Лекции - мат.методы в геофизике

Последнее выражение показывает, что кривизна луча прямо пропорциональна параметру p и производной от скорости. Таким образом, мы пришли к двум разным формам уравнения луча, связывающим функции θ и c(z). Чтобы проиллюстрировать использование формул, рассмотрим, как ведут себя лучевые траектории при различных функциях скорости c(z).

Случай 1: однородная среда. В этом простейшем случае dc/dz = 0, кривизна луча (9.53) всюду равняется нулю и, следовательно, все лучи являются прямыми.

Случай 2: скорость увеличивается с глубиной. Предположим теперь, что источник, как и ранее, расположен в начале координат, а скорость c почти линейно возрастает с глубиной; т.е. dc/dz > 0. Из формулы (9.53) следует, что кривизна луча всюду положительная, так что траектория луча стремится загнуться вверх. Иными словами, из уравнения луча ясно, что угол θ увеличивается с расстоянием s от источника. Следовательно, у каждого луча, за исключением того, который соответствует углу θ = 0, имеется такая точка, где θ = π/2 и касательный вектор к траектории перпендикулярен оси z. При дальнейшем увеличении расстояния s угол θ становится больше π/2, и луч изгибается в сторону области с меньшей скоростью. Из формулы (9.49) следует, что в точке поворота θ = π/2 скорость ведет себя обратно пропорционально параметру луча

c(z) = 1/p = c0/ sin θ0.

Так как скорость распространения монотонно увеличивается с глубиной, координата z точки поворота луча уменьшается с ростом угла θ0. У лучей в рассматриваемой среде существует еще одно интересное свойство, которое состоит в том, что они симметричны относительно вертикальной оси, проходящей через точку поворота. Действительно, представим себе горизонтальную линию z = z0, пересекающую луч в точках p1, и p2. Поскольку эти точки находятся на одинаковой глубине, кривизна луча в них также одинакова. Помимо этого, из (9.49) имеем sin θ1 = sin θ2, где θ1 и θ2 - углы соответственно в точках p1 и p2. Из последнего равенства следует, что θ1 = π − θ1,. Геометрия лучей и существование зон, где они взаимно пересекаются, существенно зависят от скорости увеличения функции c(z) с глубиной.

Случай 3: скорость уменьшается с глубиной. Предположим, что с увеличением координаты z скорость падает, т.е. dc/dz < 0. Все лучи, за исключением горизонтального луча θ0 = π/2, стремятся с увеличением глубины стать параллельными оси z. Снова представим себе горизонтальную линию z = z0. Имеем, что sin θ(z) = pc(z). Следовательно, функция θ(z) асимптотически стремится к значению θ = 0 при z → ∞. Соотношение

sin θ(z1) = sin θ(z2) = p c(z1) c(z2)

показывает, что θ(z2) < θ(z1), если z2z1. так как c(z1) < c(z2). Последнее неравенство

81

для угла θ подтверждает, что θ = 0 является асимптотическим значением.

Случай 4: нормальное падение плоских волн. Рассмотрим вместо точечного источника распространяющуюся вертикально плоскую волну, падающую на плоскость z = 0. В этом случае соответствующие лучи характеризуются углом θ0 = 0 и поэтому, независимо от поведения функции c(z), плоская волна распространяется в одном и том же направлении вдоль прямых вертикальных лучей. Этот вывод следует непосредственно из закона Снеллиуса:

sin θ(z) = sin θ0 = 0 c(z) c0

или θ = 0. Однако в общем случае, когда скорость c зависит не только от вертикальной координаты z, фронт волны перестает быть плоским, его форма изменяется и, помимо этого, лучи могут пересекаться.

Случай 5: модель с переходной зоной (c1 = const, c2 = const). Рассмотрим более сложную модель среды, в которой существуют две области с различными скоростями (постоянными в пределах своей области). Пусть, кроме этого, в указанной среде существует переходный слой, где скорость меняется монотонно. Предположим также, что источник находится в начале координат в верхней среде, а функция c(z) всюду непрерывна. Вначале рассмотрим случай, когда скорость в переходном слое относительно быстро возрастает, т.е. c2 > c1, и dc/dz > 0. Очевидно, что луч с параметром p = 0 (θ0 = 0) - это прямая, направленная вдоль оси z. Однако для других лучей наблюдается совершенно другая картина. Поскольку в пределах переходного слоя производная dc/dz > 0 положительна, угол падения θ увеличивается с ростом z. Если параметр луча p относительно мал, его угол падения θ(z) не достигает значения π/2 даже на нижней границе слоя. Лучи этой первой группы проходят через слой и появляются в среде, имеющей скорость c2. Таким образом, рассматриваемые лучи состоят из трех частей: прямых линий поверх и ниже переходного слоя и искривленного участка внутри него. Из закона Снеллиуса следует, что

sin θ1 = θ2 c1 c2

где θ1, и θ2 - углы падения в верхней и нижней части среды. Это соотношение описывает закон Снеллиуса для преломленного луча на границе сред с различными скоростями. Пусть луч, приходящий в точку поворота на нижней границе слоя, характеризуется углом θ0c. Тогда в этой точке

