1Система аксиом действительных чисел.

Множество R действительных чисел может быть охарактеризовано следующими шестнадцатью ак­сиомами.

Аксиомы  сложения.

1. Для    любых    чисел    , определено единственное число , называемое суммой чисел .

2. Для любых имеет место соотноше­ние (коммутативность).

3.  Для   любых имеет   место соотношение (ассоциатив­ность).

4. Существует число такое, что для   всех  .   Числоносит   названиенуль.

5. Для  любого   числа существует числотакое, что.

Аксиомы   умножения.

6. Для любых чисел определено един­ственное числоназываемоепроизведением  чисел.

7. Для любых  имеет место  соотноше­ние  (коммутативность).

8. Для любых имеет место соотно­шение(ассоциативность).

9. Существует   число такое, чтодля     всех. Число 1 носит названиеединица.

10 Дня любого , существует, такое что

11. Для любых  имеем  (дистрибутивность).

12.  Для двух чисел , имеет место  одно (и только одно) из трех соотношений: и

13.  Для   любых  таких,   что и, справедливо соотношение  (транзи­тивность).

14.  Для любых таких, что, спра­ведливо соотношение.

15.  Для  любых  таких,  что   и, справедливо соотношение.

Если , то говорят, что а меньше b (или больше); в этом случае пишут также. Если или , или , то пишут . Действительные числа, удовлетворяющие неравенству , называютсяположительными; действительные числа, удовлетворяющие неравен­ству , называютсяотрицательными.

16.  Принцип   непрерывности   Дедекинда.   Пусть множество действительных чисел разделено на два   классатак,   что:   а)   классы  не  пусты; б) каждое действительное число относится    только    к    одному   классу;    в)    из условий  следует, что .

Тогда существует единственное действительное число такое, что все действительные числа, удовлетворяющие неравенству, принадлежат классу , а все действительные числа, удовлет­воряющие неравенству, принадлежат классу. Число называетсясечением множества действительных чисел.

2

Если , то A называетсяограниченным сверху множеством.  называется верхней границей множества А. Если , то A называетсяограниченным снизу множеством.  называется нижней границей множества А. Если , то A называетсяограниченным множеством.

Определение:

Если — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называетсяверхней гранью. ("супремум")

Определение:

Если — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называетсянижней гранью. ("инфимум")

Теорема:

Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (аналогично для А, ограниченного снизу).

Доказательство:

Пусть M — множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то . По определению верхней границы:. По аксиоме непрерывности: : .  — наименьшая из верхних границ А. Получили, что d — верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А . Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.

3Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши—Кантора

Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

Доказательство

1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков, поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка , разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки и, принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров выполняются неравенства:

В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров, начиная с некоторого будет выполняться неравенство

Взяв в этом неравенстве , получим

Противоречие. Лемма доказана полностью.