Лекции - мат.методы в геофизике

Эти равенства можно записать в матричном виде

где T – матрица Якоби отображения s. Матрица T является примером тензорного поля, поскольку ее элементы обычно зависят от координат точки. По определению производные смещения s позволяют изучить деформацию, вызванную движениями частиц среды. В принципе, интегрируя элементы тензора, можно определить само векторное поле s. При выводе (10.16) мы использовали предположение о том, что членами разложения по формуле Тейлора, имеющими второй и более высокие порядки, можно пренебречь. Иными словами, поле s изменяется линейно в пределах элементарного объема. Благодаря свойству линейности изучение деформации значительно упрощается. В данном приближении относительные смещения u, v, w являются линейными функциями координат. Такая деформация называется однородной, и ее можно наблюдать в объемах любых размеров. В то же время, деформация элементарного объема всегда однородна в силу того, что его размеры малы. Мы представим тензор T в виде суммы его симметричной и антисимметричной части

ром деформации, а тензор B – тензором вращения. Первый их них характеризует деформацию элементарного объема, а второй его вращение.

Как было показано, распределение поверхностных сил в каждой точке упругой среды характеризуется шестью элементами симметричного тензора напряжений. В тоже время тензор деформаций также зависит от 6 элементов. Поскольку в результате деформации возникают внутренние силы, естественно предположить, что напряжения и деформации связаны между собой. Эту зависимость можно описать следу-

ющим образом: τxx = f11(εij), τxy = f12(εij), τxz = f13(εij), τyy = f22(εij), τyz = f23(εij),

τzz = f33(εij), где fij – некоторые функции, зависящие от координат тензора деформации. Можем считать, что эти функции в нуле обращаются в ноль, поскольку в отсутствии деформации напряжения также должны быть равны нулю. Разлагая эти функции в ряд и отбрасывая слагаемые второго и более порядка малости, придем к

111

некоторым соотношениям вида

τxx = c11ε11 + c12ε12 + c13ε13 + c14ε22 + c15ε23 + c16ε33

τxy = c21ε11 + c22ε12 + c23ε13 + c24ε22 + c25ε23 + c26ε33

τxz = c31ε11 + c32ε12 + c33ε13 + c34ε22 + c35ε23 + c36ε33

(10.17)

τyy = c41ε11 + c42ε12 + c43ε13 + c44ε22 + c45ε23 + c46ε33

τyz = c51ε11 + c52ε12 + c53ε13 + c54ε22 + c55ε23 + c56ε33

τzz = c61ε11 + c62ε12 + c63ε13 + c64ε22 + c65ε23 + c66ε33

Эти линейные соотношения описывают зависимость между напряжениями и деформациями и называются законом Гука. По определению, каждый коэффициент cij определяет первую производную элемента тензора напряжения по соответствующему элементу тензора деформации. Согласно равенствам (10.17), закон Гука содержит 36 коэффициентов, Однако в дальнейшем будет показано, что некоторые из этих коэффициентов равны друг другу, и в общем случае для описания этого закона достаточно 21 независимого параметра. Распространение упругих волн обычно сопровождается очень малыми деформациями, порядка 10−6 и меньше. По этой причине в разложении можно пренебречь членами второго и более высоких порядков малости. В то же время модули упругости cij могут принимать очень большие значения. Размерность этих модулей совпадает с размерностью напряжений, так как величины εij безразмерны. Заметим также, что в основе линейной теории упругости лежит закон Гука, в то время как нелинейная теория базируется на нелинейных соотношениях, связывающих тензоры деформации и напряжений.

10.4 Работа сил и потенциальная энергия деформированного тела.

