ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.В. Конев

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Издательство Томского политехнического университета

2008

Конев В.В. Линейная алгебра. Учебное пособие. – Томск. Изд. ТПУ. 2008 – 65 стр.

Учебное пособие основано на курсе лекций, читаемых автором для студентов факультета элитного технического образования ТПУ, и включает в себя следующие разделы:

–Матрицы

–Определители

–Обратные матрицы

–Системы линейных уравнений

Наряду с изложением теоретического курса в пособии содержится большое количество примеров и иллюстраций.

Рецензент: Арефьев К. П., профессор, доктор физ.-мат. наук.

©КОНЕВ В.В. 2003-2008

©Томский политехнический университет, 2008

Содержание

Содержание ………………………………………………………….. 3

Глава 1. Матрицы

1.1.Введение ……………………………………………………… 5

1.2.Основные понятия …………………………………………… 5

1.3.Операции над матрицами …………………………………… 7

1.3.1.Произведение матриц …………………………………….. 8

1.4.Типы матриц ………………………………………….……… 11

1.5.Дельта-символ Кронекера …………………………………… 13

1.6.Свойства матричных операций …………………………….. 14

Упражнения к главе 1 ……………………………………………… 18

Глава 2. Определители

2.1.Перестановки и транспозиции ……………………………… 20

2.2.Формальное определение …………………………………… 23

2.3.Свойства определителей …………………………………..... 25

2.4.Вычисление определителей ………………………………… 32

2.4.1.Разложение определителя по элементам строки

или столбца ……………………………………………….. 32

2.4.2.Вычисление определителей методом элементарных преобразований …………………………………………… 36

Упражнения к главе 2 ……………………………………………… 38

Глава 3. Обратная матрица

3.1.Терминология ……………………………………………….. 39

3.2.Две важные леммы …………………………………………. 39

3.3.Теорема об обратной матрице ……………………………... 41 3.3.1. Примеры вычисления обратной матрицы ……………… 42

3.4.Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований ……………………………………………… 45

Глава 4. Системы линейных уравнений

4.1.Ранг матрицы ……………………………………………….. 47

4.2.Основные понятия …………………………………………. 49

3

4.3.Метод Гаусса ………………………………………………. 50

4.3.1.Несколько примеров …………………………………….. 50

4.4.Однородные системы линейных уравнений ……………… 53

4.4.1.Примеры …………………………………………………. 54

4.5.Правило Крамера ……………………………………………. 58

4.6.Обобщенное правило Крамера …………………………….. 61

Exercises to Chapter 4 …………………………………… 64

Литература ………………………………………………………. 65

4