Лекции - мат.методы в геофизике

функцию в систему Ламе. Получим используя очевидные равенства div rot A = 0, rot U = 0, Учитывая, что rot rot s1 = div s1 − ∆s1, что

Поскольку существует бесконечное количество пар функций U и A, описывающих одно и то же поле s, всегда можно выбрать эти функции так, чтобы они удовлетворяли, соответственно, уравнениям (10.56) и (10.57). Очевидно, что выбранные таким образом решения будут подчиняться и уравнению Ламе.

10.6Граничные условия.

Поскольку уравнение Ламе выполняется только в регулярных точках среды, на границах раздела сред с различными упругими параметрами его необходимо заменить граничными условиями, которые будут характеризовать поведение сил и смещения s в точках, принадлежащих этим границам. Предположим для простоты, что границей раздела является плоскость XOY , т.е. z = 0. Предположим также, что в месте контакта двух сред невозможно образование разрывов. Тогда тангенциальная и нормальная компоненты смещения должны быть непрерывными функциями на границе: s1 = s2 или

при z = 0. Кроме того, нормальные и касательные компоненты тензора напряжений (вектор напряжений), действующие на каждый элемент границы, также являются непрерывными функциями:

Эти равенства следуют из второго закона Ньютона, описывающего линейное смещение и вращение. Учитывая соотношение между напряжениями и деформациями, равенства (10.59) можно переписать следующим образом:

λ1θ1 + 2µ1 ∂w∂z1 = λ2θ2 + 2µ2 ∂w∂z2 ,

(10.60)

Полезно рассмотреть граничные условия для трех разных случаев.

Случай 1. Свободная поверхность. Для того чтобы удовлетворить условию непрерывности на такой поверхности, напряжения должны равняться нулю во всех ее точках:

121

Равенства (10.61) являются граничными условиями на свободной поверхности. Однако компоненты смещения на этой поверхности не определены. Заметим, что если среда не упругая, а жидкая, то условия (10.61) сводятся к следующему:

поскольку в этом случае касательные напряжения отсутствуют во всей среде. Случай 2. Абсолютно жесткая граница. По определению все точки такой гра-

ницы остаются неподвижными, и, следовательно, все компоненты смещения равны нулю:

Случай 3. Граница между упругой и жидкой средами. Вдоль такой границы может наблюдаться проскальзывание, и, следовательно, только нормальная компонента вектора напряжений должна оставаться непрерывной. Поскольку в жидкости касательные напряжения отсутствуют, в упругой среде они должны быть равны нулю на границе. Нормальная компонента тензора напряжений является непрерывной функцией. Следовательно,

Здесь, как и ранее, индекс 1 относится к упругой среде.

Чтобы полностью определить решение системы Ламе необходимо задать начальное условие в точке t = 0, граничные условия на боковой поверхности той области, где мы рассматриваем уравнение и условия (10.60) на границах раздела сред. При выполнении этих условий решение определяется однозначно. В частности, для этого условия (10.60) необходимы если мы рассматриваем слоисто-однородную среду. Начальное условие подразумевает, что волновое поле известно во всех точках среды в некоторый момент времени t = 0. Обычно предполагается, что в начальный момент времени волновое поле отсутствует.

10.7Продольные и поперечные плоские волны

Как и в случае акустических волн, особое внимание здесь уделим распространению плоских волн в упругой среде. По определению фазовая поверхность таких волн является плоской, и сначала мы предположим, что величина и направление смещения s на этой поверхности остаются неизменными. Конечно, то же самое справедливо и для любых других характеристик волновых полей, и это означает, что плоская волна является однородной. В дальнейшем будет рассмотрена более сложная, неоднородная волна, в которой смещения, деформации и напряжения могут быстро изменяться вдоль фазовой поверхности. Поскольку наша основная цель состоит в том, чтобы