Рассмотрим объем V упругого тела, на которое действуют поверхностные и объемные силы. Эти силы приводят к изменению взаимного расположения частиц тела, в результате чего возникает деформация. Рассмотрим очень малый промежуток времени, в течение которого эти силы остаются постоянными. Вариация работы этих сил равна

ΩS

где f – плотность объемных сил, t - вектор напряжения, δs - изменение смещения частиц; S - поверхность, окружающая объем V . Выполним теперь некоторые преобразования, которые позволят выразить работу δA через напряжения и деформации

112

только в тех точках, которые принадлежат объему V . С этой целью рассмотрим поверхностный интеграл в уравнении (10.18). Как показано ранее, вектор напряжения t можно представить в виде

t = (X · n)i + (Y · n)j + (Z · n)k,

где n - единичная нормаль к поверхности S, направленная в внешнюю сторону от рассматриваемого объема. Следовательно,

t · δs = (δsxX + δsyY + δszZ) · n.

Применяя формулу Гаусса-Остроградского

∫∫

SΩ

Соответственно, равенство (10.18) перепишется в виде

∫∫

Подынтегральное выражение можно существенно упростить, воспользовавшись следующими тождествами:

div (δsxX) = δsxdiv (X) + X · δsx, div (δsyY ) = δsydiv (Y ) + Y · δsy,

(10.21)

div (δszZ) = δszdiv (Z) + Z · δsz

Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил за единицу времени приводит к изменению кинетической и потенциальной энергии, а также теплоты δQ. Это можно записать как

где vx, vy, vz - компоненты скорости частицы вдоль соответствующих координатных осей. Соответственно, кинетическая энергия деформированного тела равна

где ax, ay, az – компоненты ускорения. Из формулы (10.18) видно, что скорость, с которой совершается работа, равна

Или

В связи с этим следует заметить, что при адиабатическом сжатии газа повышается его температура. Температура будет повышаться и при адиабатическом сжатии металла, правда в этом случае такое повышение будет очень небольшим. В принципе можно отвести часть тепла и восстановить исходную температуру. В результате будет наблюдаться небольшое изменение деформации, т.е. между адиабатическими и изотермическими модулями упругости существует различие, однако оно очень небольшое, обычно меньше одного процента. Рассмотрим выражение

X · δsx + Y · δsy + Z · δsz

более подробно. Ранее отмечалось, что тензор напряжений симметричен. В частности, отсюда имеем, что Yx = Xy, Xz = Zx, Yz = Zy. Положим

exx = ε11, exy = 2ε12, exz = 2ε13, eyy = ε22, eyz = 2ε23, ezz = ε33.

Используя определение величин εij, можем переписать это выражение в виде

X · δsx + Y · δsy + Z · δsz = Xxδexx + Yyδeyy + Zzδezz + Yzδeyz + Zzδexz + Xyδexy.

Величина u0 = Xxexx + Yyeyy + Zzezz + Yzeyz + Zzexz + Xyexy называется плотностью энергии деформации. таким образом имеем, что

Из последних равенств следует, что работа, вызывающая элементарное изменение деформации в единичном объеме, равна

Поскольку работа преобразуется во внутреннюю энергию, малые вариации компонент тензора деформаций заменяются полными дифференциалами. Заметим, что

115

при рассмотрении работы не делалось никаких допущений о зависимости между напряжением и деформацией. Из формулы (10.35) вытекает равенство

Функция u0 зависит от величин exy, exx, . . .. Сравнивая (10.38) со стандартной записью дифференциала, получим

Эти формулы называются формулами Грина.

Согласно равенству (10.38) изменение плотности потенциальной энергии равно du0 = Xxdexx + Yydeyy + Zzdezz + Yzdeyz + Zxdexz + Xydexy. Соответственно, плотность можно найти при помощи интегрирования. Она представляет собой потенциальную энергию, накопленную в единичном объеме в результате деформации. Функцию u0 иногда называют упругим потенциалом, потенциальной энергией деформации или упругой энергией. Запишем закон Гука. Возьмем первые два равенства в (10.39). Имеем из закона Гука, что

Xx = ∂u0 = c11exx + c12eyy + c13ezz + c14ezy/2 + c15ezx/2 + c16exy/2,

∂exx

(10.40)

Yy = ∂u0 = ∂u0 = c21exx + c22eyy + c23ezz + c24ezy/2 + c25ezx/2 + c26exy/2.

