Лекции - мат.методы в геофизике

В то же время

rot s = rot gradφ = 0

и, как уже было сказано, волны дилатации не вызывают вращения и деформаций простого сдвига в объеме независимо от его ориентации. Отметим следующие два основных свойства функции f(a(t − R/c)) и ее производных.

1.Если аргумент f(a(t − R/c)) отрицательный, указанные функции принимают нулевые значения.

2.Распределение давления и дилатации, а также смещения и скорости частиц зависит от одной единственной координаты R, т.е. указанные функции остаются постоянными на сферической поверхности с центром в источнике. Такая волна является сферически симметричной, и именно поэтому она называется сферической. Векторы смещения и скорости частиц имеют только радиальную компоненту и, следовательно, перпендикулярны к поверхности R = const, что отражает одно из возможных свойств волн дилатации.

2.4ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Пусть в однородной среде имеется бесконечно длинная цилиндрическая полость радиуса r0. В момент времени t = 0 она начинает колебаться так, что смещение ее поверхности в радиальном направлении описывается следующим образом:

Здесь f(at) - произвольная функция времени, обладающая первой и второй производными и одинаковая во всех точках поверхности полости.

21

2.5ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ КАК СУПЕРПОЗИЦИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН

Выберем цилиндрическую систему координат, ось z которой направлена вдоль источника. Очевидно, что источник возбуждает уходящую волну, зависящую только от координаты r. Как и в предыдущем разделе, выведем сначала выражение для скалярного потенциала смещения

В цилиндрической системе координат волновое уравнение для потенциала запи-

так как волновое поле не зависит от других координат. В отличие от сферически симметричного случая, решение уравнения (2.26) в общем случае нельзя выразить через элементарные функции. Поэтому мы используем два различных метода, которые позволят нам определить функцию φ. В основе одного из них лежит принцип суперпозиции, а в другом используется решение волнового уравнения для синусоидальных функций. Рассмотрим сначала первый подход. Линейный источник можно представить как сумму бесконечного числа элементарных источников одинаковой интенсивности, действующих синхронно во времени. В соответствии с этим волновое поле является в каждый момент результатом суперпозиции сферических волн от элементарных источников, и согласно (2.13), мы имеем

где постоянная A определяется из условия, заданного вблизи источника, a R обозначает расстояние от элементарного источника до точки наблюдения p. Мы имеем, что R2 = z2 + r2. Поскольку элементарные источники, расположенные на одинаковом расстоянии от точки наблюдения, вызывают одинаковые волновые поля, выражение (2.27) можно переписать как

Таким образом, мы получили выражение для потенциала φ в интегральной форме. По определению, функция f(t − R/c)/R отлична от нуля на интервале R/c < t < R/c + τ.

22

2.6ПОВЕДЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛН

Простой физический смысл подынтегрального выражения в формуле (5.62) позволяет объяснить некоторые основные свойства волн, порожденных линейным источником. Прежде всего, учитывая тот факт, что источник имеет бесконечную длину и его интенсивность не зависит от координаты z, мы заключаем, что избыточное давление P и дилатация Θ остаются постоянными на цилиндрической поверхности радиуса r. В то же время смещение и скорость частиц направлены по нормали к этой поверхности, где сохраняются также и их амплитуды. В силу указанной геометрии эта волна называется цилиндрической.

Все элементарные источники порождают в один и тот же момент времени волны одинаковой интенсивности, однако эти источники расположены на разном расстоянии от точки наблюдения. Поскольку источник, расположенный в окрестности начала координат (r = 0, z = 0), является ближайшим к точке p, волна от этого источника приходит раньше других. Таким образом, волновой фронт, имеющий форму цилиндрической поверхности, достигает наблюдателя в момент времени t = r/c, и в каждой точке вступление волны вызвано источником, расположенным на расстоянии r. С течением времени в точку наблюдения начинают приходить элементарные сферические волны от все большего числа удаленных источников. Результирующее возмущение среды определяется суперпозицией этих волн. При этом необходимо различать два основных свойства этого явления. Как следует из выражения (2.22), линейный источник возбуждает колебания в течение интервала времени τ, а затем его действие прекращается. В этот момент заканчивается каждая из сферических волн. В частности, это означает, что момент времени t = r/c + τ является последним моментом, когда источник, расположенный в окрестности начала координат, дает вклад в результирующую волну. В последующем интервал оси z, на котором источники уже прекратили вносить свой вклад в волновое поле в заданной точке, становится все больше. Иными словами, сферические волны от этих источников уже прошли через точку наблюдения. Соответственно, усиливается относительное влияние источников, расположенных на более далеких расстояниях R. Однако амплитуда сферических волн обратно пропорциональна расстоянию. Этот анализ показывает, что когда время стремится к бесконечности, суперпозиции этих волн, т.е. волновое поле, возбужденное линейным источником, становится меньше и стремится к нулю:

