Лекции - мат.методы в геофизике

разложив сферическую волну на плоские, теория отражения и преломления которых была изложена ранее. Звуковое давление в сферической волне с произвольной зависимостью от времени дается формулой, в соответствии с которой

p = R−1eikR−ωt, k = ω/c, R = (x2 + y2 + z2)1/2.

Если z = 0, то поле сферической волны имеет вид r−1eikr−ωt, где r = (x2 + y2)1/2. Временно предполагаем, что излучатель находится в начале координат. В плоскости

Мы считаем, что в среде имеется некоторое, хотя бы сколь угодно малое поглощение,

Последнее выражение, описывающее поле в плоскости xy, нетрудно "продолжить"в пространство. Как известно, каждая Фурье-компонента при этом будет соответствовать в пространстве плоской волне. С формальной стороны для такого "продолжения"достаточно в экспоненте под интегралом добавить член ±iµz. Знак плюс (минус) соответствует точкам, лежащим в полупространстве z > 0 (z < 0), и волнам, распространяющимися в направлении положительных (отрицательных) z. При

Правильность проделанного здесь "продолжения"обосновывается тем, что правая часть (4.5) удовлетворяет волновому уравнению (поскольку ему удовлетворяет подынтегральное выражение) н дает нужное значение поля при z = 0. Выражение (4.5) представляет собой разложение сферической волны по плоским. Экспонента под интегралом является плоской волной, направление распространения которой задается значениями компонент волнового вектора ξ1, ξ2, µsgn z. Направление осей координат в (4.5) может выбираться произвольно. Поэтому можно разложить сферическую волну на плоские так, чтобы входящие в это разложение неоднородные волны затухали не в направлении оси z, а в любом другом наперед заданном направлении. Мы рассмотрели случай гармонической сферической волны. Можно построить аналогичное разложение для сферической волны общего вида. В определенных областях пространства поле сосредоточенного источника можно представить в виде суперпозиции только однородных плоских волн. При этом под интегралом по ξ1, ξ2 вместо 1/µ стоит обобщенная функция. Пусть теперь сферическая волна излучается в точке S на расстоянии z0 от границы раздела двух однородных жидких полупространств. В дальнейшем мы будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат помещено на границе раздела под источником. Разложение падающей на границу сферической волны на плоские при этом будет записываться в виде, где вместо z следует взять z − z0. При z > 0 звуковое поле складывается из падающей и отраженной волн:

Анализ поля отраженной волны pr является нашей задачей. Каждая из плоских волн под двойным интегралом (4.5) при распространении от излучателя до границы и от границы к приемнику в точке (x, y, z) набирает фазу ξ1x + ξ2y + µ(z + z0). Амплитуда волны вследствие отражения от границы должна быть умножена на коэффициент отражения V (ξ). В результате для отраженной волны получаем

Коэффициент отражения плоской волны V не зависит от ориентации горизонтальной проекции волнового вектора. Это позволяет свести интеграл (4.7) к однократному. Переходя в (4.7) к полярным координатам и используя при интегрировании по ψ тождество (см. )

Здесь J0 – функция Бесселя. Правые части соотношений (4.5) и (4.7) часто называют интегралами Вейля, а соотношения (4.8) – интегралом Зоммерфельда. Когда r ≠ 0, последний целесообразно преобразовать, выразив функцию Бесселя J0

Интегральное представление звукового поля в нижней среде (z < 0) строится аналогично. Оно имеет вид

где µ1 - вертикальная компонента волнового вектора плоской волны в нижней среде; k1 = ω/c1 – волновое число при z < 0; W - коэффициент прозрачности для плоской волны. Пользуясь формулой (4.8), можно рассчитать волну, отраженную от произвольного слоистого полупространства, подставляя соответствующий коэффициент отражения V (ξ). Подчеркнем, что pr зависит от суммы возвышений источника и приемника над границей, а не от z и z0 в отдельности. Если V = V0 = const, как это имеет место, например, при отражении от абсолютно мягкой или абсолютно жесткой границы z = 0, из соотношений (4.7) и (4.5) следует:

Мы видим, что в этом случае отраженное поле представляет собой сферическую волну, исходящую из расположенного в нижней среде мнимого источника S1. Точки S и S1 симметричны относительно границы раздела.