∂eyy ∂exx

Откуда получим (в силу равенства смешанных производных), что c12 = c21. Перебрав все пары напряжений, получим, что cij = cji для всех i, j. Таким образом, в общем случае закон Гука содержит не 36 разных постоянных а 21.

Запишем представление упругого потенциала через элементы тензора деформации и модули упругости. Мы имеем равенства (10.17). Перепишем их в виде

Xx = c11exx + c12eyy + c13ezz + c14ezy + c15ezx + c16exy

Yy = c21exx + c22eyy + c23ezz + c24ezy + c25ezx + c26exy

Zz = c31exx + c32eyy + c33ezz + c34ezy + c35ezx + c36exy

(10.42)

Yz = c41exx + c42eyy + c43ezz + c44ezy + c45ezx + c46exy

Zx = c51exx + c52eyy + c53ezz + c54ezy + c55ezx + c56exy

Xy = c61exx + c62eyy + c63ezz + c64ezy + c65ezx + c66exy

116

Подставляя эти равенства в (10.38) найдем дифференциал от u0 в терминах переменных exx, . . .. Тогда интегрируя, получим

Отсюда видно, что потенциал u0 является квадратичной функцией от компонент тензора деформации. Как подчеркивалось выше, понятие потенциала и оказывается очень полезным при изучении постоянных упругости в законе Гука для изотропных и анизотропных сред.

Сделаем замену переменных r′ = Ar, где r = (x, y, z), r′ = (x′, y′, z′) и A – ортогональная матрица. Возникает вопрос: имеются ли функции зависящие от компонент тензора деформации, остающиеся инвариантными при такой замене переменных. Вычисления показывают, что такими инвариантами являются величины

div s = θ = exx + eyy + ezz, exxezz + exxeyy + ezzeyy − 14 (e2xy + e2xz + e2zy),

(10.44)

exxeyyezz + 14 (exyexzeyz − exxe2yz − eyye2xz − ezze2xy).

Теперь можно получить выражения для закона Гука в различных средах, и мы начнем с простейшего, но очень важного случая изотропной среды. Изотропная среда характеризуется тем, что в ней все физические параметры не зависят от направления. Естественно, это верно и для тензора деформации. Это означает, что его элементы не изменяются при любой ориентации координатных осей. Поскольку упругий потенциал является функцией компонент деформации, он также инвариантен по отношению к повороту координатных осей. Чтобы продемонстрировать это свойство, правую часть равенства (10.43) следует представить в виде комбинации инвариантов тензора деформации Поскольку потенциал деформации является однородной квадратичной функцией, а последний инвариант имеет третий порядок, воспользуемся первыми двумя инвариантами и запишем u0 в виде

u0 = 12 (a(exx + eyy + ezz)2 + b(e2xy + e2xz + e2zy − 4(exxezz + exxeyy + ezzeyy))), (10.45)

где a и b - параметры упругости среды. Другими словами, постоянные cij связаны между собой таким образом, что потенциал u0 описывается только двумя параметрами. Вместо параметров a и b удобно использовать коэффициенты Ламе λ и µ:

a = λ + 2µ, b = µ.

117

Соответственно получим

Теперь, воспользовавшись формулами Грина, легко определить компоненты тензора напряжения. Дифференцируя потенциал по компонентам тензора деформации, получим

где θ = exx + eyy + ezz обозначает дилатацию. Эти равенства устанавливают соотношение между напряжениями и деформациями. Интересно заметить, что нормальные компоненты напряжения связаны только с диагональными элементами тензора деформации и зависят от двух модулей упругости: λ и µ. В то же время касательные напряжения являются функциями соответствующих компонент тензора деформации и зависят только от одного параметра µ, который обычно называют жесткостью. Формулы (10.46) представляют собой закон Гука для изотропной среды. Впервые они были получены Коши.

