Матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
a b |
+a b |
|
a b |
|
+a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1,1 |
1,1 |
|
1,2 |
2,1 |
|
2,1 |
1,1 |
|
2,2 |
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
( A B) |
|
= a b |
+a b |
a b |
|
+a |
b |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1,1 |
1,2 |
|
1,2 |
2,2 |
|
2,1 |
1,2 |
|
|
2,2 |
2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
T T |
|
b |
|
b |
|
a |
a |
2,1 |
|
|
b a |
|
+b a |
|
b a |
2,1 |
+b a |
2,2 |
|
|
||||||
3) |
|
|
1,1 |
|
2,1 |
|
1,1 |
|
|
|
1,1 1,1 |
|
2,1 |
1,2 |
|
1,1 |
2,1 |
|
, |
|||||||||
B |
A |
= |
b |
|
b |
|
a |
a |
2,2 |
|
= |
b a |
|
+b a |
|
b a |
2,1 |
+b a |
2,2 |
|
||||||||
|
|
|
|
1,2 |
|
2,2 |
|
1,2 |
|
|
|
1,2 1,1 |
|
2,2 |
1,2 |
1,2 |
2,2 |
|
|
|
||||||||
|
что совпадает с произведением |
A B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 3. |
Пусть f ( x) = 2x − x2 +1 |
|
и |
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A = |
0 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти f (A).
Решение: При переходе к матричной функции f(A), числовое слагаемое 5 следует заменить произведением 5I, где I – единичная матрица. Следовательно,
f ( A) = 2A − A2 +5I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1 −1 |
1 |
−1 |
1 |
− |
1 |
+ |
5 |
|
1 0 |
|
|||
2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
0 2 |
0 2 |
|
|
|
0 1 |
|
|||||
= |
2 |
− |
2 1 |
−3 5 0 |
|
6 |
1 |
|
|
|||||
|
|
− |
+ |
|
= |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 4 0 4 0 5 |
|
5 |
|
|
|||||||||
Упражнения к главе 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Для данных матриц |
|
|
3 1 |
|
−1 1 |
и |
|
C = |
2 −2 |
|
||||
A = |
|
, |
B = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−2 0 |
|
0 5 |
|
|
|
|
4 1 |
|
|||
найти линейную комбинацию |
2 A −3B +4C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x
2. Представить матрицу A = y в виде линейной комбинации матриц
z
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
, |
|
1 |
|
, и |
|
0 |
|
X = |
|
Y = |
|
Z = |
. |
|||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Установить какие из матричных произведений AB и BA определены и |
||||||||||
найти размерности этих произведений. |
|
|
|
|||||||
1) A – матрица размерности 3×5; |
|
B – матрица размерности 5 ×2 . |
||||||||
2)A – матрица размерности 3 ×2 ; B – матрица размерности 2 ×3.
3)A – матрица размерности 4 ×2 ; B – матрица размерности 4 ×2 .
4) |
A – матрица размерности 1×7 ; B – матрица размерности 7 ×1. |
5) |
A и B – квадратные матрицы 5-го порядка. |
|
18 |
Матрицы
4. Дана матрица |
5 |
−2 |
1 |
|
|
A = |
3 |
4 |
2 |
. |
|
|
|
|
|||
– Вычислить произведения AAT и AT A .
–Вычислить коммутатор AAT − AT A , если он определен. Если коммутатор не определен, объяснить почему.
|
|
5 |
− 2 |
1 |
|
|
0 |
− 2 |
1 |
|
5. Найти матричное произведение |
|
−3 |
5 |
−1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 |
−3 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Проверить непосредственным вычислением справедливость тождества
( AB)C = A(BC) ,
если |
3 |
−1 |
|
5 |
C = (−2 8 1). |
|||
A = |
2 |
4 |
, |
B = |
6 |
и |
||
|
|
|
|
|
|
|||
7. Найти коммутатор AB − BA, если A и B – произвольные диагональные матрицы 4-го порядка.
8. |
Найти A50 , если |
A |
1 |
0 |
|
|
|
= |
. |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
9. |
Найти BT AT , если AB = |
5 |
|
−2 |
|||
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
10. |
1 |
−2 |
|
|
|
||
Пусть A = |
3 |
|
и f ( x) = 3x2 +5x −4 . Найти f ( A) . |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
11. |
Дана матрица |
|
1 |
0 |
|
. Найти матрицу B такую, что обращает |
|
A = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
произведение AB в нулевую матрицу.
19