122

описать отражение и прохождение волн на плоской границе, введем прямоугольную декартову систему координат с осью y, параллельной волновой поверхности. Позже мы будем предполагать, что граница между двумя упругими средами совпадает с плоскостью XOY . Очевидно, что на каждой плоскости, перпендикулярной оси y, волна ведет себя одинаковым образом. Поэтому ограничимся изучением волнового поведения только на одной из этих поверхностей, например плоскости XOZ, которую обычно называют плоскостью падения. Будем различать три возможных типа плоских однородных волн: 1) продольная волна P , в которой частицы движутся в направлении распространения, т.е. перпендикулярно фазовой поверхности; 2) поперечная волна SV , в которой движения частиц происходят в плоскости падения по касательной к фазовой поверхности; 3) поперечная волна SH, в которой вектор смещений также касателен фазовой поверхности, но, в отличие от предыдущей волны, перпендикулярен плоскости падения или, иными словами, параллелен оси y. Пока-

жем теперь, что плоская волна P является волной сжатия и распространяется со

√

скоростью (λ + 2µ)/ρ. В то же время плоские волны SV и SH являются попереч-

√

ными (сдвиговыми) волнами, распространяющимися со скоростью µ/ρ. Используем систему координат: ось c ортом k1 направлена по нормали к волновому фронту, и орты i1, j1 по направлению волн SV и SH. Для волны P по определению имеем

Это означает, что волна P является волной сжатия. Она распространяется со ско-

√

ростью (λ + 2µ)/ρ. Смещение компонент волны SV записывается в новой системе координат как

Таким образом, волна SV является поперечной волной и распространяется со скоростью cs. Наконец, в случае волны SH

Мы снова получаем, что div s = 0 и rot s ≠ 0, и, следовательно, волна SH также является поперечной волной. Поскольку дивергенция и ротор инвариантны к замене системы координат, мы доказали, что волны SV и SH являются волнами вращения, а волна P -волной сжатия. Их можно описать с помощью векторного и скалярного потенциалов, которые удовлетворяют волновым уравнениям:

Считаем далее что волновые поля не зависят от координаты у. Заметим, что одному и то же полю s соответствует бесконечное множество функций φ и ψ. Воспользуемся этим фактом при выборе компонент вектора ψ. Для произвольной волны сжатия можно записать

В частности, для плоской волны из (10.68) вытекают следующие равенства:

Таким образом, обе компоненты вектора смещений s характеризуются одним скалярным потенциалом φ. Для поперечных волн (волн вращения) имеем

поскольку производные по y обращаются в нуль. Предположим, что для волны SV поле s описывается одной единственной компонентой ψy. Тогда вместо (10.63) получим

Пусть векторный потенциал для волны SH имеет только компоненту ψx. В результате равенства (10.72) запишутся как

Таким образом, в силу сделанных предположений потенциалы всех трех волн удовлетворяют волновым уравнениям относительно скалярных функций φ, ψy и ψx что существенно упрощает определение волновых полей. Заметим, что справедливость

124

сделанных предположений будет подтверждена в дальнейшем решением соответствующих граничных задач.

Выражения для потенциалов. Согласно предыдущему, функции φ, ψx и ψy подчиняются волновому уравнению, которое имеет следующий вид:

где ∆x,z - двумерный оператор Лапласа по переменным x, z. Чтобы найти функцию U, предположим, что плоская волна является синусоидальной. Тогда U можно представить как U(x, z, t) = ReV (ω, x, z)e−iωt. Подстановка этого выражения в (10.75) дает

где V - комплексная амплитуда U, а k = ω/c – волновое число для волн дилатации либо волн вращения. Считаем, что c = const. Применяя теперь метод разделения переменных, представим функцию V в виде произведения двух функций: X(x)Y (z). Функции X, Y удовлетворяют соответствующим обыкновенным дифференциальным уравнениям и можем взять

С учетом (10.77) функцию и, следовательно, комплексные амплитуды потенциалов φ, ψx, ψy можно записать как

где A – константа. Удобно также использовать несколько иное представление:

Поскольку определение компонент смещения связано с дифференцированием по x и z, последняя запись часто оказывается более предпочтительной. В общем случае nx и nz могут быть произвольными величинами, удовлетворющими условию в (10.77), однако нам интересны только два случая, а именно

