Teoria_TViMS

36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа Φ(x) . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раза приблизительно равно.( Вмести фи ставить Ф)

Pn (m1 m m2 ) (x2 ) (x1),

Эта формула дает хорошее приближение при больших n, npq>10, n>>100/

Свойства: 1) Нечетная; 2) Ф(∞)=0,5 (1/√2π∫0∞Ф(t)dt =0,5 3) монотонно возрастает производная Ф(х) = фи от икс. 4) Ф(х) прибл-но = 0,5, когда х>= 5

37.Укажите выражение для функции Лапласа Ф(x). Докажите нечётность функции Ф(x) и нарисуйте график y=Ф(x). Чему равно Ф(-12)?

График: симметричен относительно начала координат, проходит через (0;0). Горизонтальные асимптоты: -0,5 и

0,5.

Ф(-12) = -0,5.

38.Используя интегральную приближённую формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события А от вероятности p наступления A в одном опыте.

В условиях схемы Бернулли с заданными значениями n и p для данного >0 оценим вероятность события

np- n k np+ n. Таким образом, речь идёт о получении оценки для вероятности события k1 k k2, где k1 =

вместо n единицу и получаем окончательный ответ.

11

42. Сформулируйте основные свойства функции распределения сл величины и продемонстрируйте их на примере.

Р0,2 0,4 0,3

рассматриваться как закон распределения дискретной случайной величины?

СВ Х называется дискретной, если мн-во ее значений не более чем счетно, т.е конечно или счетно. По опр сумма значений строчке * должна быть равна 1. То есть, нет не может.

45. Дана дискретная случайная величина с законом распределения

Что является её функцией распределения F(x)? Постройте график F(x) и опишите его точки разрыва. Как вычисляется вероятность P(a X b) ?

Пусть хо - любое число. Среди чисел х1 , x2, ... выделим те, которые меньше х0. Пусть ими будут хi1, xi2 ,....

Событие x<х0 является суммой событий X = хi2, X – xi1 , ..., поэтому его вероятность равна pi1 + pi2 +... F(x)= ∑pi График для X на три значения: хь х2, хз. x1 < х2 < хз. График представляет собой ступенчатую ломаную со скачками в точках х1 х2, х3. Величины скачков равны соответственно p1,p2,p3 - Левее график совпадает с осью Ох,

правее c прямой y=1. P(a≤X≤b)=P(b)-P(a).

46. Что называется геометрическим распределением с параметром p? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p?

Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью наступает событие А. Опыты продолжаются до первого появления события А, после чего прекращаются. Рассматривается случайная величина - х число

13

47 Что называется биномиальным распределением с параметрами n и p? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

Пусть производится определенное число п независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью р может наступить некоторое событие А. Рассматриваемая случайная величина Х- число наступлений событий А в п опытах. Соответствующая таблица имеет вид:

48. Какой закон распределения называется законом Пуассона? Увяжите с предельной теоремой Пуассона.

испытаниях, = np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что с.в.распределена по закону Пуассона. (Есть спец.таблицы для нахождения P n (k), зная k и . В виде таблицы это выглядит так

Предельная теорема Пуассона выводит формулу для предела Pn(k). Но так как Pn(k) – число (вероятность), то предел от числа равен числу, сл-но отсюда и вытекает ф-ла пуассоновского распределения.

49. Как определяется независимость случайных величин? Игральную кость бросают 200 раз. Пусть X1 – число выпадений грани 1; X2 – число выпадений грани 2 . Будут ли зависимыми случайные величины X1 и X2 ? Ответ обоснуйте.

X и Y независимы, если выполняется равенство P(X=a, Y=b) = P(X=a)P(Y=b). P(X1=200) = (1/6)200 (т.к. опыт проводился 200 раз).

Следовательно, можно записать P(X1=200, Y1=200) = 0. Однако такого быть не может, т.к. если одна грань выпала 200 раз, то вторая уже не может (она эти 200 раз НЕ ВЫПАЛА). Следовательно эти величины зависимы.

50. Пусть X,Y,X – независ СВ, принимающие с вероятностью 1\2 значения 0 и 1. Верно ли, что X+Y и Y+Z – независ СВ?

P(x+y=0, y+z=0)=P(x=y+z=0)=1\8; P(x=0)*P(y=0)*P(z=0); P(x+y=0)*P(y+z=0)=1\16 – P(x+y,y+z)=1\4*1\4 1\8 1\16 - зависимые.

51Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности

Математическое ожидание или среднее значение ДСВ Х с законом распределения (см табличку с маленькими иксами и вер-ми) называется число (сумма абсолютно сходящегося ряда) Е(Х) =х1*р1+…+хn*pn

Пусть случайная величина X связана с некоторым опытом. Провели n испытаний и при этом возникла статистика

бесконечности = X1*p1 + X2*p2 т.к по статистическому определению вероятность события примерно равна отношению числа успехов к общему числу испытаний.