5Интегралы Лапласа (одномерный случай)

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

∫ b

где S(x) – вещественнозначная функция, λ – большой положительный параметр. Функция f(x) может принимать комплексные значения. Будем считать для простоты, что

1) - [a, b] – конечный отрезок и что f(x), S(x) достаточно гладкие при x [a, b] функции.

43

Мы далее получим простые асимптотические формулы, характеризующие поведение интеграла (5.1), используя следущие предположения.

1.Подынтегральная функция имеет при больших x резкий максимум (т. е. интеграл по отрезку можно приближенно заменить интегралом по малой окрестностп точки максимума).

2.В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более простой (например, такой, что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).

Применение метода Лапласа всегда сводится к проверке этих свойств. Для интегралов Лапласа (при условии, что [a, b] - конечный отрезок и f, S - достаточно гладкие функции) асимптотика вычисляется довольно просто. В случае же, когда зависимость от λ является более сложной, имеются только некоторые результаты, носящие частный характер.

5.1Простейшие оценки и утверждения.

сходится. Тогда имеет место оценка |F (λ)| ≤ ceλM и функция F (λ) аналитична в

Так как подынтегральная функция является целой функцией λ при каждом фиксированном x (a, b) и подытегральное выражение оценивается через интегрируемую функцию равномерно по λ в любой области вида {λ : Re λ [λ0, λ1], то справедливо утверждение.

Лемма Ватсона. Рассмотрим интеграл Лапласа вида

∫ a

Пусть β, α > 0, f C([0, a]) ∩ C∞([0, δ]) для некоторого δ > 0, и ε (0, π/2). Тогда при λ → ∞, λ Sε = {λ : arg λ| ≤ π/2−ε} справедливо следующее асимптотическое равенство

где выбираем ветвь функции λ−(k+β)/α по правилу

λ−(k+β)/α = |λ|−(k+β)/αe−i(k+β)arg λ/α, |arg λ| < π,

и Γ – гамма-функция Эйлера. Это разложение можно дифференцировать по λ любое число раз.

Доказательство. Отметим, что справедливо неравенство

sin ε|λ| ≤ Re λ ≤ |λ|, λ Sε

и значит O(|e−cλ|) = O(e−c sin ε−1|λ|) (c > 0). Также имеем равенство

Действительно, равенство (5.5) вытекает из определения гамма-функции при вещественном λ, если мы сделаем замену переменных τ = λxα. Тогда при комплексных λ утверждение вытекает из аналитичности функций, стоящих в правой и левой частях этого равенства и внутренней теоремы единственности. Аналогично получим

при k = 1, 2, . . .. Запишем формулу Тейлора для функции f(x):

Это представление справедливо на всем [0, a]. Подставляя разложение для f(x) в формулу (5.3), получим

=1 ∑N f(k)(0) λ−(k+β)/αΓ((k + β)/α)−

αk!

k=0

∑N ∫a∞ xk+β−1 f(kk)!(0) e−λx dx + ∫0a xβ−1rN (x)e−λx dx. k=0

(5.7)

45

Оценим последние слагаемые в правой части равенства. Имеем, внося модуль под знак интеграла и используя (5.6), что

Утверждение вытекает из (5.7). Утверждение о справедливости (5.3) для производных Φ(λ) вытекает из того факта, что полученное выражение после дифференцирования Φ имеет тот же вид что и сама функция Φ.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия леммы кроме условия f C∞([0, a]), которое заменяется на условие f C([0, a]). Тогда справедливо равенство

Доказательство повторяет вышеприведенные рассуждения, где вместо формулы Тейлора используем равенство f(x) = f(0) + o(x). Действительно, имеем

∫ a ∫ a ∫ a

xβ−1f(x)e−λx dx = xβ−1f(0)e−λx dx + xβ−1(f(x) − f(0))e−λx dx.

0 0 0

Как и выше получим, что первый интеграл есть α1 f(0)λ−β/αΓ(β/α) + o(|λ|−β/α). Второй интеграл разобьем на два

где c, c0 – некоторые положительные постоянные и ε(λ) → 0 при |λ| → ∞.