] и луч возвращается в верхнюю среду, пересекая верхнюю границу в точке x1. Дальнейшее увеличение угла падения (θ0 > θ0c приводит к уменьшению координаты z

82

точки поворота. Асимптотически она достигает верхней границы промежуточного слоя. Соответственно, вторая группа лучей возвращается в верхнюю среду, где они становятся прямыми линиями. Очевидно, что траектории лучей симметричны относительно точки поворота. Мы снова имеем sin θ1 = sin θ2 или θ2 = π − θ1. Это равенство, аналогичное, также представляет собой закон Снеллиуса. В дальнейшем мы получим это соотношение из граничных условий. Рассмотрим далее, как ведут себя лучи вдоль оси 0x. Лучи отсутствуют на интервале : 0 < x < x1 . Угол θ0c, под которым луч пересекает прямую z = 0 в точке x1 определяется из соотношения (9.53). Его иногда называют критическим углом. При больших значениях x наблюдаются лучи, которые приходят под углом θ0, равным углу падения. Таким образом, критический угол θ0c позволяет разделить все семейство лучей на две группы: 1) лучи, которые проникают в нижнюю среду, и 2) лучи, которые имеют точку поворота

впромежуточном слое. Очевидно, что в противоположном случае, когда скорость c(z) монотонно уменьшается в сторону нижней среды и c2 < c1 точки поворота отсутствуют. Соответственно угол преломления θ2 в нижней среде меньше угла θ0 в верхней области и согласно закону Снеллиуса мы имеем sin θ2 = c2 sin θ0/c1 < sin θ0.

Случай 6: модель с переходной зоной (dc1/dz > 0 и dc2/dz > 0). Предположим что в верхней и нижней части среды скорость ведет себя почти линейно, но

впромежуточной зоне производная dc/dz изменяется в большей степени. Как и в предыдущих случаях, будем полагать, что источник находится в начале координат. В такой среде удобно различать три группы лучей. Точка поворота первой группы лучей располагается выше промежуточного слоя, а ее координата x постепенно уве-

личивается с увеличением угла θ0. Пусть луч, точка поворота которого расположена

на нижней границе верхней области, характеризуется углом θ0. Очевидно, что угол падения θ0 первой группы подчиняется следующему условию: θ0 > θ0. Помимо этого, существует диапазон углов θ0 < θ0, для которого точка поворота лучей лежит внутри промежуточного слоя. Это происходит из-за того, что внутри слоя скорость меняется достаточно сильно. Такие лучи, образующие вторую группу, пересекаются с некоторыми из лучей первой группы в верхней среде. Лучи с относительно малыми значениями θ0 образуют третью группу с точкой поворота, расположенной ниже промежуточного слоя.

Случай 7: низкоскоростная зона. Предположим, что при малых z скорость постепенно увеличивается с глубиной. Тогда существует диапазон глубин, где dc/dz < 0. После этого интервала скорость начинает увеличиваться даже быстрее, чем в верхней части среды. Лучи с достаточно большими значениями θ0 образуют первую группу. Как и в предыдущем случае, они расположены в верхней области, где скорость увеличивается с глубиной. Координата x точки поворота таких лучей обычно возрастает с увеличением θ0. Вторая группа лучей характеризуется меньшими значениями θ0. Когда какой-нибудь луч из этой группы достигает зоны, в которой скорость

83

где zmax обозначает координату z точки поворота, т.е. максимальную глубину проникновения луча. Следует заметить, что параметр луча p можно представить, как минимум, двумя различными способами:

Здесь cmax - скорость в точке поворота; ее значение является максимальным вдоль луча.

9.7Линейное возрастание скорости с глубиной.

