Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный институт управления РАНХиГС (СЗАГС)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Konev-Linear_Algebra.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Системы линейных уравнений

−1	5	0
−1	5	0
0	−3	0	= (−1) (−3) 1 =3 .
0	0	1

Таким образом, ранг матрицы A равен 3.

4.2.Основные понятия

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 +a12 x2 +K+a1n xn = b1

x +a

+K+a

= b

(1)

x +a

+K+a

= b

Здесь ai j – числовые коэффициенты; bi (i =1,2,L, m) – свободные члены; x j ( j =1,2,L, n) – неизвестные.

Решением системы (1) является совокупность значений неизвестных x j , при подстановке которых все уравнения системы (1)

обращаются в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система является несовместной.

Система (1) может быть представлена в виде матричного уравнения

AX = B ,

где A –матрица, составленная из коэффициентов

ai j при неизвестных;

матрица B представляет собой столбец свободных членов; элементами

матрицы X являются неизвестные x1 , x2 ,K, xn :

L a

a21

a22

L a2n

A = L L L L

X = L ,

B = L .

Если B = 0, то система уравнений называется однородной:

AX = 0 .

Две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений, называются эквивалентными. Очевидно, что такие операции как перестановка уравнений местами, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число или прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, преобразуют систему уравнений в ей эквивалентную.

Системы линейных уравнений

4.3. Метод Гаусса

Рассмотрим расширенную матрицу системы (1):

a11

( A | B) = a21

aLm1

a12 L a1n

a22 L a2n

L L L

am2 L amn

b1 Lb2 . bm

Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы. Действительно,

–Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.

–Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.

–Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.

Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

		~			L		L	~

	a11							b
		0	~		L		L	~1
			a22					b
				~				2
		0	0		L		L	~
				a33				b
( A \| B)								3
		M L L			O		M	M
		0	0	0	L	~	L	~
						arr		b
								r
		0	0	0	L		L	M

Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д. При необходимости часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.

4.3.1.Несколько примеров

1)Решить систему уравнений методом Гаусса:

2x1 − x2 +5x3 =10x1 + x2 −3x3 = −22x1 +4x2 + x3 =1

Решение. Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками:

Системы линейных уравнений

	2 −1 5					10												2					−1 5					10					→r	− r
	2 −1 5					10												2					−1 5					10
		1 1		−3		− 2														2 2 −6								− 4	r
		1 1		−3		− 2	r2				→2r2									2 2 −6								− 4			3		3	2
																														r			→r	− r
		2 4		1		1														2 4							1	1			2		2	1
		2 4		1		1														2 4							1	1
2		−1		5		10											2						−1				5	10
2		−1		5		10											2						−1				5	10
	0 3			−11	−14								3r3						0 3 −11									−14
	0 3			−11	−14		r3				→		3r3						0 3 −11									−14			r3 →r3 − 2r2
	0 2			7	5														0 6								21	15
	0 2			7	5														0 6								21	15
		2		−1	5				10												r			2			−1	5					10
		2		−1	5				10															2			−1	5					10

			0 3			−11			−14					r			→					3				0 3		−11				−14 .
			0 3			−11			−14					r			→									0 3		−11				−14 .
															3
			0 0		43				43												43					0 0		1
			0 0		43				43																	0 0		1					1
Полученная матрица описывает систему уравнений
							2x − x								2			+5x					3			=10
											1				2								3
												3x2 −11x3 = −14
																						x3 =1
																						x3 =1
эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно:
				3x2 = −14 +11x3 = −3																						x2 = −1 ,
				2x1 =10 + x2 −5x3 = 4 x1 = 2 .
																											x	2
Убедимся в том, что полученный набор																								X =			1
Убедимся в том, что полученный набор																								X =			x2	=	−1 обращает каждое
																													1
уравнение данной системы в тождество:																											x3		1
уравнение данной системы в тождество:
				2x − x				2		+5x		3		= 2 2 −(−1) +5 1 ≡10,
					1			2				3
				x1		+ x2 −3x3 = 2 +(−1) −3 1 ≡ −2,
				2x +4x						2	+ x		3	= 2 2 +4 (−1) +1 ≡1.
					1					2			3
2) Решить систему уравнений методом Гаусса,
										x + x						2		− x				3	= 0
											1					2						3
										2x1 − x2 − x3 = −2
										4x			+ x					2		−3x					3	=5
											1							2							3

Решение. Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные операции над строками:

1 1			−1	0 r				→ r	− 4r	1 1 −1				0			1 1			−1	0
	2	−1	−1	−	2		3	3	1		0	− 3	1	− 2		→ r3		0	− 3 1		− 2
								→ r	− 2r						r3		− r2					.
	4	1	− 3	5		r					0	− 3	1	5				0	0	0	7
							2	2	1
													51

Системы линейных уравнений

Третья строка соответствует уравнению

0 x1 +0 x2 +0 x3 = 7 ,

не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.

3)Решить систему уравнений методом Гаусса,

x1 + x2 − x3 −2x4 = 0

2x1 + x2 − x3 + x4 = −2− x1 + x2 −3x3 + x4 = 4

Решение. Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме:

1 1		−1	− 2	0			→ r		+ r	1 1 −1				− 2	0
1 1		−1	− 2	0						1 1 −1				− 2	0
	2 1	−1	1	− 2	r						0	−1 1		5	− 2		→ r3	+ 2r2
	2 1	−1	1	− 2		3		3	1		0	−1 1		5	− 2	r3	→ r3	+ 2r2
						r	→ r		− 2r
	−1 1	−3	1	4		2		2	1		0 2 − 4			−1	4
	−1 1	−3	1	4							0 2 − 4			−1	4
							1		1	−1		− 2	0
							1		1	−1		− 2	0
								0	−1 1			5	− 2
								0	−1 1			5	− 2	.
								0	0	− 2		9	0
								0	0	− 2		9	0

Выпишем соответствующую систему уравнений:

x		+ x	2	− x	3	−2x	4	= 0
	1		2		3		4
		− x2 + x3 +5x4 = −2
				−2x3 +9x4 = 0
				−2x3 +9x4 = 0

Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение x4 = c и выразим остальные переменные

через c:

x3 =9c / 2 ,

x2 = 2 + x3 + 5x4 = 2 + 9x4 / 2 + 5x4 = 2 +19c / 2 ,

x1 = x3 − x2 + 2x4 =9x4 / 2 −19x4 / 2 − 2 + 2x4 = −2 −3c .

Таким образом, общее решение системы имеет вид

	−2		−3c
	2	+	19
	2	+	2	c
X =			2
X =		9 c		.
		2
			c
			c
	52

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.201939.52 Кб2kak_delat_kursach.docx
#
27.11.201978.34 Кб0KANADA (1).doc
#
07.07.20192.99 Mб2KCE.docx
#
15.05.2015828.02 Кб20koncep.pdf
#
15.05.20151.12 Mб42Koncep.pdf
#
18.03.20161.13 Mб59Konev-Linear_Algebra.pdf
#
15.05.2015411.84 Кб15Konstitucionnoe_pravo_RF.pdf
#
15.05.2015746.92 Кб9konstit_pravo.pdf
#
15.05.2015770.69 Кб13konstit_pravo.pdf
#
21.11.201960.93 Кб12kontrolnaya_isepp.doc
#
15.05.2015218.11 Кб14Kontrolnye_voprosy_po_sotsiologii (2).doc