Гравитационное поле
Силы тяготения. Все тела взаимно притягиваются. Такие явления, как падение тел на Землю, движение Луны по замкнутой орбите вокруг Земли, планет — вокруг Солнца и т. д., происходят под влиянием сил всемирного тяготения. Закон, которому подчиняются силы тяготения, был впервые сформулирован Ньютоном в 1687 г.
По закону всемирного тяготения Ньютона: всякие два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению из их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Обозначая массы тяготеющих тел через m1и m2расстояние между ними — через г, получим
где k — определенная постоянная, так называемая постоянная тяготения; ее численное значение зависит от того, в каких единицах измеряются сила f, массаmи расстояниеr.
k в системе СИ на 2011 год считается 6.67384 ± 0.00080) * 10−11 м3кг−1с−2.
(Кстати, эта постоянная до сих пор измерена на удивление плохо. Если другие фундаментальные физические константы известны с точностью 10−7-10−8, то у k неопределенность составляет аж 10−4, т.е. одну десятитысячную (а в 1998 году вообще одно время точность решили «ухудшить» до одной тысячной!). Вообще, есть несколько групп, которые пытаются измерить k разными способами. Таких измерений за последние годы было сделано несколько. В каждом из них точность неплохая, порядка 10−5. Беда только в том, что эти такие аккуратные измерения страшно расходятся друг с другом, на десяток стандартных отклонений. В 2011г. официально переопределили k с учетом новых результатов и ошибку ухудшили).
Закон Ньютона в указанной формулировке справедлив лишь в том случае, если размеры тел весьма малы по сравнению с расстоянием г между ними. В случае, если размеры тел сравнимы с тем расстоянием, на котором тела тяготеющих тел находятся друг от друга, каждое из тел следует разбить на элементы (рис.);
для каждой пары элементов справедлив закон тяготения Ньютона, так что сила взаимодействия i-ro элемента первого тела и k-го элемента второго тела будет равна
Полная сила взаимодействия выразится как векторная сумма всех
элементарных сил Δfik:
(Так как элементы, на которые разбиваются тела, должны быть взяты бесконечно малыми, то задача на самом деле сводится к интегрированию.)
Результат такого вычисления имеет весьма разнообразный вид для тел разной формы; он особенно прост для случая тяготения однородных шаров: два однородных шара взаимно тяготеют друг к другу с силой, совпадающей с формулой (1), и это справедливо для любого расстояния между шарами.
В течение XVIII и XIX столетий многие физики придерживались неправильного, идеалистического взгляда на тяготение, как на некое „действие на расстоянии" без всякой роли промежуточного пространства. В действительности всякое тело вызывает в окружающем пространстве изменения, ведет к образованию поля тяготения, представляющего собой, как позже показано Эйнштейном, искривление пространства-времени. Взаимное притяжение тел вызывается их взаимодействием с полями тяготения.
Из закона всемирного тяготения следует, что у поверхности Земли все тела должны падать с одинаковым ускорением. В самом деле, ускорение, приобретаемое телом с массой m:
где f— сила, с которой тело притягивается земным шаром. По закону тяготения Ньютона:
отсюда
но так как масса Земли и ее радиус являются величинами постоянными, то, следовательно, мы получаем, что все тела у поверхности Земли, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением
Знание постоянной k тяготения позволяет определить массу и плотность Земли, а также массу других небесных тел.
Воспользовавшись формулой (2), имеем
откуда, зная численные значения ускорения силы тяжести g0, радиуса ЗемлиR3и постоянной тяготения k, непосредственно определяем массу земного шара, для которой получается значение: М3= 5,97 • 1024кг.
Среднюю плотность земного шара найдем из соотношения
откуда получается значение d = 5,5 г/см3
Масса центрального светила, вокруг которого обращается спутник, может быть определена следующим образом. Пусть Мс — масса центрального светила, Мi—масса спутника, Ri— расстояние между ними. Сила притяжения f создает центростремительное ускорение спутника
откуда
где Ti—период обращения спутника. Отсюда имеем
т. е., зная радиус орбиты спутника и период его обращения, мы можем определить массу центрального светила. Так, по радиусу земной орбиты и продолжительности года находим массу Солнца Мс=1,98 • 1030кг.
Из формулы (4) также следует:
величина, стоящая справа, имеет постоянное значение для всех спутников, обращающихся вокруг данного центрального светила. Отсюда: квадраты времен обращения спутников (планет) вокруг центрального светила (Солнца) относятся как кубы их расстояний от центрального светила (Солнца). Этот закон по отношению к планетам был установлен Кеплером и носит название третьего закона Кеплера.