1)nx < 1, и nz < 1;

2)nx > 1, и nz = ibz,

где bz - действительное число. Как следует из формулы (10.79), эти два случая описывают соответственно однородную и неоднородную волну. Действительно, в первом случае, поскольку |e±ik(nxx+nzz)| = 1, амплитуда A/k остается на фазовой

125

поверхности постоянной. Мы рассмотрели однородную плоскую волну. Для неоднородной волны наблюдается совершенно другая картина. В этом случае выражение (10.78) можно записать как

Очевидно, что фазовые поверхности перпендикулярны оси x, и амплитуда волны A/ke bzz к изменяется вдоль этих поверхностей. Отсюда видно, что мы имеем дело с неоднородной плоской волной. Такие волны могут возникать вблизи границ среды. Существует несколько типов таких волн, часть из них называют поверхностными волнами. В случае однородной плоской волны величины nx и nz являются направляющими косинусами единичной вектора n, перпендикулярного фронту волны. nx = sin θ, nz = cos θ и тогда

где θ – угол, образованный нормалью n и осью OZ. Это выражение описывает однородную плоскую волну с амплитудой A/k, распространяющейся вдоль вектора n.

10.8Плоские волны в слоистой среде

Этот параграф посвящен в основном изучению отражения плоских продольных и поперечных волн от плоской границы раздела и прохождения этих волн через указанную границу. Для того чтобы решить соответствующую граничную задачу, необходимо понять, как действуют поверхностные силы в окрестности границы двух упругих сред. Мы начнем с обсуждения поведения этих сил. Как было показано, закон Гука в прямоугольной системе координат записывается как

τxx = λθ + 2µexx, τyy = λθ + 2µeyy, τzz = λθ + 2µezz,

(10.82)

τxy = µexy, τxz = µexz, τxx = λτyz = µeyz.

Поскольку рассматриваются поля, которые не зависят от координаты y, выражения (10.82) и входящие туда функции можно слегка упростить и переписать их в следующем виде

(10.83) Заметим, что компонента eyy тензора деформаций равна нулю, однако нормальное напряжение τyy, характеризующее поверхностную силу вдоль оси y имеет ненулевое значение, если θ ≠ 0. Кроме того,

τxx = λθ+2µexx, τyy = λθ, τzz = λθ+2µezz, τxy = µexy, τxz = µexz, τyz = µeyz. (10.84)

126

Далее мы изучим напряжения и деформации для каждого типа однородной плоской волны.

Падающая волна P . В случае волны P v = 0, и, следовательно,

Таким образом, изменение угла в любой плоскости, параллельной плоскости XOZ, описывается двумя диагональными элементами и одним сдвиговым элементом тензора деформаций. Соответствующие напряжения записываются как

τxx = λθ + 2µexx, τyy = λθ, τzz = λθ + 2µezz, τxy = τyz = 0, τxz = µexz. (10.86)

Отсюда видно, что на элементарный объем, заключенный между координатными поверхностями, действуют три нормальные и одна касательная компонента напряжений. Касательное напряжение характеризует силу, которая направлена вдоль оси х и приложена к стороне объема, перпендикулярной оси z. Все подобные силы вызывают деформацию, однако вращение отсутствует, поскольку волна Р является волной сжатия. В частности, когда эта волна распространяется вдоль оси z,

u = v = 0, exx = eyy = 0, ezz = ∂w/∂z,

в то время как

exy = exz = eyz = 0,

поскольку компонента смещении w остается постоянной на волновой поверхности z = const. Следовательно, существует только одна ненулевая компонента деформаций ezz, и, соответственно,

τxx = τyy = λezz, τzz = (λ + 2µ)ezz,

но

τxy = τyz = τxz = 0.

Таким образом, все три касательные напряжения обращаются в нуль, и распространение продольной волны вдоль оси z сопровождается силами, действующими в перпендикулярном направлении (τxx, τyy ≠ 0). По этой причине скорость волны P зависит от упругого модуля µ.