Lim X = X1*p1 + X2*p2 =E(X)

14

52. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины x с законом распределения

Называется число M (x) x1 p1 x2 p2 ...

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1)Математическое ожидание случайной величины равно ей самой: М(С)=С

2).Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М(сХ)=сМ(Х).

Следовательно: M(aX+bY)=aM(X)+bM(Y) Если Х>=0 (P(X<0)=0), то E(X)>=0

3)Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. Ожиданий:

M (x1 x2 ... xn ) M (x1) M (x2 ) ... M (xn )

4)Если случайные величины x1, x2 ,...xn независимы, то мат. ожидание их произведений равно произведению их мат. ожиданий: M (x1x2...xn ) M (x1)M (x2 )...M (xn )

5)Мат. ожидание от функции (x) равно: M ( (x)) (x1) p1 (x2 ) p2 ... (xn ) pn

6)Неравенство Йенсена. Для любой выпуклой вниз ф-и фи от икс справедливо Е(фи(Х))>=фи(Е(Х))

Для определения суммы и произведения случ. вел. Х и У будем считать, что мы рассматриваем случайную величину Z g(X ,Y ) , где g(X,Y) – некоторая числовая функция. Тогда система (Х,У) характеризуется следующей

54. Может ли математическое ожидание дискретно случайно величины, принимающей целые значения, быть числом не целым? Ответ обойснуйте.

Математическое ожидание дискретной случайное величины, принимающей целые значения, может быть числом нецелым. Например, найдём математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости, обозначим указанную случ. величину через X, принимающий целые значения (1; 2; 3; 4; 5; 6). Её закон распределения имеет вид:

M X 1 16 2 16 3 16 4 16 5 16 6 16 3,5 - нецелое число

15

55. Пусть X – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание m . Докажите, что P(X ≥ 5) ≤ m/5 .

X Y

M(x) M(y), M(y)= aP(X a) aP(X a) M(x)

P(X a) M (x) a

В нашем примере a=5 (т.е. a=const), a>0, M(x)=m

56. Докажите, что если X и Y – независимые дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то E(XY)=E(X)E(Y)

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Возможные значения X обозначим x1, x2, …, возможные значения Y - y1, y2, … а pij=P(X=xi, Y=yj). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А M(XY)= xi y j pij Ввиду

i, j

независимости величин X и Y имеем: P(X= xi, Y=yj)= P(X=xi) P(Y=yj). Обозначив P(X=xi)=ri, P(Y=yj)=sj, перепишем данное равенство в виде pij=risj

57. Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то E(X +Y) = E(X ) +E(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:M(X+Y)= M(X)+M(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения(*)( возьмем 2 значения):

аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p11,p12,p21,p22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: M(X+Y) = (x1+y1)* *p11+(x1+y2)* p12+(x2+y1)* p21+(x2+y2)* p22, или M(X+Y) = x1*(p11+p12)+ x2*(p21+p22)+ +y1*(p11+p21)+ y1*(p12+p22). Докажем, что p11+p12=p1. Событие,

состоящие в том, что X примет значение x1 (вероятность этого события равна p1), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x1+y1 или x1+y2 (вероятность этого события по теореме сложения равна

p11+p12), и обратно. Отсюда следует, что p11+p12=p1. Аналогично доказываются равенства p21+p22=p2, p11+p21=g1 и p12+p22=g2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим M(X+Y)=(x1p1+x2p2)+(y1g1+y2g2), или

M(X+Y)= M(X)+M(Y).

16

58.Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией. Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]2. Более удобная формула: D(X)

= M(X 2) −M2 (X). Св-ва: 10. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0. 20. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=С2D(X). 30. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y)= D(X)+D(Y). 40. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y). 50 Прибавление( вычитание) константы к случайной величине не меняет ее дисперсии. D(X+C)=D(X).

59.Докажите, что если X – дискретная случайная величина, то D(X) = E(X 2) −E2(X).

Док-во: Математическое ожидание E(X) есть постоянная величина, следовательно, 2E(X) и E2(X) также постоянные величины. D(X) = E(X 2) −E2 (X)= E[X-E(X)]2=E[X2-2XE(X)+E2(X)]=E(X2)-2E(X)E(X)+E2(X)=E(X2)-2E2(X)+E2(X)=E(X2)- E2(X). т.е. D(X) = E(X 2) −E2(X).

60. Пусть X – дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство E(X 2)<(E(X ))2 ? Ответ обоснуйте.

По определе ни ю ди сперсии D(X )=E[X -E(X )] 2 , тогда

D(X )=E[X 2 -2 Х E(X )+ E 2 (X)]= E (X 2 ) -2 E 2 (X )+ E 2 (X)= E(X 2 )- E 2 (X ).

Итак , дл я л юбой с . в . Х D(X )= E (X 2 )- E 2 (X), D(X )≥0 , поэто му дл я любой с. в . Х все гда

выпол няет ся неравенство E(X 2 ) ≥ E 2 (X ). По этому неравенство E ( Х 2 )< [E (X)] 2 выпол нят ься не может .

