Принятие решений в условиях риска

Будем считать, что для природы известны вероятности появления состояния, задаваемые, например, экспертно. В этом случае лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, то есть

.

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных выгод) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск:

.

Примеры

Пример 1. (Заготовка угля для обогрева дома)

Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Вторым игроком выступает природа – погодные условия зимой. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что неизвестно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной.

Имеются следующие данные о количествах и ценах угля, необходимого зимой для отопления.

Зима	Количество угля, т.	Средняя цена за 1 т., д.е.
Мягкая	4	7
Средняя	5	7,5
Холодная	6	8

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 д.е. за 1 т., есть место для хранения запаса угля до 6 т., заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадает. Сколько угля летом покупать на зиму?

Рассмотрим 2 случая: 1) вероятности наступления каждой из типов зим неизвестны (случай полной неопределенности); 2) известны наступления вероятности каждой зимы: для мягкой зимы – 0,35; для средней зимы – 0,5; холодной – 0,15.

Решение

1. Построим матрицу выигрыша.

Зима Количество угля	Мягкая	Средняя	Холодная
4 т	-24	-31,5	-40
5 т	-30	-30	-38
6 т	-36	-36	-36

Для поиска стратегии игрока Р1, минимизирующего затраты в условиях полной неопределенности, воспользуемся каждым из перечисляемых выше критериев.

1. Критерий максимакса.

Согласно данному критерию находим максимальный элемент матрицы выигрышей:

. Следовательно, первому игроку рекомендуется выбрать свою первую стратегию (4 т.).

2. Максиминный критерий Вальда.

.

Следовательно, рекомендуется выбирать стратегию (6 т.).

3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа.

Построим матрицу риска R, используя матрицу A.

Вычислим величины :

=.

Тогда S=

Согласно данному критерию следует воспользоваться стратегией (4 т.).

4. Критерий Гурвица.

Рассмотрим случай, когда коэффициент пессимизма равен 0,5.

Тогда =

=

=. Следовательно, первому игроку рекомендуется выбрать свою первую стратегию(4 т.).

Отметим, что выбор конкретного критерия принятия решений зависит от субъективных особенностей Р1 (его склонности к риску). Однако, так как по 3 критериям из 4 лучшей оказалась первая стратегия, то эту стратегию и можно рекомендовать игроку.

2. Рассмотрим процедуру принятия решений в условиях риска.

Для каждой чистой стратегии первого игрока рассмотрим математическое ожидание выигрыша при применении им данной стратегии, для чего составим таблицу.

Вероятность	0,35	0,5	0,15	Математическое ожидание
Зима Количество	Мягкая	Средняя	Холодная
4 т.	-24	-31,5	-40	=0,35(-24)+ 0,5(-31,5) + 0,15(-40) = =-30,15
5 т.	-30	-30	-38	=0,35(-30) + 0,5(-30) + 0,15(-38)= =-31,2
6 т.	-36	-36	-36	=-36

Как видно из таблицы, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай закупки угля в размере 4 т., и по данному критерию первая стратегий Р1 является лучшей.