§ 4. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)

В данном параграфе рассмотрим игру, в которой два участника, одним из них (Р2) считается «природа», внешняя среда, ее поведение непредсказуемо. В таких играх сознательно действует только один из игроков (Р1). Природа сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

Игра с природой задается одним из следующих способов.

1. Задание матрицей игры.

Данный способ задания аналогичен матричной игре.

Пусть первый игрок имеет m возможных стратегий: . У природы имеетсяn возможных состояний: . Условия игры с природой задаются матрицейA выигрыша первого игрока:

, где – выигрыш первого игрока, который он получит, если выберет стратегию, а состоянием природы будет.

2. Задание в виде матрицы рисков , или матрицы упущенных возможностей. Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии природы. Матрицаможет быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей.

Риском игрока при использовании им стратегиии состоянии природыназывается разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы знал, что состоянием среды будет, и выигрышем, который он получит, не имея такой информации:, где.

Понятие доминирования в играх с природой имеет определенную специфику. Исключать из рассмотрения можно доминируемые стратегии только первого игрока.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности: известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, то есть имеет ли место ситуация риска (нет информации о вероятностях) или неопределенности (вероятности известны).

Принятие решений в условиях полной неопределенности

В условиях отсутствия дополнительной информации о вероятностях появления конкретных состояний природы используются следующие критерии: критерий максимакса (критерий крайнего оптимизма), максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма), Сэвиджа, Гурвица (пессимизма-оптимизма).

1. Критерий максимакса.

С помощью данного критерия определяется стратегия , применяя которую, игрок при благоприятном стечении обстоятельств может получить максимально возможный выигрыш:

M=.

2. Максиминный критерий Вальда.

С позиции данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник (как игрок P2 в антагонистических играх). В этом случае игра становится антагонистической и наилучшей признается стратегия, на которой достигается нижняя цена игры:

W=.

2. Критерий минимаксного риска Сэвиджа.

Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей A, а матрицей рисков R:

S=.

2. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом. Согласно этому критерию, стратегия в матрице A выбирается в соответствии со значением

,

где p () – коэффициент пессимизма.

Отметим, что при p=0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при p=1 – с критерием Вальда.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

.