1.1.6. Метод наложения

Из выражения для контурных токов I_k , полученных в предыдущем параграфе (т.е. I₁, I₂, I₃ …), следует, что ток любого контура можно рассматривать как алгебраическую сумму токов, вызываемых отдельной ЭДС электрической цепи ( Е₁, Е₂, Е₃ …):

Каждое слагаемое правой части этого выражения представляет собой ток в каком-либо контуре при наличии ЭДС в какой-нибудь из ветвей и отсутствии всех других ЭДС.

Таким образом, это уравнение показывает, что ток в любом контуре, а значит, и в любой ветви получается от наложения частных токов, возникающих в этой ветви под независимым действием каждой ЭДС электрической цепи.

Общие правила расчета по методу наложения в цепи с несколькими источниками энергии:

1. расчет сложной цепи заменяется расчетом нескольких простых цепей с одним источником энергии в каждой;

2. поочередно определяются частичные токи, создаваемые действием каждой ЭДС в отдельности (остальные ЭДС всякий раз получаются равными нулю);

3. алгебраически складываются (накладываются) частичные токи, создаваемые в одних и тех же ветвях отдельными ЭДС.

Так определяются результирующие токи (действительные токи в каждой ветви), создаваемые совместным действием всех ЭДС.

Рассмотрим расчет по методу наложения на конкретном примере (рис. 1.20) электрической цепи, содержащей два источника энергии.

Рис. 1.20

Вначале исключим рассмотрения ЭДС Е₂, т.е. определим токи в ветвях цепи при наличии только ЭДС Е₁ (Е₂ = 0). Это дает возможность рассматривать цепь как схему со смешанным соединением приемников (рис. 1.21) и определять все частичные токи создаваемые действием только одной ЭДС Е₁.

Рис. 1.21

Токи в ветвях определяются выражениями:

Затем исключаем из рассмотрения ЭДС Е₁ (рис. 1.22).

Рис. 1.22

Токи в ветвях цепи ,при действии одной ЭДСЕ₂ определяются как:

Действительные токи в ветвях I₁, I₂ и I₃ определяются как алгебраические суммы частичных токов в данной ветви (), вызываемых каждой из ЭДС в отдельности, например, .

Здесь ток вычитается из тока, потому что направление токаобратно направлению тока, принятому за положительное. Аналогично определяются остальные токи.

Несмотря на свою простоту, метод наложения обладает некоторыми недостатками. Основной недостаток состоит в том, что частичные токи, имеющие в какой-либо ветви различные направления, часто оказываются по абсолютной величине в несколько раз больше результирующего тока, благодаря чему небольшая (в процентном выражении) возможная ошибка в определении частичных токов приводит к недопустимой большой ошибке в величине результирующего тока. Также при наличии большого числа источников и потребителей энергии метод наложения несколько громоздок и неудобен для расчета.

Вместе с тем, в ряде случаев применение этого метода позволяет быстро определить ток в одной ветви, исследовать влияние изменений одной из ЭДС на изменение токов в ветвях и решить другие частные задачи.

1.1.7. Метод узловых напряжений

Общие правила расчета по этому методу состоят в следующем:

1. определяются напряжения между узлами сложной электрической цепи путем решения уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа;

2. полученные напряжения между узлами электрической цепи (узловые напряжения) алгебраически складываются с ЭДС каждой ветви цепи (если эти ЭДС имеются);

3. по закону Ома для участка цепи вычисляются токи в каждой ветви электрической цепи, используя полученные узловые напряжения и ЭДС источников питания.

Для пояснения сказанного рассмотрим применение данного метода для электрической цепи с двумя узлами А и В (рис. 1.23). При наличии n ветвей между точками А и В для вычисления токов в ветвях по методу контурных токов необходимо было бы составить n-1 уравнений. Применение же метода узловых напряжений позволяет ограничиться составлением и решением только одного уравнения для определения напряжения U_AB между узлами А и В. Токи в ветвях находятся по известным параметрам в соответствии с законом Ома.

Рис. 1.23

Будем считать положительными ЭДС, действующие от А к В, и соответственно токи, направленные от А к В.

Напряжение U_AB между узлами можно рассматривать как алгебраическую сумму ЭДС Е_k любой (k-й) ветви и потерь напряжения I_k r_k в резисторе с сопротивлением r_k этой ветви:

Отсюда ток в k-й ветви:

где – проводимость соответствующей ветви.

По первому закону Кирхгофа сумма всех токов n ветвей, сходящихся в узле A (или В), должна быть равна нулю:

Из этого равенства определяется искомое узловое напряжение

где слагаемые берутся со знаком плюс, если ЭДС действует отА к В, и со знаком минус при обратном направлении ЭДС. Для получения напряжения U_AB определяются токи ветвей по приведенному выражению для токавk-й ветви.

Для цепи с тремя узлами можно составить два уравнения для определения напряжений между одним из узлов, принятым в качестве исходного, и двумя другими. Применение метода эффективно при наличии значительного числа ветвей, включенных между небольшим числом узлов электрической цепи.

Решение уравнений для исследования достаточно сложных цепей методом контурных токов, наложения и узловых напряжений целесообразно производить при помощи ЭВМ по разработанным алгоритмам. Приведенные уравнения в этом случае служат для автоматизированного решения задач, то есть для разработки программного обеспечения ЭВМ. Подобный подход автоматизированного расчета сложных электрических цепей исключает ошибки вычислений и обеспечивает решение поставленных задач.