Цилиндрическая волна имеет еще одно интересное свойство. Поскольку линейный источник является бесконечно длинным, для любого момента времени всегда можно указать такой удаленный источник, от которого сферическая волна достигнет точки наблюдения еще позже. Таким образом, в отличие от сферической волны, цилиндрическая волна затухает в течение бесконечно долгого времени, т.е. она не заканчивает-

23

ся, и в этом смысле она напоминает процесс диффузии. Конечно, все это справедливо только для бесконечно длинного источника. Например, если длина линейного источника равняется 2d, а точка наблюдения расположена в плоскости симметрии z = 0, то хвост волны, которая в данном случае не является цилиндрической, приходит в момент времени r = 1 + τ, R2 = r2 + d2. Выражение (2.28) удобно переписать в виде

Ранее мы пришли к заключению, что волновые поля исчезают, когда время стремится к бесконечности. Этот же результат следует из (2.30). Поскольку положение каждого из элементарных источников по отношению к точке наблюдения характери-

rR2 − r2

Вводя обозначение x = t − R/c или R = c(t − x), получим dR = −cdx и

0(t − x)2 − r2/c2

Последнее выражение позволяет определить асимптотическое поведение, когда время стремится к бесконечности. В этом случае знаменатель в (2.31) примерно равен t, и мы получаем

Таким образом, мы убедились в том, что с увеличением времени существует такой момент, когда скалярный потенциал и, следовательно, амплитуда волновых полей

начинает постепенно уменьшаться. Рассмотрим теперь интеграл

∫ ∞

характеризующий распределение дилатации в цилиндрической волне. Поскольку Pa =

где t1 < r/c – - произвольный момент времени. Учитывая, что волновые поля отсутствуют до момента вступления волны и исчезают, когда время неограниченно растет, мы должны заключить, что L = 0. Следовательно, как и в случае сферической волны, в цилиндрической волне существуют зоны сжатия и растяжения, которые распределены таким образом, что интеграл L равен нулю. Используя (2.28) легко получить представления для волновых полей. Так, например, избыточное давление

2.7ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим теперь третий, самый простой тип волн. Предположим, что источник состоит из двух параллельных плоскостей бесконечной протяженности, расположенных в окрестности плоскости Y OZ. Пусть в каждый момент времени эти плоскости движутся в противоположных направлениях так, что смещение s имеет только одну компоненту: sx = s(t), не зависящую от координат y и z. Очевидно, что колебания такого источника вызывают уходящую волну по обе его стороны. Для определения волновых полей, мы могли бы использовать, как и ранее, скалярный потенциал. Однако, учитывая простоту геометрии волнового поля, мы можем начать непосредственно с выражения для смещения и предположить, что в окрестности источника

Решение этого уравнения хорошо известно:

s(x, t) = Af1(a(t − x/c)) + Bg(a(t + x/c)).