Падающая волна SV . Поскольку вектор смещения лежит в плоскости падения (v = 0) и является касательным к волновой поверхности, он в общем случае имеет две ненулевые компоненты: u и w. Это означает, что выражения (10.85) и (10.86) описывают напряжения и деформации также и для волны SV . Однако поверхностные силы в данном случае действуют иначе. Поскольку плоская волна SV является

127

плоской волной вращения, эти силы не приводят к деформированию элементарного объема, а вызывают только его вращение. Предположим, что волна SV распространяется вдоль оси z. Тогда из формул (10.85) следует, что

Изменение углов в плоскости падения волны описывается только одним недиагональным элементом тензора деформаций, который характеризует также скорость изменения смещения и вдоль оси z. Для напряжений (10.86) выполняются следующие равенства:

Таким образом, нормальные напряжения равны нулю, а тангенциальные поверхностные силы, направленные вдоль осей x и z, приложены к соответствующим сторонам элементарного объема.

Падающая волна SH. Поскольку смещение направлено вдоль оси y, u = w = 0, равенства (10.83) записываются как

Очевидно, что эта волна вращения ведет себя очень просто: независимо от ориентации волнового фронта напряжения и деформации описываются только компонентами

eyz и τyz.

10.9Отражение и прохождение волн на границе двух упругих сред.

10.9.1Падающая волна P .

Предположим сначала, что падающая волна SV распространяется в верхней среде I и на границе z = 0 возникают отраженные и проходящие волны P и SV . Таким образом, возникает две вторичные волны P и две вторичные волны SV , а волна SH отсутствует. Как и ранее имеем, что y-компонента смещения равна нулю: v = 0. Поскольку волновые поля не зависят от координаты y, напряжение τyz обращается

128

или

В соответствии с законом Снеллиуса подстановка выражений (10.104) в систему (10.107) дает

k1l sin αi(Ai + Ar) − k1s cos βrBr = k2l sin α2A2 + k2s cos β2B2, k1l cos αi(Ar − Ai) + k1s sin βrBr = −k2l cos α2A2 + k2s sin β2B2,

−λ1k12l(Ar + Ai) + 2µ1[k12l cos2 αi(Ai + Ar) + k12s sin βr cos βrBr] =

(10.100)

−λ2k22lA2 + 2µ2[k22l cos2 α2A2 − k22s sin β2 cos β2B2],

µ1[2k12l sin αi cos αi(Ar − Ai) + k12s(sin2 βr − cos2 βr)Br] = µ2[2k22l sin α2 cos α2A2 + k22s(sin2 β2 − cos2 β2)B2].

Таким образом, мы получили систему из четырех линейных Уравнений относительно четырех неизвестных Ar, Br, A2 и B2. Численное решение этой системы позволяет найти все волновые поля в любой точке упругой среды. Коэффициенты отражения Rpp, Rps и прохождения Tpp, Tps записываются как

Rpp = Ar/Ai, Rps = Br/Ai, Tpp = A2/Ai, Tps = B2/Ai.

Если падающей волной является волна SV , все выкладки носят аналогичный характер.

10.9.2Падающая волна SV .

Предположим сначала, что падающая волна P распространяется в верхней среде I и на границе z = 0 возникают отраженные и проходящие волны P и SV . Это предположение можно легко обосновать. В частности, если предположить, что волны SV не возникает, мы получим противоречие, поскольку вычисления показывают, что такой P волны, удовлетворяющей условиям склейки ниже не существует. В тоже время в случае сделанного предположения такие волны легко строятся. Таким образом, возникает две вторичные волны P и две вторичные волны SV , а волна SH отсутствует. Из нашего предположения вытекает, что y-компонента смещения равна нулю: v = 0. Поскольку волновые поля не зависят от координаты y, напряжение τyz обращается в нуль. На границе двух упругих сред напряжения и обе компоненты смещения, u и w, являются непрерывными функциями:

130