Matan_Lec_2-3

12

Заметим теперь, что последовательность tn является возрастающей. Действительно, если от tn перейти к tn+1, т.е. увеличить n на единицу, то прежде всего добавится новый n + 2 член (положительный). Каждый из написанных n + 1 членов увеличится, ибо любой из множителей в круглых скобках вида (1 − ns ) заменится большим множителем (1 − n+1s ).

Итак, для любой пары чисел n ≥ m выполнено tn ≥ tm. Кроме того, при n ≥ m

Последовательность αn(m) возрастает с ростом n (при фиксированном m число членов в сумме αn(m) остается неизменным, равным m + 1 , а каждое из чисел в круглых скобках увеличивается).

Итак, все три последовательности {αn(m)}, {tn}, {Sn} монотонно возрастают с ростом n и ограничены сверху. Поэтому они имеют пределы. На основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (2) имеем

≤ lim tn ≤ e.

k! n→∞

k=0

Переходя к пределу при m → ∞, получаем:

e = lim Sm ≤ lim tn ≤ e,

m→∞ n→∞

т.е. lim tn = e.

n→∞

Определение 2. Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются loge a = ln a.

Ясно, что ln a = logb a , b > 0, b 6= 1.

logb e

Примеры: 1. Найдем предел последовательности

{( nn ++ 21 )n}∞n=1.

Мы имеем

= /n + 1 = m, n → ∞ m → ∞/ =

13

10.Подпоследовательности

Пусть {an}∞n=1 = a1, a2, a3, . . . , an, . . . – произвольная последовательность. Последовательность an1 , an2 , . . . ank , составленная из членов последовательности {an}, называется подпоследовательностью последовательности an, если n1 < n2 < ... < nk < ... Если предел подпоследовательности {ank }∞k=1 существует, то он называется частичным пределом последовательности {an}.

Примеры: 1. {an} = 1, 2, . . . , n, . . . – последовательность, {ank } = 2, 4, 6, . . . , 2k, . . .

– подпоследовательность.

2. {sin 2n} = sin 2, sin 4, sin 6, . . . – последовательность, {ank } = sin 4, sin 8, . . .

– подпоследовательность.

3. Пусть {an} = {(−1)n}, n = 1, 2, . . .

Найдем все частичные пределы данной последовательности. Только два типа подпоследовательностей являются сходящимися, т.е. имеют частичные пределы. К первому типу относится подпоследовательность при n = 2k : 1, 1, . . . → 1 ( с частичным пределом единица). Ко второму типу относится подпоследовательность при

Определение. Пусть {an} – прoизвольная последовательность. Говорят, что a

есть верхний предел {an} и пишут

a = limn→∞an, если

1)существует подпоследовательность ank → a;

2)ε > 0 N(ε) : n > N(ε) выполнено an < a + ε.

Говорят, что a есть нижний предел an и пишут

a = limn→∞an, если

1)существует подпоследовательность ank → a;

2)ε > 0 N(ε) : n > N(ε) выполнено an > a − ε.

Пример. {an} = {(−1)n}. Здесь limn→∞an = 1

иlimn→∞an = −1.

Упражнения: 1. Привести пример последовательности {an} такой, что ее нижний предел an равен −1, верхний предел равен 1, а множество всех частичных пределов совпадает с отрезком [−1, 1].

2. Пусть {an} – произвольная последовательность и A – множество всевозможных ее частичных пределов. Доказать, что

limn→∞an = inf x,

x A

а

limn→∞an = sup x.

x A

14

Теорема. Последовательность {an} имеет пределом число a тогда и только тогда, когда limn→∞an = limn→∞an = a.

Доказательство. Пусть an сходится к a, тогда любой ее частичный предел равен a, и, следовательно,

limn→∞an = limn→∞an = a.

Обратно, предположим, что верхний предел совпадает с нижним и равен a. Фиксируем произвольно ε > 0. Тогда

При n > N = max{N1(ε), N2(ε)} неравенства (1) и (2) выполняются одновременно. Поэтому n > N имеем

−ε < an − a < ε |an − a| < ε.

По определению предела последовательности заключаем, что предел существует и равен a.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть {an}∞n=1 – произвольная ограниченная последовательность. Тогда m, M такие, что: m ≤ an ≤ M n = 1, 2, . . .

Разделим отрезок [m, M] пополам точкой S = m+2M . Тогда хотя бы один из отрезков [m, S] или [S, M] содержит бесконечно много членов последовательности an. Обозначим его через [m1, M1].

Отрезок [m1, M1] разделим пополам точкой S1. Хотя бы один из отрезков [m1, S1] или [S1, M1] содержит бесконечно много членов последовательности an. Обозначим его [m2, M2].

Продолжая этот процесс неограниченно, построим последовательность вложенных один в другой отрезков

[m, M] [m1, M1] [m2, M2] . . . [mk, Mk] . . . ,

длины которых равны M−m и стремятся к нулю при k → ∞. При этом каждый из

2k

отрезков [mk, Mk] содержит бесконечно много членов последовательности an. Выберем подпоследовательность. Пусть an1 произвольный член последователь-

ности an, содержащийся в отрезке [m1, M1]. Т.к. отрезок [m2, M2] содержит бесконечно много членов последовательности an, то существует an2 [m2, M2], an2 6= an1 и номер n2 > n1 Продолжая!!! процесс неограниченно, найдем подпоследовательность

{ank }, такую что ank [mk, Mk].

Покажем, что данная последовательность (подпоследовательность {ank }) имеет предел (сходится). Последовательности {mk} и {Mk} являются соответственно неубывающей и невозрастающей последовательностями, описанными в теореме о вложенных отрезках. По этой теореме существует

lim mk = lim Mk = C,

k→∞ k→∞

т.е. концы отрезков сходятся к одному и тому же числу. Т.к. mk ≤ ank ≤ Mk, то на

основании принципа сжатой последовательности заключаем, что lim ank = C.

k→∞

15

11.Критерий Коши

Определение. Последовательность {an} называется последовательностью Коши (или фундаментальной последовательностью), если

ε > 0 N = N(ε) : n, m > N(ε) выполнено |an − am| < ε.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была последовательностью Коши.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть an → a. Покажем, что {an} – фундаментальна. Зададим ε > 0. Т.к. an сходится, то N = N(ε) : n > N(ε) выполнено |an − a| < 2ε (из определения предела). Пусть прoизвольные n, m > N(ε). Тогда

ε ε

|an − am| = |an + a − a − am| ≤ |an − a| + |a − am| ≤ 2 + 2 = ε.

2)Достаточность. Пусть {an} – фундаментальная последовательность. Зададим

ε> 0. Тогда N(ε) : n , m > N(ε) выполнено |an − am| < ε, т.е. −ε < am − an < ε. Фиксируя m и допустив изменения n , видим, что все an , начиная с некоторого номе-

ра, лежат в ε-окрестности точки am. Это означает ограниченность последовательности an. Согласно теореме Больцано-Вейршрасса, существует подпоследовательность {ank }, сходящаяся к некоторому числу a. Покажем, что и вся последовательность an сходится к a. Фиксируем произвольное ε > 0. Т.к. ank сходится к a, то

max{N1(ε), N2(ε)} свойства (1) и (2) выполняются одновременно. Поэтому n > N, имеем

ε ε

|an − a| = |an − ank + ank − a| ≤ |an − ank | + |ank − a| < 2 + 2 = ε,

т.е. an стремятся к a. Упражнения: 1) Доказать, что последовательность {(−1)n + 1}∞n=0 не является

последовательностью Коши.

2) Что означает выражение "последовательность {an} не является последовательностью Коши"?