Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный институт управления РАНХиГС (СЗАГС)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Konev-Linear_Algebra.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Системы линейных уравнений

Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы

	−2
	2
	2
получим частное решение: X1 =	0	.
	0
	0
	0

−8

Подставляя c = 2, получаем другое частное решение: X 2 = 219 .

Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений.

Проверка: Подставим x = −2 −3c ,	x	2	= 2 +19 c ,	x	3	= 9 c	и	x	4	= c
1		2	2		3	2			4
			2			2

в каждое уравнение системы:

		x		+ x			2		− x					3		−2x			4	= 0
		1					2							3					4
		2x1 + x2 − x3 + x4 = −2
		− x				+ x				2	−3x						3	+ x			4	= 4
				1						2							3				4
		−3c +2	+		19			c		−		9				c −2c =0
−2		−3c +2	+			2		c		−		2				c −2c =0
						2						2
					19								9
		−6c +2	+		19			c		−			9			c +c = −2
−4		−6c +2	+			2		c		−			2			c +c = −2
			19			2							2
	+	3c +2 +	19			c		−		27					c +c = 4
2	+	3c +2 +		2		c		−			2				c +c = 4
				2							2

Уравнения обратились в тождества.

0 ≡0

−2 ≡ −24 ≡ 4

4.4.Однородные системы линейных уравнений

Однороднаясистемалинейныхуравненийимеетвид
AX = 0 ,	(2)

где A – матрица коэффициентов; X – матрица-столбец, составленная из неизвестных.

Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение X = M ,

которое называется тривиальным решением.

Системы линейных уравнений

Теорема

Если X1 и X 2 являютсярешениями однороднойсистемы, тоиихлинейнаякомбинация

c1 X1 +c2 X 2

являетсярешениемэтойсистемы.

Доказательство. Поусловиютеоремы,

AX1 = 0 и AX 2 = 0 .

Тогдадлялюбыхчисел c1 и c2

c1 AX1 = 0 A(c1 X1 ) = 0 , c2 AX 2 = 0 A(c2 X 2 ) = 0 .

Складываяэтитождества, получаем

A(c1 X1 ) + A(c2 X 2 ) = 0 ,

чтовлечет

A(c1 X1 +c2 X 2 ) = 0 .

Следовательно, линейная комбинация решений c1 X1 +c2 X 2 также является решением.

4.4.1. Примеры

1) Решить однородную систему уравнений методом Гаусса.

x1 − x2 − x3 +3x4 =0

x1 + x2 −2x3 + x4 =04x1 −2x2 +4x3 + x4 =0

Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:

1		−1	−1	3	r		→ r	− r	1 −1			−1	3			1 −1			−1	3
						2	2	1
	1	1 − 2		1	r		→ r	− 4r		0	2	−1	− 2	r3	→ r3	− r2	0	2	−1	− 2	.
	4 − 2		4 1			3	3	1		0	2	8 −11					0	0	9 − 9
	4 − 2		4 1							0	2	8 −11					0	0	9 − 9

Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например, x4 следует рассматривать как

свободный параметр. Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение x4 = c и выразить базисные неизвестные x1 , x2 и

x3 через c.

Полученная матрица соответствует следующей системе уравнений:

Системы линейных уравнений

		x − x			2	− x	3	+3c = 0
			1		2		3
				2x2 − x3 −2c = 0
						9x3 −9c = 0
						9x3 −9c = 0
Из последнего уравнения следует, что									x3 = c . Выразим остальные
базисные переменные:									x2 = 3 c
2x2 = x3 +2c =3c									x2 = 3 c	,
									2
x = x	2	+ x	3	−3c = 3 c +c −3c = −1 c .
1	2		3			2			2
						2			2

Таким образом, общее решение системы найдено:

	−	1			−	1
	−	2	c		−	2
		2				2
X =	3			= c	3
X =	2 c			= c	2		.
		c			1
		c			1
		c			1

Чтобы найти частное решение X1 , нужно придать параметру c какоенибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем

−2 X1 = 64 .