Чтобы показать, как используются параметрические уравнения луча, рассмотрим очень простой случай, когда скорость линейно возрастает с глубиной: c(z) = c0 + mz. Очевидно, что для произвольной функции c(z) всегда можно выбрать такие интервалы, где скорость меняется от z почти линейно. Прежде всего, из равенства (9.52) следует, что

Таким образом, кривизна каждого луча постоянна, и это означает, что траектория луча является дугой некоторой окружности. По определению, радиус кривизны дуги

т.е. радиус кривизны обратно пропорционален синусу угла выхода θ0. Геометрически легко увидеть, что центры таких окружностей лежат на прямой, расположенной на расстоянии c0/m от плоскости z = 0. Напомним, что мы рассматриваем случай, когда градиент скорости всюду является постоянным. Если же на некотором интервале z производная dc/dz имеет другое значение, то центры соответствующих дуг окружностей будут лежать на другой прямой. В частности, когда указанная производная становится отрицательной, т.е. скорость на некотором интервале глубин уменьшается, линия центров располагается под лучами. Поскольку скорость линейно зависит от координаты z, легко получить параметрические уравнения луча в явном виде. Действительно, из закона Снеллиуса следует, что sin θ = pc(z). Дифференцируя это выражение по z, получим

cos θθz = pcz.

или

dz = cos θdθ. pcz

85

9.8Каустики.

В приложениях лучевого метода часто бывает так, что семейство лучей имеет огибающую кривую в плоском и поверхность в трехмерном случаях. Огибающие семейства лучей называются каустиками. Пусть параметры α, β характеризуют луч, а τ = τ(α, β) – значение параметра τ на луче в точке M касания его и каустики. Таким образом, уравнение каустики в векторной форме имеет вид r = r(α, β, τ(α, β). Векторы rτ , rα + rτ τα, rβ + rτ τβ компланарны, так как они лежат в касательной плоскости к каустике, следовательно,

([rα + rτ τα, rβ + rτ τβ], rτ ) = 0

или, так как [rτ , rτ ] = 0,

([rα, rβ], rτ ) = 0.

В силу того, что (rτ , rα) = 0, (rτ , rβ) = 0, |rτ | = c > 0,

|([rα, rβ], rτ )| = |rτ ||[rα, rβ]| = |c||[rα, rβ]| = 0,

∂(x,y,z) равен нулю. Отсюда следует, что в окрестности каустики лучевые координаты

∂(α,β,τ)

уже не являются однозначными функциями декартовых. Этот факт очевиден и геометрически. Из того, что J = 0, следует, что уже нулевое приближение лучевого метода несправедливо в окрестности каустики. Приведем некоторые результаты, которые получаются из приведенных ниже рассмотрений. Лучевое приближение несправедливо в слое, состоящем из точек расположенных на расстоянии n = O(|ω|−2/3) по нормали от каустики. Через каждую точку N слоя проходят два луча: один, идущий к каустике, другой - от нее. Нулевое приближение лучевого метода в точке N имеет вид

Здесь α1, β1 - параметры, характеризующие луч, идущий к каустике и проходящий через точку N, τ1(N) - значение эйконала на этом луче в точке N, α2, β2, τ2 играют ту же роль для луча, идущего от каустики. Следует обратить внимание на то, что на луче, идущем от каустики, фазовый множитель равен не eiωτ1(N), a eiωτ2(N)−iπ/2. Другими словами, фаза волны, прошедшей каустику, уменьшается скачком на π/2.

87

9.9Уравнение лучей и волновых фронтов в окрестности каустики.

Пусть поле лучей r = r(α, β, τ) имеет огибающую, т.е. каустику. Будем рассматривать трехмерный случай. Теория каустик для плоского волнового поля из таких построений вытекает как частный случай. Будем предполагать, что все аналитично. Это касается и каустики, и скорости c(x, y, z), и функции r при том выборе параметров, который будет сейчас описан. Кроме того, мы ограничимся тем случаем, когда касание лучей и каустики всюду имеет первый порядок. Если предположить только достаточную гладкость скорости c(x, y, z) и функции r, то основные результаты с соответствующими изменениями переносятся и на этот случай. Чтобы задать луч, достаточно задать точку касания его и каустики. Если на каустике имеется сетка криволинейных координат α, β, то эти же α, β могут играть роль параметров, характеризующих луч. Лучи, касаясь каустики, образуют на ней поле направлений. Построим семейство кривых на каустике, для которых векторы этого поля направлений являются касательными векторами. Точки на кривых семейства будем характеризовать значением эйконала в этих точках. Пусть луч L0 касается кривой S семейства в точке M0. Значение эйконала τ на этом луче в точке M0 мы примем за значение параметра α на кривой S (в точке M0). Пусть параметр β характеризует кривую S. Таким образом, на каустике введена ортогональная система координат (α, β). Ортогональность системы (α, β) следует из того, что линии α = const - это линии, где эйконал постоянен, т. е. следы волновых фронтов на каустике, а линии β = const касательны к лучам и, следовательно, ортогональны к волновым фронтам, а потому и к линиям α = const. При только что описанном выборе параметров α, β параметрическое уравнение каустики имеет вид r = r(α, β, τ)|τ=α = r(α, β, α). Предположим, что параметры (α, β) образуют регулярную сетку на каустике, т. е. векторное произведение

