2.1.6. Представление переменного тока в символическом виде.

Расчёт цепей переменного тока может производиться не только графическим построением векторных диаграмм, но и аналитически – операциями с комплексными числами, символически изображающими синусоидальные ЭДС и токи. Достоинством рассмотренного метода векторных диаграмм при исследовании цепей переменного тока является наглядность, а недостатком - малая точность графических построений.

Применение символического метода обеспечивает выполнение расчётов цепей с большей точностью, быстро и практически безошибочно, так как оперирование только с символами и числами позволяет широко использовать вычислительную технику. Поэтому решение задач с помощью символического метода имеет особые преимущества при рассмотрении сложных цепей переменного тока.

Если гармонические напряжения, токи и ЭДС можно изображать вращающимися векторами, а векторы - комплексными числами, то и гармонические напряжения, токи и ЭДС можно в свою очередь изображать комплексными числами.

Предположим, к примеру, что мгновенное напряжение u определяется выражением

Это переменное напряжение графически изображается вектором длиной(в выбранном масштабе), вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью(его численное значениеопределяется проекцией векторана вертикальную ось ординат векторной диаграммы, а-проекцией на горизонтальную ось абсцисс). Вектор с модулеми аргументомсимволически можно изобразить в виде комплексного числав алгебраической, показательной и тригонометрической формах.

Алгебраическая форма комплексного числа представляется в виде:

,

где j = – единичное мнимое число;

- вещественная часть комплексного числа,

;

- мнимая часть комплексного числа,

;

–аргумент комплексного числа,

;

- модуль комплексного числа,

.

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повёрнута по отношению к вещественной на угол в положительном направлении ( против часовой стрелки).

Комплексное число геометрически можно изобразить на комплексной плоскости с осями координат, представляющими вещественную и мнимую части числа. При этом положительная вещественная ось +1 для удобства направлена вправо, а ось мнимых чисел j – вверх от оси вещественной (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Здесь изображен на комплексной плоскости вектор , имеющий модульи аргумент. Вещественная часть комплексного числа, отображающего символическое выражение вектора амплитуды напряжения, представлена отрезкомна вещественной оси +1, а мнимая – отрезкомна мнимой оси j. Каждому численному значению амплитуды напряжения (а также тока и ЭДС) на комплексной плоскости соответствуют только одна точка и только один вектор, проведённый из начала координат в эту точку. Векторы, которые выражаются комплексными числами, обозначаются соответственным буквенным символом напряжения, токи и ЭДС с точкой наверху.

При сложении комплексных чисел, соответствующих синусоидальным напряжениям, ЭДС и токам, получаются комплексные числа, изображающие геометрические суммы складываемых векторов. На рис. 2.13 показано сложение двух комплексных чисел

Рис. 2.13

При сложении двух комплексных чисел

икомплексное число, соответствующее их сумме, будет:

)

Вещественной частью такого числа является ,

а мнимой – .

Вектор, соответствующий полному комплексному числу находится геометрическим сложением векторов

Умножать или делить комплексные числа обычно более удобно, преобразовав их в показательную форму. Вектор с модулем символически изображается в показательной форме в виде:

где e=2,718- постоянное число.

Обычно в символических выражениях гармонически изменяющихся параметров, представленных в показательной форме, отбрасывается переменный аргумент , одинаковый для всех напряжений, ЭДС и токов одной и той же частоты. Это соответствует тому, что в дальнейшем рассматриваются уже не вращающиеся, а неподвижные вектора. В этом случае символическое выражение амплитуды напряжения запишется:

,

а для действующего значения напряжения соответственно получим

При умножении двух комплексных чисел и, записанных символически в показательной форме, их модуляперемножаются, а аргументыскладываются. Таким образом, при умноженииполучаем

При делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются:

Комплексное напряжение можно выразить в тригонометрической форме:

Реально существующие напряжения, ЭДС и токи выражаются вещественными числами, поэтому мгновенные значения гармонических переменных определяются вещественной частью комплексного числа. Так, для напряжения получим