5.2Вклад от граничной точки максимума (основной случай).

Рассмотрим интеграл Лапласа F (λ).

Теорема 1. Пусть [a, b] – конечный отрезок и выполнены условия:

46

1.max S(x) достигается только в точке x = a.

2.f(x), S(x) C([a, b]).

3.f(x), S(x) C∞ при x, близких к a, и S′(a) ≠ 0. Тогда при λ → ∞, λ Sε

(ε (0, π/2))

где M0 = I – тождественный оператор.

Сумма в (5.12) при x = a совпадает с первыми N слагаемыми (5.9) и эта же сумма при x = a+δ экспоненциально мала по сравнению ceλS(a). Последний интеграл в (5.12) есть 0(λ−N−1eλS(a)), т.е. по крайней мере того же порядка, что и последнее слагаемое в сумме в (5.12). Это очень грубая оценка, но ее достаточно: таким образом,

Дифференцирование F (λ) приводит к интегралу того же вида. Как следствие рассуждений из теоремы имеем

Теорема 2. Пусть условия 1 и 2 теоремы 1 выполнены и S(x) C1 при x,

Доказательство. Пусть δ > 0 таково, что S′(x) ≠ 0 при x [a, a + δ] = Iδ. Интеграл по оставшемуся участку мы отбросим, так как он имеет порядок O(eλ(S(a)−c), c > 0. Сделаем замену S(x) − S(a) = −t, x Iδ. По теореме об обратной функции, x = φ(t) C1[0, δ′] для δ′ = S(δ) − S(a). Применяя к полученному интегралу

∫ δ′

eλS(a) e−λtf(φ(t))φ′(t) dt

0

следствие 1 получим результат.

Замечание 1. В предыдущих теоремах и далее промежуток [a, b] может быть и бесконечным (быть может при выполнении некоторых простых дополнительных условий). Кроме того, в асимптотических рядах выше мы можем рассматривать только конечное количество слагаемых, предполагая при этом, что используемые функции имеют соответствующую конечную гладкость. Это замечание относится к последующим теоремам и к лемме Ватсона. Отметим, что дифференциальные свойства функций f, S существенны только в окрестности точки максимума, т. е. асимптотика F (λ) определяется ростками этих функций в точке x = a.

5.3Вклад от внутренней невырожденной точки максимума.

и S(x) – вещественнозначная функция. Тогда существуют отрезки Ix = [x0−δ1, x0+ δ2], Iy = [−δ0, δ0] и функция x = φ(y) такие, что:

1.S(φ(y)) = S(x0) + εyN , y Iy, ε = sgn S(N)(x0);

2.функция φ(y) C∞(Iy) взаимно однозначно отображает отрезок Iy на отре-

Теорема 3. Пусть I = [a, b] – конечный отрезок и выполнены условия:

1.f(x), S(x) C(I);

2.maxx I S(x) достигается только в точке x0 (a, b);

3.f(x), S(x) C∞ при x, близких к x0, и S′′(x0) ≠ 0.

Тогда при λ → ∞, λ Sε, справедливо асимптотическое разложение

по оставшейся части отрезка экспоненциально мал по сравнению с eλS(x0), и мы его отбросим. Имеем

( ) ( )

a2k = d f(φ(y))φ′(y) ).

dy

Здесь мы воспользовались четностью функции f(φ(y))φ′(y) + f(φ(−y))φ′(−y), в силу которой нечетные производные этой функции обращаются в ноль в нуле. Тем самым существование разложения (5.18) доказано. Возможность почленного дифференцирования ряда доказывается так же, как и в теореме 2. Докажем (5.16). Нам достаточно рассмотреть случай, когда функции f(x), S(x) голоморфны в точке x0, так как a2k выражаются только через производные функций f, S в точке x0. По формуле Коши (здесь x, y - комплексные переменные) имеем при ε > 0 достаточно малом что

Теорема 3 может быть обобщена на случай и точки x0 = a. В этом случае, предполагаем, что все условия теоремы 3 выполнены и S′(a) = 0, S′′(a) ≠ 0. Таким образом имеем,

Теорема 4. Пусть I = [a, b] – конечный отрезок и выполнены условия: 1. f(x), S(x) C(I);

49