5. Що таке системи числення, якими вони бувають? Як представити деяке число n в позиційній системі числення?

Рассмотрим более подробно формы представления чисел в повседневной жизни и в компьютере.

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяемое позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число (примером непозиционной системы является римская система счисления).

Количество различных цифр в алфавите позиционной системы называется основанием S этой системы. Используемая в повседневной жизни система счисления имеет десять различных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) и поэтому называется десятичной системой счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления может быть представлено суммой произведений целых однозначных коэффициентов a_i, взятых из алфавита системы на последовательные целые степени основания S:

(1.1)

Сокращенная запись числа N_s имеет вид:

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной части. Запятая опускается, если нет отрицательных степеней. Позиции цифр a_i, отсчитываемые от запятой, называются разрядами. В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию S системы.

В компьютерах

6.Дайтеопис двійкової системи числення. Чому вона є найпоширенішою у техніці? Дайте приклад переходу 5-ти значного числа з десяткової в двійковий вигляд і назад

Ясно, что не существует максимального основания системы счисления, т.е. основание системы счисления может быть сколь угодно велико. В то же время существует минимальное основание системы счисления, равное 2. Эта система счисления называется двоичной системой счисления, в которой только две цифры – 0 и 1.

Любое действительное число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S = 2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число

11011,01₂=1·2⁴+1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2=16 + 8 + 2 + 1 + 0,25 = 27,25₁₀.

Для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Примерами таких двухпозиционных элементов могут служить:

• электромагнитное реле (состояния: замкнуто или разомкнуто);

• ферромагнитная поверхность (состояния: намагничена или размагничена)

• магнитный сердечник (состояния: намагничен в одном направлении или в противоположном);

• транзистор (состояния: проводит ток или не проводит тока).

Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0, а другое – цифру 1.

Именно простота и обеспечила наибольшее распространение в компьютерах двоичной системы счисления, основание которой S = 2; в ней используются лишь две цифры: 0 и 1.

Двоичное представление числа, по сравнению с десятичным представлением, требует большего числа разрядов (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза). Тем не менее, благодаря простоте, быстродействию и дешевизне технической реализации двухпозиционных элементов двоичная система счисления является в настоящее время основной системой, применяемой в компьютерах для представления информации, а также для выполнения арифметических и логических операций.

С помощью соответствующих программ десятичные числа при вводе в компьютер преобразуются в десятичные числа, а при выводе производится обратное преобразование. Однако при программировании и отладке программ часто приходится иметь дело с двоичными кодами команд программы, адресов и данных. Как уже говорилось, двоичные числа являются длинными и, кроме того, трудными для восприятия. Поэтому для сокращенной и удобной записи двоичных чисел часто используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.