Системы линейных уравнений

4.5.Правило Крамера

Имеется один частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.

Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

Если det A ≠ 0 , то система (3) является совместной и имеет единственное решение описываемое формулой

Доказательство. Нам предстоит доказать следующие утверждения:

1)Решение системы (3) существует и является единственным.

2)Равенства (4) являются следствием уравнения (3) и обратно, равенства (4) влекут за собой уравнение (3).

Так как det A ≠0, то существует и при том единственная обратная матрица

A−1 . Умножая обе части матричного уравнения (3) слева на A−1 , получаем его решение:

58

Системы линейных уравнений

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы. Чтобы получить i-ый элемент xi матрицы X, нужно умножить i-ую

строку матрицы A−1 на столбец B.

Используя выражение для обратной матрицы

A−1 = det1 A adj A

и учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы adj A составлена из

Сумма в правой части представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно,

xi = DDi .

Теперь проделаем обратное преобразование, переходя от выражений

xi = 1 ∑n Ak,i bk

D k =1

к системе уравнений (3).

Умножим обе части последнего равенства на D a j,i и просуммируем по i:

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

Ранее было показано, что

n

∑Ak ,i a j,i =δk j det A =δk j D , i=1

где δk j – дельта символ Кронекера.

С учетом того, что дельта символ Кронекера δk j снимает суммирование, получаем

что и требовалось доказать.

59

Системы линейных уравнений

Пример. Решить методом Крамера систему линейных уравнений

2x1 − x2 +5x3 =10

x1 + x2 −3x3 = −22x1 +4x2 + x3 =1

Решение. Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.

Таким образом,

x1 = DD1 = 8643 = 2 , x2 = DD2 = −4343 = −1,

x3 = DD3 = 4343 =1.

Сравните эти результаты с теми, что были получены методом Гаусса в примере 1 на стр. 50.

60

Системы линейных уравнений

Если rank A = r , то существует несингулярная подматрица ~ r-го

A

порядка. Ее коэффициенты при неизвестных указывают нам – какие именно r неизвестных следует выбрать за базисные переменные, приписав оставшимся (n −r) неизвестным роль свободных параметров. Укороченная система r

линейных уравнений полностью эквивалентна исходной системе и имеет (согласнотеоремеКрамера) единственноерешениедлялюбогонаборазначений свободных параметров.

Следствие.

1)Если rank A = rank A и совпадает с числом n неизвестных, то система имеетединственноерешение.

2)Если rank A = rank A < n , то система имеет бесконечное множество решений.

Доводы:

Первое утверждение по сути представляет собой просто другую формулировкуправилаКрамера.

Равенство рангов коэффициентной и расширенной матриц говорит о

играют роль свободных параметров и могут принимать любые значения. Каждому набору параметров, число которых бесконечно велико, соответствует своерешение.

Примеры.

1. Дана система линейных уравнений,

x1 +2x2 +3x3 = a4x1 +5x2 +6x3 =b7x1 +8x2 +9x3 = c

Установить соотношения между параметрами a, b и c, при которых система является несовместной.

Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к ступенчатойформе:

Системы линейных уравнений

2.Система линейных уравнений задана расширенной матрицей, представленнойвприведенно-ступенчатойформе:

Выяснитьсколькорешенийимеетэтасистема.

Решение. Очевидно, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы и совпадает с числом неизвестных. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение – согласно следствию из обобщенного правила Крамера.

3.Выяснитьсколькорешенийимеетсистемалинейныхуравнений, заданная расширеннойматрицей

при различных значениях параметра a.

Решение. Если a ≠ 0 , то rank A = 4 , тогда как rank A = 3. В этом случае система является несовместной и не имеет решений.

Если a = 0 , то rank A = rank A =3, что меньше числа неизвестных,

количество которых равно 4. Тогда одна из неизвестных должна рассматриваться как свободный параметр, и при этом система имеет решение при любых значениях этого параметра.

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

63