30 Http://joxi.Ru/mm3gUv3jtjcwEaipblM

31 Теорема 5.1 (Ферма)   Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует. Доказательство теоремы Ферма.     Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке максимум. Тогдапри всех, поскольку. Если взять, то, и поэтому. При вычислении производной мы переходим к пределу прив этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

Аналогично, при ,, и поэтому. Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:

Итак, выполняются два неравенства: и, что возможно лишь при.

Пусть теперь функция имеет в точкеминимум. Тогдапри всех, поскольку. Если взять, то, и поэтому. Переходя к пределу прив разностном отношении, получаем:

Аналогично, при ,, и поэтому. Вычисляя предел слева, получаем:

Из неравенств иполучаем, что.

32 Теорема 5.2 (Ролля)   Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой .

 Доказательство теоремы Ролля.     Так как при наших предположениях функция непрерывна на отрезке, то она принимает своё максимальное значениеи минимальное значениев некоторых точкахиэтого отрезка.

Рассмотрим два случая. Если , то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке:. Значит,при всех, и в качествев этом случае можно взять любую точкуинтервала.

Если же , то либо, либоотлично от 0 и, следовательно, либо точка, либо точкане совпадает с концами отрезкаи, то есть лежит внутри интервала. Пусть, для определённости,-- внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма,, поскольку по предположению доказываемой теоремы,имеет производную во всех точках интервалаи, следовательно, в точке. Итак, в этом случае точкуможно взять в качестве искомой точки: тогда.

33Теорема 5.3 (Лагранжа)   Пусть функция дифференцируема на интервалеи непрерывна в точкахи. Тогда найдётся такая точка, что

(5.1)

Доказательство теоремы Лагранжа.     Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и  -- это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда. 

Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Отношение конечных приращений и  -- это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной ( ) будет равен углу наклона хорды ( ). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки и  -- это график линейной функции . Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, , то

(мы учли то, что график линейной функции проходит через точку ).

Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию , то есть

Заметим, что и (по построению функции ). Так как линейная функция дифференцируема при всех , то функция удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что .

Заметим теперь, что

Значит, равенство можно переписать в виде

Таким образом, мы доказали формулу (5.1).      

 Теорема 5.4 (Коши)   Пусть функции идифференцируемы на интервалеи непрерывны прии, причёмпри всех. Тогда в интерваленайдётся такая точка, что

        Доказательство.     Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию

Функция , очевидно, является дифференцируемой при всехи непрерывной в точкахи, поскольку этими свойствами обладают функциии. Кроме того, очевидно, что приполучается. Покажем, что и:

Значит, функция удовлетворяет на отрезкеусловиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка, что.

Вычислим теперь производную функции :

Получаем, что

откуда получаем утверждение теоремы:

     http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/node52.htm

34ДАРБУ ТЕОРЕМА

если функция в каждой точке некоторого промежутка оси действительных чисел имеет конечную производную, то, принимая два каких-либо значения на этом промежутке, производная принимает на нем и любое промежуточное.

Пусть дифференцируема на . Тогда 

Доказательство:

Для определенности считаем, что , обратный случай доказывается аналогично. Рассмотрим вспомогательную функцию  . По определению производной,  При  Аналогично рассмотрим : при Функция — дифференцируема, а значит, также и непрерывна на, поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке. Пусть оно достигается в точке , тогда по теореме Ферма в этой точке. Значит,.