10.5Система Ламе

Вернемся к уравнениям (10.11)-(10.13). Используя (10.46) придем к системе

Это уравнение играет фундаментальную роль в теории упругих волн. Его полезно также представить в несколько ином виде. С учетом равенства

rot rot s = div s − ∆s

перепишем (10.48) следующим образом:

Оба представленных уравнения имеют довольно сложную форму, которая, конечно, отличается от обычной формы волнового уравнения. В то же время существует два важных случая, когда эти уравнения сводятся к волновым уравнениям, которые описывают распространение упругих волн с двумя различными скоростями. Прежде чем

118

рассмотреть эти случаи, полезно отметить следующее. Уравнение для смещений было выведено в прямоугольной декартовой системе координат. Однако известно, что пространственные производные скалярных и векторных полей Φ, div M, rot M, ∆φ являются инвариантами, и, следовательно, уравнения (10.48) и (10.49) справедливы в любой ортогональной системе координат. Можно также показать, что произвольное векторное поле, включая поле s может быть представлено в виде s = s1 + s2, где rot s1 = 0, div s1 = div s и div s2 = 0, rot s2 = rot s. Следует отметить, что функции s1 и s2 определяются с точностью до функции s0 такой, что rot s0 = 0, div s0 = 0.

Предположим теперь для простоты, что f = 0 в (10.48), (10.49). Рассмотрим несколько важных случаев. Пусть s2 = 0 и тогда s = s1. Поскольку rot s1 = 0, равенство (10.49) заметно упрощается, и мы приходим к следующему волновому уравнению:

Волны вида s1 называются продольными или волнами дилатации или P - волнами. Иногда применяют также термин "безвихревые волны". Предположим далее, что s = s2, т.е. div s = 0. Следовательно, уравнение (10.49) преобразуется к виду

Таким образом, мы снова приходим к волновому уравнению, которое характеризует распространение волн со скоростью cs. Примером такой волны является волна кручения в тонком стержне. Волны этого типа сопровождаются вращением элементарных объемов и поэтому их иногда называют волнами вращения. Другое название этих волн - поперечные, или сдвиговые волны или S-волны. Это название используется по той причине, что вращение вызывается касательными (сдвиговыми) силами. Очевидно, что скорости продольных и поперечных волн зависят от одних и тех же упругих параметров λ и µ, а также от плотности ρ. Кроме того очевидно из определения, что скорость поперечной волны меньше чем скорость продольной, т.е. cs < cl.

Рассмотрим общий случай, когда s = s1 + s2. Из равенства rot s1 = 0 следует, что векторное поле s1 можно описать с помощью одного скалярного потенциала U:

119

Чтобы получить уравнение для U, подставим выражение (10.54) в уравнение (10.51) и в результате получим

( 1 ∂2U − ∆U) = 0 c2l ∂t2

или

В соответствии с формулой (10.54) существует бесконечное число функций U, описывающих одно и то же поле смещений s1. Принимая это во внимание, выберем U так, чтобы константа C равнялась нулю. Таким образом, можем считать, что скалярный потенциал подчиняется волновому уравнению

Очевидно, что переход от векторного поля s1 к скалярному может существенно упростить изучение волн даже в том случае, когда вектор смещения имеет только одну ненулевую компоненту. Зная функцию U, можно вычислить смещение s, а затем воспользоваться законом Гука и определить компоненты тензора напряжений.

Поскольку дилатация для поперечных волн равна нулю (div s2 = 0), получим

s2 = rot A,

где A - векторный потенциал. Очевидно, что существует бесконечное количество векторных функций A, описывающих одно и то же поле s2. Подставляя это представление в уравнение (10.52) и применяя тот же подход, что и в первом случае, получим

1 ∂2A

c2s ∂t2

= ∆A. (10.57)

Преимущества использования векторного потенциала A вместо s2 не столь очевидны, поскольку обе величины являются векторами. Однако в некоторых случаях достаточно сформулировать задачу только для одной компоненты A. Более того, можно выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы эта компонента была направлена вдоль одной из осей этой системы, что приводит к еще большему упрощению задачи. В общем случае при отражении продольных волн возникают волны обоих типов. То же самое верно и для случая поперечной падающей волны. По этой причине, для того чтобы удовлетворить всем граничным условиям, необходимо использовать оба потенциала. Рассмотрим общий случай, когда смещение s является суммой s1 и s2. Тогда вектор-функцию s можно записать в виде s = U + rot A. Подставим эту

120