Лекции - мат.методы в геофизике

где множитель C называется сжимаемостью и характеризует относительное изменение объема при изменении давления на одну единицу. Для жидкостей значение этого параметра чрезвычайно мало. Свойством жидкостей является огромное сопротивление к изменениям объема. Тем не менее, жидкости не являются полностью несжимаемыми и могут претерпевать значительные изменения объема при высоком давлении. Так, например, если давление в воде достигает 1000 атм, ее объем уменьшается примерно на 5%. И наоборот, распространение звука в жидкостях сопровождается чрезвычайно малой дилатацией. Значение величины C в жидкостях составляет приблизительно C = 4 · 10−10 Па−1. Введем также величину, обратную сжимаемости: K = 1/C = αρ0, которая называется модулем сжатия. Тогда первое уравнение в (1.40) можно переписать в виде

1.8 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ И СМЕЩЕНИЯ

Теперь по аналогии с одномерным случаем получим волновое уравнение для каждой из этих функций. Беря дивергенцию от обеих частей второго уравнения (1.40), получаем

Следует заметить, что вывод волнового уравнения основывается на предположении о том, что среда в окрестности регулярной точки является однородной, т.е. ρ0 = const. Легко увидеть, div(gradPa) = ∆Pa и уравнение (1.42), если использовать первое из равенств (1.40), переходит в

ρ0 ∂2Pa

K ∂t2 = ∆Pa,

или в уравнение

Величина c – скорость волны и вместо Pa мы поставили P , поскольку P = P0 + Pa и величина P0 постоянна.

Перед тем, как получить волновое уравнение для смещения s, рассмотрим одно интересное свойство этого поля. Для этого запишем сначала второй закон Ньютона:

11

Беря ротор от обеих частей этого равенства, получим

Однако, вычисляя величину rot( Pa) по определению, найдем, что rot( Pa) ≡ 0. Следовательно,

где v = s′ – скорость частицы. Отсюда rot s = const. Принимая во внимание, что в начальный момент времени смещение и его производные по времени равнялись нулю, получим, что и в произвольный момент времени rot v = rot s = 0 (среда однородная). Теперь, беря градиент от обеих частей первого уравнения в (1.40), получим

Далее, второе из указанных уравнений (закон Ньютона) дает

∂2 s grad(div s) = ρ0C ∂t2

Используем формулу

rot rot s = (div s) − ∆s,

из которой и равенства rot s = 0 вытекает, что

Тогда уравнение (1.45) перепишется в виде

Таким образом, давление и смещение удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению. В отличие от одномерного случая в полученных уравнениях (1.47), (1.43) содержатся производные по всем трем координатам. Поскольку волновое уравнение содержит вторые производные по координатам, оно справедливо только в регулярных точках, в окрестности которых плотность ρ0 и фазовая скорость c постоянные. Предположим, что среда является кусочно-однородной. Тогда одна из функций ρ0 или c, или они обе терпят разрыв на внутренних границах раздела среды. Поэтому волновое уравнение в таких местах не выполняется и его необходимо заменить соответствующими граничными условиями.

12

1.9 УСЛОВИЯ НА ВНУТРЕННИХ ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗДЕЛА СРЕДЫ

Покажем, прежде всего, что давление на границах остается непрерывной функцией. Рассмотрим элементарный объем, помещенный в точку на границе S раздела двух сред и имеющий форму цилиндра, ось которого направлена по нормали n к границе раздела. Этот объем ограничен боковой поверхностью SL и крышками цилиндра dS1 и dS2, dS2 = dSn, dS1 = −dSn. Согласно второму закону Ньютона, ускорение такого объема определяется как

∂2s

m ∂t2 = F1 + F2.

В направлении, перпендикулярном поверхности, имеем

где ρ01 и ρ02 обозначают плотности среды по обе стороны границы. В выражении (1.48) h -высота цилиндрического объема, а P1 и P2 обозначают давление на нижней и верхней поверхности цилиндра. В пределе, когда высота цилиндра стремится к нулю, левая часть уравнения (1.48) также стремится к нулю, поскольку ускорение не может быть бесконечно большим. Отсюда делаем вывод, что P1 = P2 на границе S раздела сред, т.е. давление является непрерывной функцией на границе, разделяющей среды с различными параметрами. Второе граничное условие следует из предположения, что распространение волн не приводит к возникновению пустот между средами или к их перекрытию. Это означает, что нормальная компонента смещений должна быть непрерывной функцией: s1n = s2n. Таким образом, на внутренних границах мы вместо волнового уравнения имеем следующие граничные условия

В то же время тангенциальная компонента смещений может иметь различные значения по обе стороны границы.

1.10СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Существует еще одно важное следствие из уравнения

rot s = 0.