В силу ортогональности координатной сетки α, β скалярное произведение

Прежде всего выведем некоторые важные для дальнейшего свойства производных вектор-функции r(α, β, τ). В точке M0, лежащей на каустике, введем декартову систему координат x, y, z. Пусть плоскость (x, y) совпадает с касательной плоскостью к каустике в точке M0, а ось x направлена по лучу, проходящему через M0 в сторону возрастания τ. Выбор направления оси z будет уточнен несколько позже. Вычислим производные проекций вектор-функций, которые будем обозначать xα, xβ, xτ , yα и т. д., на выбранные оси декартовой системы координат. Так как | τ| = 1/c(M) и в

88

точке M0 градиент τ направлен по оси x, то в точке M0

Направление производной rβ в точке M0 совпадает с направлением оси y, поэтому

где неравенство имеет место в силу (9.71). Докажем теперь, что на каустике rα = 0. Так как луч α = α0, β = β0 и каустика τ = α касаются друг друга в точке M0, векторы rτ , rβ и rα + rτ лежат в одной плоскости и, следовательно,

Далее, поскольку (rτ , rβ) = 0 и (rτ , rα) = 0, то из (9.72), (9.73) вытекает, что (rα, rβ) = 0. Таким образом, векторы rα, rβ и rτ взаимно ортогональны, и для выполнения (9.75) необходимо, чтобы один из этих векторов обращался в нуль. Но rβ ≠ 0 и rτ ≠ 0 (см. (9.72), (9.73)), так что, действительно, rα = 0. Переходим к выводу уравнений луча и каустики в окрестности точки M0. Разложим вектор-функцию r(α, β, τ) в ряд по степеням α −α0, β −β0, τ −τ0 (α0, β0, τ0 (τ0 = α0) значение параметров α, β, τ в точке M0). Принимая во внимание равенство rα = 0 , получим

r(α, β, τ) = rβ(β − β0) + rτ (τ − τ0) + 12 (rββ(β − β0)2 + rττ (τ − τ0)2 + rαα(α − α0)2)+ rτβ(τ − τ0)(β − β0) + rβα(β − β0)(α − α0) + rτα(τ − τ0)(α − α0) + . . . .

(9.76) Чтобы получить уравнение луча, проходящего через точку M0, положим в (9.76)

(9.77) Уравнения (9.77) представляют собою уравнения луча в параметрической форме. Исключая параметр τ, приходим к уравнению луча в явном виде

Полагая в (9.76) τ = α, получаем уравнение каустики в параметрической форме

Записывая эти параметрические уравнения в проекциях на оси x, y, z и исключая из полученных равенств α, β с учетом (9.73), (9.74), придем к явному заданию каустики z = z(x, y). С точностью до главных членов

где dxy и dyy - некоторые коэффициенты, не зависящие от x и y. Для вывода уравнения волнового фронта в окрестности точки M0 нам понадобятся некоторые свойства старших производных вектор-функции rα, rβ, rτ . Прежде всего покажем, что в точке

M0

так как в противном случае выражения (9.78), описывающие луч, проходящий через точку M0, удовлетворяли бы уравнению каустики (9.80) с точностью до членов порядка x2 включительно, что невозможно, поскольку касание лучей и каустики по предположению, имеет первый порядок. Сравнивая (9.83) и (9.85), получаем (9.81). Напомним, что направление оси z пока не фиксировано. Зафиксируем теперь его так, чтобы выполнялось неравенство zαα > 0. Найдем, наконец, значения xαα, xαβ, и xααα. Дифференцируя равенство (rα(α, β, τ), rτ (α, β, τ)) = 0 два раза по α, один раз по τ, один раз по β и учитывая равенство rα = 0 (на каустике), получим на каустике

Установив необходимые свойства производных вектор-функции r, выведем в окрестности точки M0 уравнение волнового фронта. Положим в (9.76) τ = τ0. Проектируя

90