8 Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

     Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

     Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {x_n}, то для положительного ε = b - a можно указать номер Nтакой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x_n - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b -a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

9 Критерий коши сходимости последовательности

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

для любого существует такое натуральное , что для всех .

10 Свойства монотонных последовательностей

1. Пусть {a} – возрастающая (убывающая) последовательность, С – некоторое число. Тогда а) {a+С} – возрастающая (убывающая) последовательность; б) {Сa} – возрастающая (убывающая) последовательность при С>0; в) {Сa} – убывающая (возрастающая) последовательность при С<0. 2. Если одна из последовательностей {a} и {b} возрастающая, а другая неубывающая, то{a+b} – возрастающая последовательность; если же одна из этих последовательностей убывающая, а другая невозрастающая, то {a+b} – убывающая последовательность. 3.а) Если одна из последовательностей {a} и {b} возрастающая, а другая неубывающая, то {ab} – возрастающая последовательность при a>0, b>0 для любых nN и {ab} – убывающая последовательность при a<0, b<0 для любых nN; б) если одна из последовательностей {a} и {b} убывающая, а другая невозрастающая, то {ab} – убывающая последовательность при a>0, b>0 для любых nN и {ab} – возрастающая последовательность при a<0, b<0 для любых nN. 4. Если {a} – возрастающая (убывающая) последовательность, то а) {} – убывающая (возрастающая) последовательность приa>0 для любых nN; б) {} – возрастающая (убывающая) последовательность приa<0 для любых nN. 5. Если все члены последовательности {a} принадлежат множеству M, которое содержится в области определения функции у=f(x), то а) если {a} – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) возрастающая на множестве М, то {f(a)} – возрастающая (убывающая) последовательность; б) если {} – возрастающая (убывающая) последовательность и функцияу=f(x) убывающая на множестве М, то {f(a)} – убывающая (возрастающая) последовательность.

11 Прежде чем переходить к знаменитому в математике числу e, дадим без вывода одну железную формулу, которая называется биномом Ньютона.

Напомним, что (читается: n - факториал) есть произведение целых чисел от 1 до:

По определению считается.

Выражение (читаетсяизпо)

называется биноминальным коэффициентом. Другое выражение для

имеет вид

В частности ,,и т.д.

Бином Ньютона имеет вид

или в более явном виде

Отсюда легко получаются известные из школьного курса выражения для ,,и т.д.

Рассмотрим теперь последовательность с членами

, .

1. Получим другое выражение для . Используя формулу бинома Ньютона, получим.

2. Покажем, что . Для этого запишем рядоми.

Так как , то,. Поэтому каждое слагаемое вбольше соответствующего слагаемого в. Кроме того, весть “лишние” положительные слагаемое

которого не было в . Поэтому.

3. Покажем теперь, что ограничена сверху.

Действительно, так как , то

.

Но так как

 

и вообще то< и

где в процессе выкладок использована формула для суммы геометрической прогрессии.

Итак, монотонно возрастает и. Поэтому существуеткоторый и называется числом e.

.

Это число чрезвычайно популярно в математике и в дальнейшем будет постоянно встречаться.

12 Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно или .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.^[1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.

13 Определение 1 (Коши). Число         называется пределом функции       в точке      , если для любого положительного числа         существует положительное число       такое, что для всех       , удовлетворяющих неравенству 

,

выполняется неравенство 

.

Если функция       имеет предел         в точке      , то говорят, что функция       стремится к числу         при      , стремящемся к      . При этом записывают 

.

        Определение 2 (Гейне). Число         называется пределом функции       в точке      , если для любой сходящейся к       последовательности аргументов 

,

соответствующая последовательность значений функции 

сходится к числу        . 

Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функция имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана переменная, не равная ни при какомчислуи стремящаяся к. Зададими подберемтак, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральноетак, чтобыдля.  Но тогда

  для  ,

а это значит, что последовательность чисел  стремится к, и так как это свойство верно для любой сходящейся кпоследовательности, лишь быи всепринадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует второе.

Наоборот, пусть функция имеет предел в смысле второго определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы одно, которое мы обозначим через, для которого нельзя подобрать нужное, т. е. для любогосреди, удовлетворяющих соотношениям, должно найтись хотя бы однотакое, что для него.

В качестве мы берем все числа видаи для каждого из них найдем точку, для которой

и

.

  Из этих соотношений видно, что , в то время какзаведомо не стремится к числу. Таким образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.

Эквивалентность двух определений доказана.