Как известно, если rot M = 0, то для векторного поля M имеем M = φ. Следовательно, смещения s можно представить как

13

где φ - произвольная скалярная функция, имеющая в регулярных точках первые и вторые производные по времени и координатам. Очевидно, что существует бесконечное множество таких функций, определяющих одно и то же поле s. Другими словами φ(p, t) является вспомогательной функцией, которая вряд ли имеет какойлибо физический смысл, однако во многих случаях заметно упрощает изучение волн. Функцию φ обычно называют скалярным потенциалом векторного поля s или, иначе, акустическим потенциалом. Эта функция используется также для изучения волн дилатации в упругой среде. Подстановка равенства (1.50) в уравнение (1.47) дает

1 ∂2φ grad (∆φ − c2 ∂t2 ) = 0

или

1 ∂2φ

∆φ − c2 ∂t2 = const.

Поскольку константа не зависит от положения точки, а волны отсутствуют на бесконечности, последнее выражение снова приводит к волновому уравнению:

Существенно, что одно и то же волновое уравнение описывает распространение волн дилатации в газе, жидкости и упругой среде. Мы ввели понятие скалярного потенциала. Выразим теперь давление в терминах этой функции. Подстановка выражения (1.50) в первое уравнение (1.40) дает

Pa = −Kdiv gradφ = −K∆φ.

В соответствии с уравнением (1.51) имеем

√

поскольку c = K/ρ0. Граничные условия для скалярного потенциала следуют из равенств (1.49). По определению, нормальная компонента смещения sn = ∂φ/∂n. Следовательно, на границах выполняются следующие условия

Поскольку в начальный момент времени потенциал равен нулю, то условия можно переписать в виде

1.11 ПЛОТНОСТЬ КИНЕТИЧЕСКОЙ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

Рассмотрим малый объем V (цилиндрической формы) длины l и поперечного сечения S. Полная энергия объема состоит из кинетической E и потенциальной U энергии. Обозначим скорость частиц через v = (vx, vy, , vz). Для кинетической энергии объема имеем E = 12 m|v|2, (|v|2 = vx2 + vy2 + vz2) или E = 12 ρ0|v|2V . Кинетическая энергия распределена в объеме равномерно, поскольку все частицы объема движутся с одинаковой скоростью, и плотность ρ0 среды внутри объема постоянная. Тогда для плотности энергии имеем ek = ρ20 |v|2. Плотность ek характеризует величину кинетической энергии единичного объема, которая равна половине произведения плотности среды на квадрат скорости. Функция ek, конечно же, зависит от времени и координат точки наблюдения. Как мы знаем, волна приводит не только к движению объема как единого целого, но и к его деформации. Другими словами, часть работы силы, возникающей при распространении волны, запасается в виде потенциальной энергии. Чтобы найти выражение для потенциальной энергии элементарного объема, предположим, что деформация является однородной. Это означает, что во всех точках элементарного объема давление Pa и деформация имеют одни и те же значения. В этом случае плотность потенциальной энергии записывается в виде ep = K(div s)2/2. Тогда плотность энергии объема записывается в виде

e(p, t) = ek + ep = ρ20 |v|2 + K(div s)2/2.

В этом случае энергия произвольного объема записывается в виде

Причиной изменения полной энергии могут служить следующие три фактора:

1)наличие внешних (первичных) источников волн внутри самого объема V;

2)превращение этой энергии в тепло;

3)поток энергии через поверхность объема. Тогда согласно принципу сохранения

где L - количество кинетической и потенциальной энергии, созданной внешними источниками в единицу времени, Q – количество механической энергии, перешедшей в тепло (также в единицу времени), n – единичный вектор внешней нормали. Последний член в правой части равенства (1.54) называется потоком энергии. Он определяет количество энергии, передающейся через поверхность S объема за одну секунду.

15

Вектор Y характеризует плотность потока энергии. Таким образом, поток равняется количеству энергии, переносимой через элементарную поверхность единичной площади за одну секунду. При этом важно, чтобы эта поверхность была перпендикулярна вектору Y , который так же, как и в случае электромагнитных полей называется вектором Пойнтинга. По определению, в системе единиц СИ

Поскольку вектор dS направлен в сторону от объема, положительное значение потока означает, что объем теряет энергию, и, наоборот, энергия внутри объема увеличивается, если поток энергии является отрицательным. В общем случае в разных точках поверхности S вектор Пойнтинга имеет различную амплитуду и направление. В частности, в некоторых точках он может быть направлен внутрь объема, а в других иметь направление в сторону от объема или параллельно его поверхности.

1.12Синусоидальные волны

Эти волновые поля можно представить как

где S – комплексный вектор и Φ, Ψ – комплексные функции. Подставляя функцию Φ в волновое уравнение для скалярного потенциала, мы придем к уравнению Гельмгольца

Из определения скалярного потенциала смещений и (1.52) имеем, что

S = Φ, Ψ = ρ0ω2Φ.

2ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

В этой главе рассматриваются сферические, цилиндрические и плоские волны в однородной среде, характеризующейся тем, что в ней существуют только волны дилатации (rot s = 0).

