Matan_Lec_2-3

1

К лекциям 2 - 3

Предел числовой последовательности

Предел последовательности, предел суммы, разности, произведения и частного, предел монотонной последовательности, число ’e’, критерий Коши. 1

1.Понятие предела

Говорят, что задана числовая последовательность {an}+n=∞k, если по некоторому правилу каждому натуральному числу n ≥ k ставится в соответствие вещественное число an.

Примеры:

1.{n1 }+n=1∞ = 1, 12 , 13 , . . . , n1 , . . .

2.{(−1)n}+n=∞−1 = −1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .

3.{1 + (−1)2n}+n=4∞ = 2, 2, 2, 2, . . . , 2, . . .

Не всегда для данной последовательности можно указать формулу, по которой находится общий член an через порядковый номер n. Еще Евклидом доказано, что простых чисел бесконечно много и, тем самым, за каждым простым числом имеется следующее. Таким образом, простые числа образуют последовательность. Вместе с тем формулы, выражающей общий член an данной последовательности через номер n, до настоящего времени не найдено.

Говорят, что последовательность {an}+n=∞k задана рекуррентной формулой, если имеется некоторое правило f, посредством которого каждый член an последовательности выражается через предыдущие члены, т.е.

an = f(an−1, an−2, . . . , an−p), p ≤ n − k.

Примеры:

1.an = an−1 + an−2. Здесь для задания всей последовательности {an} необходимо задать еще a1 и a2.

2.an+1 = 0, 2an−1 − 1, 3a2n + 1. Проследите на калькуляторе за поведением данной последовательности.

3.При вычислениях на ЭВМ очень часто используются рекуррентные последовательности вида: an+1 = f(an). Здесь для задания всей последовательности необходимо задать хотя бы один ее член, например a1. Такие последовательности называются

итерационными.

Определение 1. Пусть {an}+n=1∞ = a1, a2, . . . , an, . . . – произвольная последовательность и a R – число. Говорят, что a есть предел последовательности an при

n → +∞ и говорят, что последовательность {an} стремится к a, либо что последовательность {an} сходится к a.

1Используемая литература: В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Основы математического анализа, части I и II, М.: Наука, 1971 и 1980; Л.Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, тома I и II, М.: Высшая школа, 1981; А.А. Клячин, А.Г. Лосев, В.М. Миклюков, Математический анализ в кратком изложении, части I и II, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2006.

2

Неравенство |an −a| < ε означает, что все an расположены в ε-окрестности точки a. Поэтому определение предела последовательности an может быть переформулировано следующим образом

Определение 1’. Число a есть предел последовательности {an}∞n=1 при n → ∞, если всякая ε-окрестность точки a содержит все члены последовательности {an}, начиная с некоторого номера.

Это неравенство мы в точном виде решить не знаем как. (Доказано, что общей формулы для корней уравнения выше четвертой степени не существует.) Поэтому выполним сначала оценку

Безусловно, найденное число N(ε) оказалось больше, чем то, которое мы нашли бы, решив неравенство ( ). Однако в определении предела точного значения N(ε) не требуется.

Сформулируем, что означает выражение “число не является пределом последовательности {an}∞n=1 при n → ∞”:

ε0 > 0 такое, что N = 1, 2, 3, . . . n(N), для которого

|an(N) − a| ≥ ε0.

Пример. Проверим, что последовательность

{an} = {(−1)n}∞n=0

не имеет пределом число 1. Выберем ε0 = 1. Тогда какой бы номер N мы ни брали, всегда найдется нечетное n > N, для которого |(−1)n − 1| = |2| ≥ 1.

2.Простейшие свойства предела

Теорема 1. Никакая последовательность не может иметь двух не равных между собой пределов.

Доказательство. Предположим противное, т.е. найдутся последовательность {an}∞n=1 и числа a0 6= a00 такие, что

3

предела следует существование номера N1(ε0) такого, что n > N1(ε0) выполнено

Положим N(ε0) = max{N1(ε0), N2(ε0)}. Тогда при n > N(ε0) оба неравенства (3) и

(4) выполняются одновременно. Поэтому

|a0 − a00| = |a0 − an + an − a00| ≤ |a0 − an| + |an − a00| < 23 |a0 − a00|.

Противоречие. Определение 1. Последовательность {an}∞n=1 называется ограниченной, если

существует число M > 0 такое, что |an| ≤ M n = 1, 2, . . .

