- •1Система аксиом действительных чисел.
- •4 Открытое покрытие отрезка
- •Первое доказательство
- •Второе доказательство
- •5Предельная точка множества. Предел функции в точке
- •6Предел последовательности
- •7Свойства сходящихся последовательностей
- •8 Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •9 Критерий коши сходимости последовательности
- •10 Свойства монотонных последовательностей
- •14 Св-ва пределов
- •21 Http://joxi.Ru/qmtgUhjKtja2asPky84
- •23 Непрерывность обратной функции
- •24Теорема (о разрывах монотонной функции)
- •Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.
- •30 Http://joxi.Ru/mm3gUv3jtjcwEaipblM
- •35 Http://joxi.Ru/19jGUhjKtjbaAdNjO7m
- •41 Введение в специальность – искать там
- •44 Http://joxi.Ru/6t_gUhjKtja7AdX473u
1Система аксиом действительных чисел.
Множество R действительных чисел может быть охарактеризовано следующими шестнадцатью аксиомами.
Аксиомы сложения.
1. Для любых чисел , определено единственное число , называемое суммой чисел .
2. Для любых имеет место соотношение (коммутативность).
3. Для любых имеет место соотношение (ассоциативность).
4. Существует число такое, что для всех . Числоносит названиенуль.
5. Для любого числа существует числотакое, что.
Аксиомы умножения.
6. Для любых чисел определено единственное числоназываемоепроизведением чисел.
7. Для любых имеет место соотношение (коммутативность).
8. Для любых имеет место соотношение(ассоциативность).
9. Существует число такое, чтодля всех. Число 1 носит названиеединица.
10 Дня любого , существует, такое что
11. Для любых имеем (дистрибутивность).
12. Для двух чисел , имеет место одно (и только одно) из трех соотношений: и
13. Для любых таких, что и, справедливо соотношение (транзитивность).
14. Для любых таких, что, справедливо соотношение.
15. Для любых таких, что и, справедливо соотношение.
Если , то говорят, что а меньше b (или больше); в этом случае пишут также. Если или , или , то пишут . Действительные числа, удовлетворяющие неравенству , называютсяположительными; действительные числа, удовлетворяющие неравенству , называютсяотрицательными.
16. Принцип непрерывности Дедекинда. Пусть множество действительных чисел разделено на два классатак, что: а) классы не пусты; б) каждое действительное число относится только к одному классу; в) из условий следует, что .
Тогда существует единственное действительное число такое, что все действительные числа, удовлетворяющие неравенству, принадлежат классу , а все действительные числа, удовлетворяющие неравенству, принадлежат классу. Число называетсясечением множества действительных чисел.
2
Если , то A называетсяограниченным сверху множеством. называется верхней границей множества А. Если , то A называетсяограниченным снизу множеством. называется нижней границей множества А. Если , то A называетсяограниченным множеством. |
Определение: |
Если — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называетсяверхней гранью. ("супремум") |
Определение: |
Если — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называетсянижней гранью. ("инфимум") |
Теорема: |
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (аналогично для А, ограниченного снизу). |
Доказательство: |
Пусть M — множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то . По определению верхней границы:. По аксиоме непрерывности: :
Получили, что d — верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А . Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А. |
3Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши—Кантора
Для всякой системы вложенных отрезков
существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.
Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:
то — единственная общая точка всех отрезков данной системы.
Доказательство
1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков, поскольку
В силу аксиомы непрерывности, существует точка , разделяющая эти два множества, то есть
в частности
Последнее неравенство означает, что — общая точка всех отрезков данной системы.
2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки и, принадлежащие всем отрезкам системы:
Тогда для всех номеров выполняются неравенства:
В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров, начиная с некоторого будет выполняться неравенство
Взяв в этом неравенстве , получим
Противоречие. Лемма доказана полностью.