Matan_Lec_1

1

К лекции 1

Множество вещественных чисел

Аксиоматика вещественных чисел, аксиома полноты, максимальный и минимальный элементы множества, точная верхняя и точная нижняя грани.1

1.Множества и операции над ними

Строго говоря, множеству нельзя дать точного определения. Обычно говорят, что множество это собрание, совокупность, класс вещей, объединенных по какомулибо признаку. Однако, сказанное не может служить строгим математическим определением, поскольку опирается на понятия, не определенные ранее.2

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Запись a A означает, что a – элемент множества A. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным. В противном случае – бесконечным. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Будем говорить, что два множества A и B совпадают (равны) и писать A = B, если они содержат одни и те же элементы, т.е. если каждый элемент x A является одновременно и элементом множества B, и обратно, каждый элемент x B является одновременно и элементом множества A.

Будем говорить, что множество A содержится в множестве B и писать A B, если каждый элемент x A является одновременно элементом множества B. Множество A называется в этом случае подмножеством B.

Пересечение множеств A и B есть множество

A ∩ B = {x : x A и x B} ,

т.е. множество всех x принадлежащих одновременно A и B.

Объединением (суммой) A B двух множеств A и B называется множество всевозможных x, таких что x A либо x B, т.е. множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B. Мы имеем

A B = {x : x A или x B} .

Разностью множеств A и B называется множество A\B = {x A : и x 6B}.

Пример 1. Докажите следующие соотношения (так называемые правила де Моргана3):

M\ (A B) = (M \ A) ∩ (M \ B),

M\ (A ∩ B) = (M \ A) (M \ B).

Пусть A и B – произвольные множества. Множество

A × B = {(a, b) : a A и b B}

образованное всеми упорядоченными парами (a, b), называется прямым или декартовым произведением множеств A и B.

1Используемая литература: В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Основы математического анализа, части I и II, М.: Наука, 1971 и 1980; Л.Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, тома I и II, М.: Высшая школа, 1981; А.А. Клячин, А.Г. Лосев, В.М. Миклюков, Математический анализ в кратком изложении, части I и II, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2006.

2Действительно, в свою очередь, ’собрание’ это ’множество, совокупность, класс’ вещей ... и т.д.

3Морган де Огастес (27.6.1806–18.3.1871) – шотландский математик и логик.

2

Пример 2. Проиллюстрируйте геометрически декартовы произведения:

a)двух отрезков,

b)двух прямых,

c)прямой и круга.

2.Аксиоматика

Множество элементов R называется множеством действительных (вещественных) чисел, если оно обладает следующими свойствами:

I. Аксиомы сложения.

Для каждой пары a, b R существует элемент c R, называемый их суммой и обозначаемый a + b. При этом операция сложения такова, что:

1.a + b = b + a (коммутативность);

2.a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность);

3.в множестве R существует элемент, обозначаемый символом 0 такой, что a R, выполнено:

a + 0 = a (аксиома существования нуля);

4. a R b R : a + b = 0, этот элемент обозначается символом −a и называется элементом, противоположным a.

II. Аксиомы умножения.

Для каждой пары a, b R определено действительное число c, называемое их произведением и обозначаемое a · b, при этом операция умножения такова, что:

1.a · b = b · a (коммутативность);

2.a · (b · c) = (a · b) · c (ассоциативность);

3.(a + b) · c = a · c + b · c (дистрибутивность);

4.1 R : a R, a 6= 0 выполнено a · 1 = a;

5.a R, a 6= 0, b R : a · b = 1. Этот элемент обозначается a1 и называется обратным к элементу a.

III.Аксиомы порядка.

В множестве R определено понятие неравенства так, что для любых двух различных элементов a, b R выполнено одно и только одно из соотношений: либо a < b, либо b < a; при этом отношение неравенства обладает следующими свойствами:

1.Если a < b и b < c, то a < c (транзитивность).

2.Если a < b, то a + c < b + c, c R.

3.Если a > 0 и b > 0, то ab > 0.

Замечание. Если a < b или a = b, т.е. если элемент a не превосходит элемента b, то пишут a ≤ b.

IV. Аксиома полноты.

Зададим произвольно два непустых множества A и B из R. Если для любых двух элементов a A и b B выполнено a ≤ b, то существует элемент c R, такой что

a ≤ c ≤ b, a A, b B.

Замечание. Множество Q всех рациональных чисел удовлетворяет всем перечисленным аксиомам, кроме аксиомы полноты, называемой также аксиомой непрерывности или аксиомой отделимости.

3

3.Числовая прямая

Как известно из курса средней школы, множество вещественных чисел R можно отождествить с множеством точек на прямой. Поэтому часто мы будем называть элементы множества R точками, а также прибегать к другой геометрической терминологии.

Если a и b произвольные действительные числа и a < b, то множество

{x R : a < x < b}

называется интервалом (или открытым промежутком) и обозначается символом (a, b). Множество

{x R : a ≤ x ≤ b}

называется отрезком (или замкнутым промежутком) и обозначается [a, b]. Рассматриваются также и полуоткрытые промежутки (полуинтервалы):

[a, b) = {x R : a ≤ x < b};

(a, b] = {x R : a < x ≤ b}.

Всевозможные промежутки (открытые, замкнутые, полуоткрытые) будем обозначать символом ha, bi. Длиной промежутка ha, bi называется число b − a.