Описанный выше источник генерирует одинаковые волны по обе стороны плоскости Y OZ, и, следовательно, мы можем ограничиться диапазоном x > 0. В этом случае

Смещение (2.35) должно удовлетворять граничным условиям (2.33) на поверхности источника. Эти условия будут удовлетворены, если A = s0 и f1(a(t − x/c)) = f(a(t − x/c)). Таким образом,

25

Из соотношений v = ∂s/∂t, Θ = ∂s/∂x и P = −KΘ (K = ρ0c2) получаем волновые поля

Аргумент a(t − x/c) называется фазой волны. Как видно из этих выражений, поверхности постоянной фазы являются плоскостями, перпендикулярными оси x. По этой причине эти волны называются плоскими. Они играют чрезвычайно важную роль в сейсмологии. Из полученных выражений следует, что фронт волны приходит в момент времени t = x/c и его фаза равняется нулю. Затем, на интервале x/c < t < τ + x/c частицы среды вовлекаются в движение, пока не наступит момент времени t = x/c + τ, когда приходит хвост волны. Фаза на этой плоскости равняется aτ. После прохождения этой плоскости движение частиц прекращается, и они находятся в состоянии покоя. Следует заметить, что, в отличие от цилиндрических волн, у плоских волн так же, как у сферических, имеется фронт и хвост волны.

3Плоские волны в слоистой среде

Дискретно-слоистая среда представляет собой набор однородных слоев с плоскими границами. Дискретно-слоистая модель ценна не только относительной простотой звукового поля в ней, но и широким распространением дискретно-слоистых или близких к ним сред в естественных условиях и технических конструкциях. К тому же непрерывно-слоистую среду можно трактовать как предел дискретно-слоистой при стремящейся к нулю толщине отдельных слоев и одновременном росте их числа. В настоящем параграфе будем рассматривать плоские гармонические волны. Обобщим вначале понятие плоской волны.

3.1Плоская волна и ее представление в виде суперпозиции плоских гармонических волн.

По определению плоскую волну (s – вектор перемещения, p – давление, v – скорость) задают функции вида

где n = (nx, ny, nz) – единичная нормаль к фронту волны. Функция (3.1) является решением волнового уравнения

1 ∂2F

∆F − c2 ∂t2 = 0.

26

При вполне определенных условиях (например, если F (ξ) L2(R)) справедлива интегральная формула Фурье

задает плоскую гармоническую волну, а представление (3.2) показывает, что плоскую волну можно представить в виде суперпозиции плоских гармонических волн. Часто для удобства используется комплексная запись волновых полей. Мнимая часть искомых функций (s, p, v) значения не играет и выделяя вещественные части во всех формулах, мы приходим к нужным соотношениям. В частности, полагая Φ(ω) = a(ω) − ib(ω), получим

Таким образом, в комплексной записи плоскую гармоническую волну (например, давление) можно записать в виде

p = Aeiωξ, ξ = (nxx + nyy + nzz)/c − t,

где A – комплексная постоянная. Величина λ = 2πc/ω называется длиной волны. Пусть k = ω/c. Величина k – модуль волнового вектора с координатами kx = knx, ky = kny, kz = knz, т.е.

3.2Неоднородные плоские волны.

В определении плоской гармонической волны обычно считается, что n – вещественный вектор. Однако, от этого требования можно отказаться и считать что он комплексный, предполагая, что координаты

kx = kx′ + ikx′′, ky = ky′ + iky′′, kz = kz′ + ikz′′

есть комплексные числа, удовлетворяющие равенству (3.3). В этом случае все величины (перемещение, скорость, давление) имеют примерно одинаковый вид, в частности, для давления (с точностью до выделения вещественной части) имеем p =

27

Aexp(i(kxx + kyy + kzz − ωt) (A = const. Далее, считаем что все величины комплексны и нужная вещественная величина находится взятием вещественной части. После подстановки координат (kx, ky, kz) в (3.3) имеем, что

В частности, для давления имеем

p = Aexp[i(kx′ x + ky′ y + kz′ z − ωt) − (kx′′x + ky′′y + kz′′z)] (A = const).