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {an} – произвольная сходящаяся последовательность и пусть a – ее предел. По ε = 1 найдется N(1) такое, что n > N(1) выполнено |an − a| < 1. Тогда |an| − |a| < 1 и мы получаем

Положим L = max{|a1|, |a2|, . . . , |ak|}, где k – наибольшее целое число, меньшее либо равное N(1). Тогда для любого n = 1, 2, . . . выполнено

Действительно, если n ≤ N(1), то |an| ≤ L и, тем самым, выполнено (6). Если n > N(1), то справедливо соотношение (5) и, следовательно, соотношение (6).

Задача. Что означает, что последовательность an не ограничена? Не ограничена сверху, снизу? Привести примеры таких последовательностей. Привести пример расходящейся, но ограниченной последовательности.

3.Предельный переход в неравенстве

Имеет место

Теорема 1. Пусть {an}∞n=1 и {bn}∞n=1 произвольные, сходящиеся к a и b соответственно последовательности. Предположим, что

Доказательство. Зафиксируем произвольно ε > 0. Т.к. an → a, то по ε1 = 2ε > 0 найдется N1(ε1) такое, что |an − a| < ε1 n > N1(ε1). В частности,

4

Аналогично, т.к. bn → b, то по ε1 = 2ε > 0 существует N2(ε1) такое, что |bn − b| < ε1 и, в частности,

Пусть N = max{N1(ε1), N2(ε1)}. Тогда при всех n > N неравенства (3) и (4) выполняются одновременно. Поэтому в силу неравенств (1), (3) и (4) имеем:

a < an + ε1 ≤ bn + ε1 < b + 2ε1 = b + ε,

т.е. a < b + ε для любого ε > 0. Ясно, что данное свойство справедливо тогда и только тогда, когда a ≤ b. Упражнение. Выяснить остается ли теорема верной, если каждое из нера-

венств заменить строгим, т.е. an < bn , a < b.

Теорема 2 (устойчивость неравенств). Пусть {an}∞n=1 и {bn}∞n=1 – произвольные сходящиеся к a и b соответственно последовательности. Тогда, если a < b, то N такое, что

Доказательство. Выберем ε > 0 столь малым, чтобы ε-окрестности Uε(a), Uε(b) точек a и b не пересекались. Ясно, что

Пусть N = max{N1(ε), N2(ε)}. при n > N одновременно выполняются оба свойства

(7) и (8). Поэтому при n > N из (6) выводим an < bn. Т.е. соотношение (5) действительно справедливо.

Теорема 3 (принцип “сжатой последовательности”). Пусть {an}∞n=1 и {bn}∞n=1

– последовательности, сходящиеся к одному и тому же числу q. Предположим, что для третьей последовательности {cn}∞n=1 выполнено:

Тогда последовательность cn сходится, и притом к числу q.

Доказательство. Центральным моментом является доказательство существования предела последовательности cn, поскольку, если бы это мы знали, то теорема следовала бы из теоремы о предельном переходе в неравенстве. Итак, покажем, что предел cn существует и равен q. Зададим произвольно ε > 0 и обозначим через Uε(q) ε-окрестность точки q. Т.к. an cходится к q, то существует N1(ε) такое, чтоn > N1(ε) выполнено

При n > N = max{N1(ε), N2(ε)} свойства (10) и (11) выполняются одновременно. Пользуясь соотношением (9), заключаем, что при n > N выполнено

−ε ≤ an − q ≤ cn − q ≤ bn − q ≤ ε,

т.е. cn Uε(a) n > N,

т.е. последовательность cn сходится к q.

5

4.Бесконечно малые и бесконечно большие

Определение 1. Говорят, что последовательность {αn}∞n=1 является бесконечно малой, если αn → 0 при n → ∞.

Примеры:

1.{21n }∞n=1– бесконечно малая.

2.{log2(1 + 31n )}∞n=1– бесконечно малая.

Замечание. Из определения предела последовательности ясно, что если αn бесконечно малая, то последовательность также {|αn|} – бесконечно малая (б.м.).

Теорема 1. Если {αn}∞n=1 бесконечно малая и c R – постоянная, то {c αn}∞n=1 также бесконечно малая.

Доказательство. Если c = 0, то утверждение очевидно. Поэтому пусть c 6= 0. Зададим ε > 0. Так как αn бесконечно малая, то по ε1 = > 0 N1(ε1) : n > N1(ε1) выполнено |αn| < |εc| , т.е. |cαn| < ε.

Теорема 2. Пусть даны две последовательности {αn}∞n=1 и {βn}∞n=1, причем |βn| ≤ αn n = 1, 2, . . . Тогда, если αn бесконечно малая, то βn также бесконечно малая.

Доказательство. Мы имеем: −αn ≤ βn ≤ αn n = 1, 2, . . . По теореме 1 последовательность (−αn)– бесконечно малая. Пользуясь принципом сжатой последовательности, получаем нужное.