61. Докажите, что если X и Y – независимые случайные величины, то

D[XY]= D[X ] D[Y ]+M[X ]2 D[Y ]+M[Y ]2 D[X ].

D(XY) = (M(XY)2)-[M(XY)]2 = M(X2Y2)-(M(x))2(M(Y))2 = M(X2)M(Y2)-M2(X)M2(Y) = (D(X)+[M(X)]2)(D(Y)+[M(Y)]2) – M2(X)M2(Y) = D(X)D(Y)+M(Y)2D(X)+M(X)2D(Y). Ч.т.д.

62. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х1+Х2+…+Хn. Теперь докажем, что М(Хi)=р, D(Хi)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

63. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

Отсюда имеем:

Таким образом, параметр λ, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда , причем ∞→n∞→nλ = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона M(X) = . Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна λ, поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при →q. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

M(X) = λ, D(X) = λ

65. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р.

Докажите, что M (X) = 1 .

р

Геометрический закон (Р) связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А)

66. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = 1 р .

р 2

67.Как определяется ковариация Cov(X,Y) случайных величин X,Y?Докажите, что

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

1.Ковариацией COV(X,Y) случайных величин X,Y называется математическое ожидание произведения отклонений

X и Y.

Сov(X,Y)=M[(X-M(X)][Y-M(Y)]

2. Пусть Х и У – две случайные величины. Положим, Z=X+Y По теореме сложения математических ожиданий будем

Формула принимает вид: D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X,Y)

18

68. Сформулируйте основные свойcтва ковариации Cov(X,Y) случайных величин Х и У. Докажите, что

Cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется мате-матическое ожидание произведения отклонений X и Y

Cov(X, Y) = M[(X − M(X))(Y − M(Y))].

Ковариация обладает следующими свойствами:

1.Cov(X, Y) = M(XY) − M(X)M(Y).

2.Cov(X, X) = D(X).

3.D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

4.Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

5.Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

6.Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y).

7.Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).

8.Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными. Cov(X,Y)=E((X-E(X))-(Y-E(Y)))=E[XY-XE(Y)-E(X)Y+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E((E(X)E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y)- E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

69. Как определяется коэффициент корреляции ρ (X;Y) случайных величин X иY ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если ׀ρ(X;Y)׀ =1?

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой ρ (X;Y)= Cov(X;Y)/ (σ(X)*σ(Y)), где Cov(X;Y) – ковариация X и Y, а σ(X) – среднее квадратичное отклонение Х, σ(Y) – среднее квадратичное отклонение

Y.

Основные св-ва:

1)ρ(X;Y)=ρ(Y;X)

2)׀ρ(X;Y)׀ <=1

3)׀ρ(X;Y)׀ =1 равнозначно существованию констант a,b таких, что равенство Y=a+bX выполняется с вероятностью 1.

70.Докажите, что коэффициент корреляции ( X ,Y ) случайных величин Х и У удовлетворяет условию

( X ,Y ) 1. Что можно сказать о Х и У, если ( X ,Y ) 1? Если ( X ,Y ) 1?

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: pxy=Kxy/«сигма»х«сигма»х. Из определения следует, что рху=рух=р. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина. Отметим свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1],т.е. -1<р<1.Из неравенства

2 2K xy 2 2 0, откуда 1 1x y

2. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между

2 2 (если _ 1, то _ 2 2 0) 0

19

Если Y X (β≠0), то xy 1

Док-во: Cov(X,Y) = Cov(X, α + βX) = M (X(α+βX)) – M(X)M(α+βX) = M(Xα+βX2) - M(X)(M(α) + M(βX)) = M(Xα) + M(βX2) – αM(X) – β(M(X))2 = β(M(X2) – (M(X))2) = βD(X)

72. Дайте определение непрерывной случайное велчини X. Чему в этом случае равна вероятность P(X=a), где а – определённое число? Следует ли из равенства P(X=a)=0 для непрерывной случайное величины X, что событие X=a никогда не наступает?

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(X) непрерывна в любой точке X. P(X=a), где а – определённое число, есть вероятность каждого и отдельного значения. P(X=a)=0, т.е. вер-ть каждого отдельного значения равна нулю. Однако это не означает, что событие Х=а невозможно. В результате испытания случ. величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным а.

73. Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности f (x)? Ответ обоснуйте.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что для a < b вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции

b

P(a X b) f x dx

a

Для функции распределения F(x) имеем

x

F (x) f (t)dt

Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1. f (x) 0 , x R (неотрицательность).

2. f (x)dx 1 (условие нормировки).

3. f (x) F '(x) в точке непрерывности f(x).

Математическое ожидание непрерывной функции ( X ) находится пу-тем интегрирования произведения

данной функции и плотности распределения:

M ( X ) (x) f (x)dx

Произвольная случайная величина X называется сосредоточенной на промежутке [a, b], если вероятность попадания X в данный промежуток равна 1.

Плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], равна 0 вне [a, b].

Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], можно представить в виде

20