4.Максимальный и минимальный элементы

Пусть A R - произвольное множество. Элемент a0 A называется максимальным или наибольшим (минимальным или наименьшим) элементом в множестве A, если для любого a A выполнено

Пример. Множество [a, b) = {x R : a ≤ x < b} имеет минимальный элемент, равный a, но не имеет максимального элемента.

Число |a| = max{a, −a} называется абсолютной величиной (модулем) числа a.

5.Точная верхняя и точная нижняя грани

Говорят, что множество A R ограничено сверху (снизу), если существует число M R такое, что для любого a A выполнено a ≤ M(a ≥ M). Число M называется в этом случае верхней (нижней) гранью множества A.

Пример 1. Рассмотрим множество A = [0, 1). Произвольное число M ≥ 1 является верхней гранью этого множества, а произвольное число M ≤ 0 является нижней гранью множества A.

Множество A R называется ограниченным, если существует M R такое, чтоa A выполнено |a| ≤ M.

Пример 2. Множество A = {x R : x ≥ 5} является ограниченным снизу и неограниченным сверху, и, следовательно, является неограниченным.

4

Вообще, множество A не ограничено, если для любой постоянной M R найдется число a0 A такое, что |a0| > M.

Наименьшее из чисел, ограничивающих множество A сверху, называется точной верхней гранью. Наибольшее из чисел, ограничивающих множество A снизу, называется точной нижней гранью множества A. Обозначения:

sup a = sup A

a A

точная верхняя грань (supremum),

inf a = inf A

a A

точная нижняя грань (infimum).

Вообще, если множество имеет максимальный (минимальный) элемент, то этот же элемент и является точной верхней (точной нижней) гранью данного множества.

На ’языке’ неравенств последнее определение записывается в следующем виде. Число a0 R является точной верхней (точной нижней) гранью множества ,

если:

а) a A выполнено a ≤ a0 (a ≥ a0);

б) ε > 0 существует число a A такое, что a > a0 − ε (a < a0 + ε).

Теорема 5.1 (о существовании точных граней). Всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань и притом единственную.

Доказательство. Поскольку минимальный элемент в множестве является единственным, нам достаточно показать, что ограниченное сверху множество действительных чисел A имеет точную верхнюю грань. Рассмотрим два множества: первое – само множество A, второе – множество M его верхних граней. Оба эти множества не пусты. По определению верхней грани для любой пары элементов a A, m M выполнено a ≤ m. Следовательно, данная пара множеств A и M удовлетворяет условиям аксиомы полноты и поэтому существует вещественное число c R : a ≤ c ≤ m такое, что a A, m M. Элемент c M, поскольку он является верхней гранью для A. Элемент c является наименьшим в множестве M. Тем самым по определению

точной верхней грани: c = sup a.

a A

Доказать самостоятельно существование точной нижней грани.

6.Открытые и замкнутые множества

Пусть a R – некоторая точка. Зададим произвольно положительное число ε > 0. Множество

(a − ε, a + ε) = {x R : |x − a| < ε}

называется ε-окрестностью точки a.

Иногда ε-окрестность точки a будем обозначать Uε(a).

Пусть A R – произвольное множество. Точка x0 R называется точкой сгущения множества A (или предельной точкой множества A), если всякая е¨ ε- окрестность содержит точку a A, a 6= x0. Другими словами,

ε > 0 a A : a 6= x0, |a − x0| < ε .

5

Подчеркнем, что точка сгущения множества A может как принадлежать множеству A, так и не принадлежать ему.

Пример 1. Пусть A = [0, 1) – полуинтервал. Множество точек сгущения есть отрезок [0, 1].

Пример 2. A = [0, 1) {2}. Множество точек сгущения есть отрезок [0, 1].

Множество A R называется открытым, если всякая точка a A содержится в A вместе с некоторой своей окрестностью.

Пример 3. Пусть A = (0, 1) (1, 3). Множество A – открытое.

Множество A R называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения.

Замечание. Можно доказать, что только два множества являются одновременно и замкнутым и открытым – это пустое множество и вся числовая прямая R.

7.Символы +∞ и −∞

Удобно расширить числовую прямую R, добавив к ней два ‘идеальных’ элемента −∞ и +∞. При этом мы имеем

(−∞, +∞) = R

и

R = R {+∞} {−∞} .

Запись x R означает, что либо x R, либо x = +∞, либо x = −∞. Дальнейшие обозначения:

(a; +∞) = {x R : a < x},

[a; +∞) = {x R : a ≤ x},

(−∞; a) = {x R : x < a},

(−∞; a] = {x R : x ≤ a} .

Пусть ε – произвольное число. Множества (ε; +∞) и (−∞; ε) называются ε- окрестностями точек +∞ и −∞ соответственно.

Упражнения:

•Пользуясь аксиомами порядка, доказать, что если в числовом множестве имеется максимальный (минимальный) элемент, то этот элемент единственный (методом ’от противного’).

•Доказать следующие свойства абсолютной величины:

a. a R : |a| ≥ 0 и |a| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.

b.|ab| = |a| |b|.

c.|a + b| ≤ |a| + |b| (неравенство треугольника).

d.||a| − |b|| ≤ |a − b| .

e.Пусть ε > 0 – произвольное число, тогда для любого x R следующие высказывания эквивалентны: |x| < ε и −ε < x < ε.

6

•Доказать, что множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено и сверху и снизу.

•Сформулировать, что означает неограниченность сверху (снизу) множества A?