Теорема 3. Пусть даны две последовательности: {αn}∞n=1 и {βn}∞n=1, из которых αn ограничена, а βn– бесконечно малая. Тогда их произведение есть также бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Так как αn ограничена, то существует M : |αn| ≤ M n = 1, 2, . . . Отсюда имеем |αnβn| = |αn||βn| ≤ M|βn| n = 1, 2, . . . По теореме 1 (примененной дважды ) последовательность {M|βn|} – бесконечно малая. На основании теоремы 2 заключаем, что последовательность {αnβn} – бесконечно малая.

Следствие. Если αn и βn – бесконечно малые последовательности, то их произведение αnβn – тоже бесконечно малая последовательность.

Теорема 4. Если {αn}∞n=1 и {βn}∞n=1 – бесконечно малые, то последователь-

При любом n > N = max{N1(ε), N2(ε)} неравенства (1) и (2) выполняются одновременно. А потому:

ε ε

|αn ± βn| ≤ |αn| + |βn| < 2 + 2 = ε

т.е.αn ± βn– бесконечно малая. Определение 2. Говорят, что последовательность {an}∞n=1 является бесконечно

большой положительной (бесконечно большой отрицательной) и пишут lim an =

n→∞

+∞(−∞), если

E > 0 N(E) : an > E (an < −E) n > N(E).

7

Доказательство. Положим an − a = αn, bn − b = βn. По лемме 1 последовательности {αn}, {βn} – бесконечно малые. Мы имеем

По лемме 2 последовательность bn отграничена от нуля, т.е. существуют c > 0, N > 0 такие, что |bn| ≥ c, n > N. Тем самым для всех достаточно больших n выполнено

бесконечно малая.

6.Четыре последовательности

Ниже нам потребуется бином Ньютона и некоторые его следствия. Пусть a, b R, n ≥ 1 – целое. Справедлива формула:

n→∞

Случай 1. Пусть p > 1.

8

√

Положим xn = n p − 1, тогда xn > 0 и согласно неравенству (2)

p = (1 + xn)n ≥ 1 + nxn.

Таким образом, 0 < xn < p−n1 . На основании принципа сжатой последовательности, замечаем, что существует

√

lim xn = 0 lim n p = 1.

n→∞ n→∞

Cлучай 2. При p = 1 утверждение тривиально.

Случай 3. Пусть 0 < p < 1.

Т.е. третий случай сводится к первому.

lim (1+p)n = 0.

n→∞

Для доказательства пусть k – такое целое число, что k > α, k > 0. Для n > 2k в силу (1) имеем

Т.к. α < k, то nα−k → 0 при n → ∞. Переходя к пределу, получаем нужное.

7.Монотонные последовательности

Пусть {an}∞n=1 – произвольная последовательность вещественных чисел. Говорят, что последовательность an возрастает, если

an < an+1, n = 1, 2, . . .

10

Покажем, что существует предел lim {an} = √s. Действительно, последователь-

n→∞

ность не возрастает и ограничена снизу. Значит, она имеет предел (по доказаной

8.Принцип вложенных отрезков

Теорема. Пусть дана бесконечная последовательность вложенных один в другой отрезков

[a1, b1] [a2, b2] . . . [an, bn] . . . ,

длины которых стремятся к нулю при n → ∞. Тогда существует, и притом единственная, точка c R, принадлежащая одновременно всем отрезкам [an, bn] и такая, что

lim an = c = lim bn .

n→∞ n→∞

Доказательство. Рассмотрим две последовательности {an} и {bn}. Последовательность {an} не убывает и ограничена сверху, например, числом b1. По теоре-

ме о монотонной последовательности lim an = c0. Из аналогичных соображений

n→∞

lim bn = c00.

n→∞

Покажем, что c0 = c00. Действительно по теореме о пределе разности двух после-

Действительно, поскольку an не убывает, то an ≤ c, n = 1, 2, . . . Но bn не возрастает и потому bn ≥ c, n = 1, 2, . . .. Следовательно, an ≤ c ≤ bn, т.е. c [an, bn], n = 1, 2, . . .

Замечание. Предположим, что в результате измерения физической величины a (скорость, давление, плотность и т.п.) получено число a˜, ясно, что оно рациональное. Говорят, что абсолютная погрешность измерения величины a не превосходит некоторого положительного числа , если |a˜ − a| ≤ , т.е. число

a˜ [a − , a + Δ] = J(Δ).

Как правило, точное числовое значение величины a не известно, а известен всего лишь отрезок J(Δ), в пределах которого оно находится. Основное допущение, на котором базируются приложения методов математического анализа в естествознании, состоит в том, что величина a может быть измерена со сколь угодно высокой точностью.