- •1Система аксиом действительных чисел.
- •4 Открытое покрытие отрезка
- •Первое доказательство
- •Второе доказательство
- •5Предельная точка множества. Предел функции в точке
- •6Предел последовательности
- •7Свойства сходящихся последовательностей
- •8 Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •9 Критерий коши сходимости последовательности
- •10 Свойства монотонных последовательностей
- •14 Св-ва пределов
- •21 Http://joxi.Ru/qmtgUhjKtja2asPky84
- •23 Непрерывность обратной функции
- •24Теорема (о разрывах монотонной функции)
- •30 Http://joxi.Ru/mm3gUv3jtjcwEaipblM
- •35 Http://joxi.Ru/19jGUhjKtjbaAdNjO7m
- •41 Введение в специальность – искать там
- •44 Http://joxi.Ru/6t_gUhjKtja7AdX473u
14 Св-ва пределов
1° Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:
2° Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
3° Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
4° Константу можно выносить за знак предела:
5° Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:
Критерий Коши о существовании предела функции.
Определение 10 (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа найдется положительное (), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию
0<|x1-a|<, 0<|x2-a|<,
справедливо неравенство
|f(x1-f(x2)|<.
Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( limx af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.
Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x().
15
первый замечательный пердел
предел
1. . Рассмотри окружность радиуса и некоторый угол x с вершиной в центре окружности. В точке проведем касательную к окружности . Тогда, как видно из рисунка,. Поэтому .
Так как высота равна , а , то , т.е. при
.
Деля все части этого неравенства на
,
и “переворачивая” его, получим
т.е.
.
Но
,
где использовано то, что и то, что согласно левой части неравенства ,
Поэтому окончательно
.
При ссылаясь на теорему “о двух милиционерах” получим, что
или .
16 асимптотические формулы для простейших элементарных функций
http://joxi.ru/0r3GUhjKTJBHAfoSJGU
17 символы ландау
Если , такое, чтокроме, быть может, самой точкиx0, выполняется неравенство
|g(x)| < ε|f(x)|,
то записываем
g = o(f)
при x → x0. При этом в случае g(x) → 0, f(x) → 0 при x → x0 считаем, что фунция g есть бесконечно малая более высокого порядка, чем f; если жеg(x) → ∞, f(x) → ∞ при x → x0, то считаем, что бесконечно большая функция g имеет порядок роста ниже, чем f.
Если существует интервал такой, что, то записьg = O(f) означает, что отношение g(x)/f(x) ограничено при , а записьg = o(f), что g(x)/f(x) → 0 при x → x0.
Символы O и o называются символами Ландау.
Функции g и f называются эквивалентными, если f - g = o(g), т. е. если такое, чтовыполняется неравенство |f(x) -g(x)| < ε|g(x)|.
При этом записываем f ~ g, а равенство f = g + o(g) называем асимптотическим равенством.
Пусть иg(x) > 0 , тогда
Справедливы асимптотические равенства
sin x = x + o(x), tg x = x + o(x) при x → 0.
18
Экспоне́нта — показательная функция , где e — Число Эйлера ().
Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:
или через предел:
Здесь x — любое комплексное число.
19Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .
Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.
а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде
б) Так как х0=lim x, то непрерывность в точке х0 можно записать в виде
Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода
в) Обозначим x=x-x0 (приращение аргумента) и f=f(x)-f(x0) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х0 означает, что , т.е. бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.
Введем обозначения:
если эти пределы существуют.
Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева (справа) если f(x0)=f(x0 – 0) (f(x0)=f(x0+0)). Очевидно,что непрерывность в точке х0 означает непрерывность слева и справа одновременно.
Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. если
Обратите внимание, где стоит квантор, это важно.
Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х0, то говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет разрыв.
Односторонний предел по Гейне Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .[1]
Односторонний предел по КошиЧисло называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .[1]
Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.
Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.
20http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ma/01/04/t.htm