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
и |
|
б |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.13 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
!!! Конкурирующие |
очки, как было сказано выше, позволяют наблю- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
||
дателю определить по чер ежу о носительное расположение прямых по их |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||||
удаленности от плоскостей проекций H и V: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
– по |
|
|
рующ м точкам 1 и 2 при взгляде на них сверху вниз на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плоскость H (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 |
|||||||||||||||||
(координата z1зб льше координаты z2), т. е. на горизонтальной проекции |
|||||||||||||||||
прямая АВ рас |
л жена над прямой CD; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
– о конкурирующим точкам 3 и 4 при взгляде на них снизу вверх на |
||||||||||||||||
|
|
конкур |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плоскость V ( |
о стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблю- |
||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дат лю (координата y3 больше координаты y4), т. е. на фронтальной проек- |
|||||||||||||||||
ции прямая CD расположена перед прямой АВ. |
|
|
|
|
|||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о проекции прямого угла. Частное поло- |
||||||||||||||||
жение прямых – перпендикулярные прямые |
|
||||||||||||||||
Р |
Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
прямым углом, т. е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между пер- |
|||||||||||||||||
пендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натураль- |
|||||||||||||||||
ную величину при определенном условии. |
|
|
|
|
|
26
|
Теорема о проекции прямого угла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
– если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости |
||||||||||||||||||||||
проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость |
|||||||||||||||||||||||
проекций угол проецируется в натуральную величину, т. е. прямым (90о). |
|||||||||||||||||||||||
|
На рис. 2.14 дано изображение, |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
o |
|||||||||||
поясняющее |
|
теорему |
|
о проекции |
|
Если <BAC = 90 |
|
, а BC // H, то <B'A'C' = 90 |
|||||||||||||||
прямого угла. |
Две перпендикуляр- |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
У |
||||||||||||
ные прямые AB и AC, образующие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
90° |
|
C |
|||||||||||||||
плоскость β, проецируются на неко- |
|
|
|
|
|
|
β |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
торую плоскость проекций H. Пря- |
|
|
|
B |
|
|
A' |
|
|
||||||||||||||
мая |
AС по |
|
условию |
|
параллельна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
90° |
|
|
|||||||||||||
этой плоскости проекций. Доказа- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
B' |
|
|
β' |
C' |
||||||||||||||||
тельство теоремы основано на из- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
вестной из геометрии теореме о трех |
|
|
|
|
|
n |
|
|
Т |
||||||||||||||
перпендикулярах (обратная теорема): |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
прямая n, проведенная в плоскости |
|
|
|
|
|
Рис. 2.14 |
|
|
|
||||||||||||||
H перпендикулярно наклонной пря- |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
мой АВ (n |
|
|
AB; n // A'C'), перпендикулярна и ее проекции; следовательно, |
||||||||||||||||||||
угол B'A'C' – прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
!!! Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по |
||||||||||||||||||||||
условию строить проекции прямого угла. |
й |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
На рис. 2.15, а, б пока- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
По услов ю: |
|
|
|
|
На чертеже: |
|
||||||||||||||
зано построение на чертеже |
|
|
|
KM MN |
|
|
|
K"M" M"N" |
|
||||||||||||||
недостающей |
фронтальн й |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
MN // V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
проекции |
|
|
прямого |
|
угла |
|
р |
|
|
|
|
K" |
|
|
|
N" |
|||||||
KMN. |
|
|
|
|
|
|
|
зобра-о |
|
|
N" |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
На рис. 2.15, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
жено графическое |
услов е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
M" |
|
|
|
|
|
|
M" |
|
|
|
задачи: дана гор |
онтальная |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
проекция |
|
K'M'N' |
|
прямого |
|
|
|
M' |
|
N' |
|
|
|
|
M' |
|
N' |
||||||
угла |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и фр нтальная проек- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ции |
M"N" |
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
дн й |
|
стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
этого угла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K' |
|
|
|
|
|
|
K' |
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
На рис. 2.15, б показано |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|||||||||
р ш |
задачи: так как од- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.15 |
|
|
|
|
|||||||
на сторона MN прямого угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
по условию является фрон- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тальной прямой, т. е. параллельна фронтальной плоскости проекций V, то |
|||||||||||||||||||||||
по теореме о проекции прямого угла на плоскость V заданный прямой угол |
|||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KMN должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную про- |
|||||||||||||||||||||||
екцию K"M" стороны KM прямого угла проводим перпендикулярно задан- |
|||||||||||||||||||||||
ной фронтальной проекции стороны MN(M"N"). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
На рис. 2.16, а, б показано построение на чертеже недостающей гори- |
||||||||||||||||||||||
зонтальной проекции прямого угла ECD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
На рис. 2.16, а изобра- |
|
|
По условию: |
|
На чертеже: |
|
|||||||||||||||||
жено графическое условие |
|
|
|
EC ED |
|
E'C' C' D' |
|
|||||||||||||||||
задачи: дана фронтальная |
|
|
|
|
CD // H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
проекция E"C"D" прямого |
E" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
угла и горизонтальная про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
екция C'D' одной стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D" |
|
|
|
|
|
|
|
|
D" |
|||||
|
|
|
C" |
|
|
|
|
|
C" |
|
|
|
|
|||||||||||
этого угла. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
На рис. 2.16, б пока- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D' |
|
|
|
|
|
|
|
|
D' |
||||
зано решение задачи: так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E' |
|
|
|
|
У |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
как одна сторона CD пря- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
мого угла по условию явля- |
|
|
|
|
C' |
|
|
|
|
|
C' |
|||||||||||||
ется горизонтальной пря- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
б |
|||||||||||||
мой, т. е. параллельна го- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ризонтальной плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.16 |
Т |
|
|||||||||||
проекций H, то по теореме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
о проекции прямого угла на плоскость H заданный прямой угол ECD дол- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
||||
жен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию |
||||||||||||||||||||||||
E'C' стороны угла EC проводим перпендикулярно заданной горизонталь- |
||||||||||||||||||||||||
ной проекции стороны CD(C'D'). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Структуризация материала второй лекц |
в рассмотренном объеме |
||||||||||||||||||||||
схематически представлена на рис. 2.17 (л ст 1). На последующих листах |
||||||||||||||||||||||||
2–4 компактно приведены иллюст ац |
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
к этой схеме, способствующие за- |
||||||||||||||||||||||
креплению изученного материала и его быстрому визуальному повторе- |
||||||||||||||||||||||||
нию (рис. 2.18–2.20). |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей |
||||||||||||||
|
проекций. Взаимное положение прямых. Способ прямоугольного |
||||||||||||||
|
|
треугольника. Теорема о проекции прямого угла |
|
||||||||||||
|
Ðèñ. 2.18, ä, å |
Ðèñ.2.18, â |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.18, à, á |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.20, à |
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.18, à, á |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||
|
Ðèñ.2.18, ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.19, æ, ç |
й |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.20, á |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.19, à, á |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.19, è, ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.20, â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ðèñ.2.19, â, ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Ðèñ.2.19, ë, ì |
|
|
Ðèñ.2.20, ã, ä, å |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
Ðèñ.2.19, ä, å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Прямые обозначают на чертеже строчными буквами латинского алфавита: а, |
||||||||||||||
в, m, n и т.д. Отрезки прямых обозначаются прописными буквами: АВ, MN и т.д. |
|||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак пареллельности прямых: АВ // |
MN. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Знак пересечения прямых: АВ |
U |
MN. |
MN. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Знак скрещивающихся прямых: АВ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.17 |
|
|
|
|
Ëèñò 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |