Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Konev-Linear_Algebra.pdf
Скачиваний:
59
Добавлен:
18.03.2016
Размер:
1.13 Mб
Скачать

Обратная матрица

3. Обратная матрица

3.1. Терминология

Рассмотрим квадратную матрицу A.

Матрица A1 называется обратной матрицей к A, если

A1 A = A A1 = E ,

где E – единичная матрица.

Отметим, несколько забегая вперед, что условием существования обратной матрицы является отличие от нуля определителя матрицы. В этой связи уместно ввести соответствующую терминологию.

Матрица называется сингулярной, если ее определитель равен нулю. В качестве синонимов используются также термины “особая матрица” или “вырожденная матрица”.

Если det A 0, то матрица A называется несингулярной (или

неособенной, или невырожденной).

Если в матрице A заменить ее элементы их алгебраическими дополнениями и перейти к транспонированной матрице, то полученная матрица называется присоединенной для A и обозначается символом adj A :

 

A

A

1,2

L A

T

 

A

 

A

2,1

L A

n,1

 

 

 

1,1

 

 

1,n

 

 

1,1

 

 

 

 

A2,1

A2,2

L A2,n

 

 

A1,2

A2,2

L An,2

 

adj A =

L

L

L L

 

=

L

L

L L

.

 

 

 

 

A

 

A

 

L A

 

A

 

A

 

L A

 

 

n,1

n,2

n,n

 

 

 

2,n

n,n

 

 

 

 

 

 

 

1,n

 

 

 

Таким образом, adj A =|| AT

|| и (adj A)

i, j

= AT

= A

j,i

.

 

 

 

 

 

 

 

i, j

 

 

 

i, j

 

 

 

 

 

3.2. Две важные леммы

Пусть A – квадратная матрица n-го порядка.

Лемма 1. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю:

n

 

 

ai,k Aj,k = 0,

(i j)

(1)

k =1

 

 

и

 

 

n

 

 

ak , i Ak , j = 0,

(i j) .

(2)

k =1

39

Обратная матрица

~

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную матрицу A, полученную из матрицы A заменой j-ой строки i-ой строкой:

L

ai,1

A = L

a j,1

L

Произведем

L L

L L

 

 

L L L L L

ai,2 ai,3

 

 

 

 

ai,2

ai,3 L ai,n

L ai,n

 

~

ai,1

L L

L L

 

 

 

 

A = L L L L L

a j,2 a j,3

 

 

 

 

ai,2

ai,3 L ai,n

L a j,n

 

 

ai,1

L L

 

 

 

 

 

 

L L

 

 

L L L L L

~

 

 

 

 

разложение det A по элементам j-ой строки:

~

n

~

n

~

det A =

a j,k Aj,k = ai,k Aj,k .

 

k =1

 

k =1

 

Заметим, что алгебраическое дополнение элемента некоторой строки не зависит от элементов этой строки. (Потому что при вычислении алгебраического дополнения эта строка просто вычеркивается.) Однако

~

матрицы A и A отличаются друг от друга только j-ой строкой и,

следовательно, ~j,k = j,k . Тогда

A A

~ = n .

det A ai,k Aj,k k =1

~

Пришла пора вспомнить, что матрица A имеет две одинаковых строки, что влечет за собой равенство нулю ее определителя.

Таким образом, утверждение (1) доказано:

 

 

~

n

 

 

 

 

 

det A = ai,k Aj,k = 0. (i j) .

 

 

 

 

k =1

 

 

Аналогично доказывается справедливость утверждения (2).

 

Лемма 2. Если det A 0

, то

 

 

 

 

1

A adj A =

1

adj A A = E ,

(3)

 

det A

det A

 

 

 

 

 

где E – единичная матрица.

Доказательство. Запишем равенства (3) в терминах матричных элементов:

( A adj A)i, j = (adj A A)i, j = det A δi, j ,

 

(4)

Это означает, что

 

 

 

0,

если i

j

(5)

( A adj A)i, j =(adj A A)i, j =

если i =

j

det A,

 

Предположим, что i j . Тогда согласно Лемме 1

40

 

 

 

 

Обратная матрица

n

 

n

 

 

ai,k Aj,k = 0

 

ai,k AkT, j = 0

 

( A adj A)i, j = 0,

k =1

 

k =1

 

 

и

 

 

 

 

n

 

n

 

 

ak ,i Ak , j = 0

 

ATj,k ak ,i = 0

 

(adj A A) j,i = 0 .

k =1

 

k =1

 

 

Мы показали, что результатом умножения (в том или ином порядке) матрицы A и присоединенной матрицы adj A является диагональная

матрица. Остается доказать, что все диагональные элементы этой матрицы равны det A :

( A adj A)i,i = (adj A A)i,i =det A .

Этот результат становится очевидным, если воспользоваться теоремами о разложении определителя по элементам строки и столбца:

n

n

det A = ai,k Ai,k = ai,k AkT,i = ( A adj A)i,i

k =1

k =1

и

 

n

n

det A = ak,i Ak,i = AiT,k ak,i = (adj A A)i,i .

k =1

k =1

3.3. Теорема об обратной матрице

Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:

A1 = de1t A adj A .

Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы.

Доказательство.

1. Предположим, что существует обратная матрица к A. Тогда

A A1 = E .

Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем

det A det A1 =1

и, следовательно, det A 0.

Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.

2. Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, A1 и B1 . Тогда

A A1 = A1 A = E

и

41

Обратная матрица

AB1 = B1 A = E .

Используем эти равенства для преобразования матрицы B1 :

B1 = B1E = B1 AA1 = (B1 A) A1 = EA1 = A1 ,

что доказывает утверждение о единственности обратной матрицы.

3. В соответствии с Леммой 2

A (de1t A adj A)

Следовательно,

1

det A

= (de1t A adj A) A = E . adj A = A1 .

3.3.1. Примеры вычисления обратной матрицы

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы

3

4

 

A =

1

2

.

 

 

 

Решение. Начнем с вычисления определителя матрицы: det A = 13 42 =6 4 = 2.

Поскольку det A 0 , то обратная матрица существует. Далее найдем алгебраические дополнения всех элементов:

 

A =(1)1+1

2 = 2,

 

 

 

 

A =(1)1+2 1 = −1,

 

 

 

 

1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =(1)2+1 4 = −4,

 

 

 

A = (1)2+2 3 = 3.

 

 

 

 

 

2,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составляем присоединенную матрицу для A:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A A

 

T

 

 

 

2

 

 

1 T

 

 

 

 

2 4

 

 

adj A =

1,1

 

1,2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

4

3

=

 

1 3

 

.

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

2,1

 

2,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

4

 

1 2

4

 

 

 

 

A

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1 3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A 1

3

 

2 1

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

Проверка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3 4

 

2

 

4

 

 

 

 

2 0

 

 

 

 

1 0

 

 

 

 

AA1 =

1

 

 

1

 

 

 

= E ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

0 2

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 A =

1

2

4

3 4

 

 

1

2 0

 

 

 

 

1 0

 

= E .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

1 2

 

 

0 2

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратная матрица

 

1

2

3

 

Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы

 

4

5

6

 

A =

.

 

 

7

8

9

 

 

 

 

Решение. Вычисляем определитель:

 

 

 

 

 

 

 

 

det A =

 

1

2

3

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

4

5

6

 

=

 

3

3

3

= 0 .

 

 

3

3

3

 

 

 

3

3

3

 

Матрица оказалась сингулярной и, следовательно, она не имеет обратной матрицы.

 

1

2

3

Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы

 

0

4

 

 

A =

1 .

 

 

5

0

1

 

 

 

 

Решение.

1)Для вычисления определителя прибавим ко второй строке удвоенную первую; затем разложим определитель по элементам второго столбца:

 

 

1 2 3

 

r

r

+2r

 

1 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+2

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

2

0

5

= (2) (1)

 

 

 

5

1

 

= −46.

2)

 

5

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

 

 

 

 

 

 

1+1

 

 

 

4 1

 

= 4,

 

 

 

 

1+2

 

0

 

1

 

= −5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,1

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

 

 

 

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+3

 

0 4

 

 

= −20,

 

 

 

A = (1)

2+1

 

 

 

2 3

 

 

= 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,3

 

 

 

 

 

 

 

 

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

= (1)2+2

 

1

3

 

 

= −14,

 

 

A = (1)2+3

 

1

 

2

 

 

 

= −10,

 

 

 

 

 

 

 

 

2,2

 

 

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,3

 

 

 

 

 

5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

=(1)3+1

 

2

 

 

 

3

 

= −10,

A

= (1)3+2

 

1

 

3

 

 

 

 

=1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = (1)3+3

 

1 2

 

= 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Запишем присоединенную матрицу для A:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратная матрица

4

5 20 T

4

2

10

 

2

14

10

 

 

5

14

1

 

adj A =

 

=

.

 

10

1

4

 

 

20

10

4

 

 

 

 

 

4) Делением присоединенной матрицы на det A , получаем обратную матрицу:

 

 

 

4

2

10

 

A1 = −

1

 

5

14

1

.

 

 

46

 

 

 

 

 

20

10

4

 

 

 

 

 

5) Проверка:

 

 

 

 

1

2 3

 

4

 

2

10

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

AA

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

0 4

 

 

1

 

5

14 1

 

 

 

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 0

 

 

1

 

 

20 10

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

46

 

 

0

 

 

0

 

 

1 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

46

 

 

0

 

 

0 1 0

 

= E.

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

46

 

 

0 0 1

 

 

Аналогично,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

 

 

0

 

 

0

 

 

1 0 0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

A = −

 

 

 

0

 

 

46

 

 

0

 

 

0 1 0

 

= E .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

46

 

 

0 0 1

 

 

Все O.K.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.

Даны матрицы

A =

 

3

5

и

 

 

4

1

 

 

 

1

2

 

B =

. Решить матричное

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XA = B .

 

 

 

 

(*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Поскольку

 

det A =

 

3

5

 

=1 0

,

то

матрица A является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неособенной и существует обратная матрица A1 .

 

 

Умножаем обе части уравнения (*) матрицей A1

справа:

XAA1 = B A1

 

XE = B A1

 

X = B A1

 

 

 

Находим присоединенную матрицу для A:

 

 

 

 

2 1 T

2 5

adj A =

5

 

=

3

.

 

3

1

 

 

44

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]