5.4.Параллель өстерге қарағанда инерция моментерінің арасындағы тәуелділік

Қиманың өзара перпендикулярX, У центрлік өстеріне қарағандағы

5.4-Сурет

инерция моменттері белгілі дейік. Енді осы өстерге параллель жаңа өстеріне қарағандағы инерция моменттерінің шамаларын анықтайық (5.4-сурет). Бөлініп алынған тің ХОУ жүйесіндегі координаттары х, у, ал жүйесіндегі координаттары = x+a, =y+b болсын.

Фигураның және өстеріне қарағандағы инерция моменттері төмендегі интегралдар мен анықталады

Бұл өрнектердегі интегралдары, центрлікХ, У

өстеріне қарағандағы статикалық моменттер болғандықтан нөлге тең, олай болса:

. (5.06)

Сонымен, фигураның кез келген центрлік өсіне параллель өске қарағандағы өстік инерция моменті, центрлік өстік инерция моментіне, фигураның ауданын осы өстердің ара қашықтығының квадратына көбейтіп қосқанға тең. Центрлік өске қарағандағы өстік инерция моменті, осы өске параллель, кез келген өске қарағандағы өстік инерция моменттерінен кіші.

Фигураның өзара перпендикуляр центрлік өстеріне параллель өстерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моменті, фигура ауданының осы өстердің ара қашықтықтарына көбейтіп қосқанға тең (5.4-сурет).

Жалпы жағдайда, күрделі фигуралардың инерция моменттері келесі формулалармен анықталады

(5.07)

5.5.Бұрылған өстерге қарағандағы инерция моменттерінің арасындағы байланыс

Қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін өзара, перпендикуляр X, У өстеріне қарағандағы инерция моментері белгілі болсын (5.5-сурет).

Енді қиманың осы өстерге бұрышын жасайтын центрлік өстеріне қарағандағы инерция моменттерін табайық (өстердің сағат тіліне қарсы бағытта бұрылуы оң деп қабылданған).

5.5-Сурет

Ол үшін -тің берілгенХОжүйеciндeгi координаттары мен жаңа Х₁ОУ₁ жүйесіндегі координаттарының арасындағы өзара байланысты анықтайық

Олай болса

(5.08)

(5.09)

(5.10)

Алынған 5.08 және 5.09 өрнектерін қоссақ екенін көреміз.

Яғни, өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы инерция моменттерінің қосындысы, осы өстерді кез келген біp бұрышқа бұрғаннан өзгермей, тұрақты болып қалады.

Енді, өстік инерция моменттерінің айырмасын қарастырсақ

өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы өстік инерция моменттерінің айырмасы, осы өстерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моментінің шамасына тең екенін көреміз.

5.6. Қарапайым қималардың инерция momehttepi

1.Тік төртбұрыш. Қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін өстерге, қарағандағы өстік инерция моменттерін табайық (5.6-сурет). Анықтама бойынша X өсіне қарағандағы өстік инерция моменті

мұндағы . Олай болса

5.7-сурет 5.8-сурет

.

Дәл осылай dF=h-dx деп қабылдап, У өсіне қарағандағы өстік инерция моменті

,

екенін көреміз.

Төртбұрыштың табаны арқылы өтетін өске қарағандағы инерция моменті

,

2. Дөңгелек. Алдымен өрістік инерция моментін анықтайық (5.7-сурет). Анықтама бойынша , мұндағы

Олай болса

немесе ,

болғандықтан .

3. Үшбұрыш. Ауырлық өтетін өстерге қарағандағы инерция моментін анықтайық (5.8-сурет).

, мұндағы .

Үшбұрыштардың ұқсастығынан

осыдан

Демек

.

Үшбұрыштың табаны арқылы өтетін өске қарағандағы инерция моменті

.