Проверка: Подставим неизвестные

x = −1 c ,					x	2	= 3 c ,
1		2				2	2
в уравнения системы:		2					2
в уравнения системы:
	1		3
−	2 c −		2 c −c				+3c = 0
	1		3
	1	c +	3	c −2c +c =0
−	2	c +	2	c −2c +c =0
	2		2
	4	c −	6	c +4c +c =0
−	2	c −	2	c +4c +c =0
	2		2

Уравнения обратились в тождества.

x3 = c ,

x4 = c

0 ≡ 0

0 ≡ 00 ≡ 0

Системы линейных уравнений
1		−1	−1	1
	2	−2	1	1
2) Пусть A =					.
	5	−5	−2	4

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений

AX = 0 .

Решение. Преобразуем матрицу коэффициентов к ступенчатому виду:

1 −1			−1 1					→ r	− 2r			1		−1	−1 1
	2	− 2		1 1		r		→ r	− 2r				0	0				→r3 + r2
	2	− 2		1 1			2	2	1	− r			0	0	3 −1 r3			→r3 + r2
							r	→r − 2r		− r
	5	−5	− 2 4				3	3	2		1		0	0	−3 1
	5	−5	− 2 4										0	0	−3 1
					1		−1 −1		1					1	−1	−1	1
					0		0	3	−1					1	−1	−1	1
					0		0	3	−1
														0	0	3
					0 0 0 0									0	0	3	−1
					0 0 0 0
Поскольку		rank A = 2 , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные

должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как

свободные параметры. Полагая x2 = c1									и x3 = c2 , получаем систему
				2x		− c	− c		2	+ x		4	= 0,
					1	1			2			4
							3c2 − x4 = 0,
решение которой имеет вид							1								1 c −c .
x		= 3c		и		x =	1	(c +c −3c						) =	1 c −c .
	4		2			1	2			1		2		2	2	1	2
Запишем общее решение
							1	c		−c
							2	c		−c
							2	1			2
					X =				c
					X =					1
									c2
								3c2
								3c2

и представим его в виде линейной комбинации частных решений:

	1	c			−c2		1 2				−1
	2	c			−c2		1 2				−1
	2		1		0			1			0
X =	c1			+	0	= c		1	+c		0	.
	0				c	1		0		2	1
	0				2			0			3
	0				3c			0			3
	0				2

Системы линейных уравнений

Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа

X = c1 X1 +c2 X 2 ,

то говорят, что частные решения X1 , X 2 , K образуют фундаментальную систему решений.

В нашем случае фундаментальную систему решений образуют

1 2			−1
	1		0
	1		0
частные решения X1 =	0	и X 2 =	1	.
	0		1
	0		3
	0		3

3)Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид

					4c		+	7c		2	− 2c	3
						1				2		3
			X =					c1
			X =					c2					.
								c2
								c3
								c3
		4				7					− 2
		1				0					0
Очевидно, что	X =c	1		+ c		0	+ c				0		и поэтому частные решения
Очевидно, что	X =c			+ c	2		+ c		3				и поэтому частные решения
	1	0			2	1			3		0
		0				1					0
		0				0					1
		0				0					1
		4						7						− 2
		1						0						0
		1		,				0						0
	X1 =	0		,	X 2 =			1			и X 3 =			0
		0						1						0
		0						0						1
		0						0						1
образуют фундаментальную систему решений.
		−1			1		−1
4) Дана матрица A =			3		−1		−	1			Решить			однородную систему
4) Дана матрица A =			3		−1		−	1	.		Решить			однородную систему
			2		1		−	3
			2		1		−	3
линейных уравнений		AX = 0 .

Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.201939.52 Кб2kak_delat_kursach.docx
#
27.11.201978.34 Кб0KANADA (1).doc
#
07.07.20192.99 Mб2KCE.docx
#
15.05.2015828.02 Кб20koncep.pdf
#
15.05.20151.12 Mб42Koncep.pdf
#
18.03.20161.13 Mб59Konev-Linear_Algebra.pdf
#
15.05.2015411.84 Кб15Konstitucionnoe_pravo_RF.pdf
#
15.05.2015746.92 Кб9konstit_pravo.pdf
#
15.05.2015770.69 Кб13konstit_pravo.pdf
#
21.11.201960.93 Кб12kontrolnaya_isepp.doc
#
15.05.2015218.11 Кб14Kontrolnye_voprosy_po_sotsiologii (2).doc