Гармоническая (синусоидальная) волна, для которой давление записывается в этом виде называется неоднородной плоской волной. Ее фронты, т.е. плоскости постоянной

фазы или плоскости вида

kx′ x + ky′ y + kz′ z = const,

перпендикулярны вектору k′, а амплитуда, в отличие от обычной плоской волны, меняется вдоль фронтов по экспоненциальному закону. Амплитуда постоянна в плоскостях, ортогональных вектору k′′. В силу первого соотношения (3.4), плоскости постоянной амплитуды и постоянной фазы неоднородной плоской волны ортогональны, а

ее фазовая скорость √

cph = ω/|k′| = ω/ k2 + |k′′|2

- меньше скорости однородных плоских волн. Неоднородные плоские волны не могут существовать в безграничном однородном пространстве, так как тогда звуковое давление растет бесконечно. Однако, в ограниченных частях слоистых сред неоднородные плоские волны встречаются довольно часто.

3.3Отражение плоской волны от границы раздела сред.

Пусть из однородной жидкости со скоростью звука c и плотностью ρ, занимающей верхнее полупространс тво z > 0, на границу z = 0 с другой однородной жидкостью

спараметрами c1, ρ1, занимающей нижнее полупространство z < 0, падает плоская звуковая волна частоты ω. Среды считаем неподвижными. Плоскость XZ совместим

сплоскостью падения, содержащей в себе (по определению) как нормаль к границе раздела, так и волновой вектор падающей волны. Обозначим коэффициент отражения волны, определяемый как отношение комплексных амплитуд отраженной и падающей волны, через V . Амплитуду падающей волны условно примем за единицу. Тогда выражение для падающей и отраженной волн (для давлений) запишутся в виде

28

Здесь θ – угол между волновым вектором и осью OZ. Полное поле в верхней среде будет равно

Преломленная волна в нижней среде запишется в виде

где θ1 - угол преломления, а величину W мы назовем коэффициентом прозрачности границы. В литературе W называют также коэффициентом пропускания или коэффициентом прохождения. Величины V , W и Θ1 определяются из условий склейки на границе раздела (давление p и нормальная компонента скорости непрерывны при переходе через границу раздела). В частности, будет непрерывна и величина

где vz – нормальная компонента скорости частиц. Эта величина называется импедансом. Последнее равенство в (3.8) получается следующим образом. В случае синусоидальных волн имеем (в комплексной записи)

В частности, для компоненты z скорости имеем, что vz = −iωe−iωt ∂∂zΦ . Сравнивая выражение для скорости с представлением для давления имеем, что

Используя это равенство в определении импеданса получим то, что нужно. Поскольку граничные условия должны быть соблюдены при произвольном значении горизонтальных координат, то волны с разными значениями горизонтального волнового вектора должны удовлетворять им независимо. Поэтому падающая, отраженная и прошедшая волны имеют одинаковые проекции волнового вектора на плоскость z = 0. Это обстоятельство, являющееся, в сущности, прямым следствием инвариантности слоистой среды относительно горизонтальных трансляций, уже было использовано при записи отраженной волны. (Аналогично, в силу стационарности среды - неизменности ее во времени - падающая, отраженная и преломленная волны имеют одну и ту же частоту.) Поскольку давление непрерывно имеем

(exp(−izkcosθ)+V exp(ikzcosθ))eikx sin θ−ωt|z=0 = W exp[i(k1xsinθ1 −k1zcosθ1 −ωt)]|z=0,

29

откуда

1 + V = W (exp(i(k1 sin θ1 − k sin θ)x).

Поскольку левая часть здесь не зависит от x, то

Это равенство называется закон преломления Снеллиуса. Оно может быть записано также в виде

где n – показатель преломления. Используя понятие импеданса, граничные условия можно представить в эквивалентном виде:

где квадратные скобки обозначают скачок соответствующей функции. Из условия непрерывности давления вытекает связь коэффициентов отражения и прозрачности: С учетом закона Снеллиуса, мы имеем, что

Обратимся теперь к условию непрерывности импедансов. С помощью (3.7), (3.8) находим импеданс волны в нижней среде

(величина, не зависящая от z), и импеданс суммарного поля падающей н отраженной волн в верхней среде

Приравнивая импеданс при z = 0, находим коэффициент отражения:

Из вывода ясно, что эта формула справедлива для коэффициента отражения от произвольного слоистого полупространства (z < 0), если только найден его "входной"импеданс Z1 при z = 0. В рассматриваемом простейшем случае однородного нижнего полупространства, используя формулу (3.15) для Z1 находим

30