4 Открытое покрытие отрезка

Леммой Гейне — Бореля ^[1], а также леммой Бореля — Лебега ^[2] называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе:

Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также покрывающую этот отрезок.

Первое доказательство

Это доказательство проводится методом Больцано (деления пополам) и опирается на лемму Коши — Кантора о вложенных отрезках. Во многом оно аналогично доказательству леммы Больцано — Вейерштрасса о предельной точке.

Пусть отрезок [a,b] покрыт бесконечной системой интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок [a,b] пополам на два равных отрезка: и . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из . Обозначим его [a₁,b₁] и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из . Но если — точка в которую стягиваются отрезки, то, поскольку лежит на отрезке [a,b], она должна входить в некоторый интервал системы . Тогда все отрезки последовательности [a_k,b_k], начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом . Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.

Это доказательство, с очевидными изменениями, проводится и для пространства произвольной размерности. Указанное доказательство можно найти в ^[3] и в ^[2] (в последней книге сразу для случая произвольного метрического пространства).

Второе доказательство

Другое доказательство леммы Гейне — Бореля принадлежит Лебегу ^[2]. Оно не использует лемму о вложенных отрезков, а опирается на свойство полноты множества действительных чисел в форме принципа существования точной верхней грани.

Пусть система интервалов покрывает отрезок [a,b]. Обозначим через M множество всех точек , для которых отрезок [a,x] может быть покрыт конечным числом интервалов из . Ясно, что если всякий отрезок вида может быть покрыт конечным числом интервалов из , то же верно и для отрезка [a,x]: для этого возьмем интервал , покрывающий точку x, и добавив его к конечному покрытию какого-нибудь отрезка [a,x'], где , получим конечное покрытие отрезка [a,x]. Более того, полученная конечная подсистема интервалов покрывает не только отрезок [a,x], но и некоторый отрезок вида [a,x''], где x'' > x.

Из первого следует, что точная верхняя грань множества M принадлежит множеству M. Из второго, что она должна быть равна b. Тем самым, , то есть отрезок [a,b] может быть покрыт конечным числом интервалом из .

5Предельная точка множества. Предел функции в точке

Пусть . Числоназываетсяпредельной точкой множества X, если

Из определения следует, что любая окрестность точки x₀ содержит точку из множества X, отличную от x₀. Сама точка x₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.

Значение +∞ есть предельная точка множества X, если

Значение -∞ предельная точка множества X, если

Точка , не являющаяся предельной точкой множестваX, называется изолированной точкой множества X, т. е.

Число называетсяпредельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, сходящуюся к x₀. (Данное определение и определение, указанное в самом начале эквивалентны)