2.1 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ИСТОЧНИКОМ

Предположим, что в однородной среде с модулем сжатия K и плотностью ρ0 содержится сферическая полость радиуса Sr. В момент времени t = 0 полость начинает

16

пульсировать, вследствие чего в каждой точке ее поверхности действует сила, направленная по нормали к поверхности и имеющая во всех точках одинаковую величину:

где n - единичная нормаль к поверхности, направленная от источника. Из-за колебаний давления, вызванных изменением радиуса источника, в среде возникают и распространяются волны. Очевидно, что распределение давления, так же как и распределения смещений и скоростей частиц в волне дилатации, является сферическисимметричным. Учитывая этот факт, выберем сферическую систему координат с началом в центре полости и предположим, что все перечисленные функции зависят только от одной координаты R:

Здесь iR обозначает единичный вектор, направленный по радиусу.

2.2АКУСТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

Чтобы задать волновые поля, удобно использовать скалярный потенциал смещения φ(p, t), который в рассматриваемом случае является функцией только одной координаты R: φ = φ(R, t). Смещения и скорости частиц, а также давление выражаются тогда через производные функции φ. Если же в основу рассмотрения положить давление или скалярный потенциал скорости, то по крайней мере одно из волновых полей будет определяться с помощью интегрирования, что гораздо менее удобно. Как следует из предыдущей главы, s = φ, v = ∂s/∂t и и всюду вне источника потенциал удовлетворяет волновому уравнению

Здесь c обозначает скорость волны дилатации. Помимо этого, необходимо дать описание поведения потенциала на поверхности полости, а также сформулировать начальные условия. В результате колебаний полости возбуждаются уходящие волны, амплитуда которых уменьшается с расстоянием от источника. В пределе имеем

Это условие имеет простой смысл, оно означает отсутствие источников на бесконечности. Как было отмечено ранее, то же самое можно получить, получить, если представить себе сферическую поверхность, радиус R которой настолько велик, что

17

волна не успевает достигнуть поверхности за время наблюдения (а также до начала наблюдений). Стоит заметить, что информация о волнах на бесконечности содержится в начальных условиях. Пусть смещение поверхности полости описывается функцией

Наличие коэффициента a в этой формуле связано с тем, что аргумент указанной выше функции является безразмерным. Тогда, по определению, граничное условие для потенциала в точках поверхности полости можно представить в виде

Предположим также, что до момента времени t = 0, когда начал действовать источник, волновые движения во всех точках среды отсутствовали:

Таким образом, граничную задачу для скалярного потенциала можно сформулировать в виде следующих условий.

Найдем, прежде всего, решение волнового уравнения, которое в сферической системе координат записывается в следующем виде

Здесь учтено, что потенциал зависит только от координаты R. Чтобы упростить решение этого уравнения, введем новую функцию W = Rφ. Дифференцируя скалярный потенциал φ, получим ∂R∂φ = −R−2W + R∂W∂R Следовательно,

∂ (R2 ∂φ ) = R∂2W ∂R ∂R ∂R2

и уравнение (2.10) можно переписать в виде

Как мы знаем, решение данного уравнения есть сумма двух линейно независимых функций f1(a(t − R/c)), g1(a(t + R/c)). Соответственно, скалярный потенциал запишется как

1

φ = R(Af1(a(t − R/c)) + Bg1(a(t + R/c))),

где A и B - некоторые константы. Поскольку второе слагаемое в правой части этого выражения описывает волну, распространяющуюся справа налево, , оно не удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, можно положить B = 0, что дает следующее выражение для скалярного потенциала:

Очевидно, что скалярный потенциал (2.13) характеризует волну, распространяющуюся от точечного источника с фазовой скоростью c, и удовлетворяет волновому уравнению и условию (2.4). Чтобы определить неизвестный коэффициент A и функцию f1 используем условие (2.9), справедливое для всех точек движущейся поверхности источника. Из равенства (2.13) следует, поскольку sR(R, t) = ∂R∂φ , что

где f′(a(t−R/c)) обозначает первую производную функции, по аргументу a(t−R/c). Сделаем теперь три предположения. Прежде всего предположим, что пульсации источника характеризуются относительно малыми смещениями т.е.

1) |sR(t)| << R0.

19

Поэтому в граничном условии (2.8) положение поверхности полости можно задать, используя постоянную координату R0. Смещение точек этой поверхности можно представить в виде

Таким образом, определение неизвестных величин сводится к решению дифференциального уравнения. Чтобы упростить процедуру поиска решения, предположим, что второе слагаемое в правой части уравнения (2.15) также мало:

Подстановка равенств (2.16) в уравнение (2.13) дает следующее приближенное выражение для скалярного потенциала:

В заключение этого раздела мы определим условия, при которых полученное выражение для скалярного потенциала описывает волновое поведение с достаточной точностью. Очевидно, что функция φ(R, t), задаваемая выражением (2.18), удовлетворяет волновому уравнению и условию вблизи источника. Более того, поскольку функция f(a(t−R/c)) и ее производные равны нулю, когда аргумент a(t−R/c) отрицателен, скалярный потенциал φ удовлетворяет также начальным условиям. Таким образом, мы получили решение граничной задачи и, соответственно, φ(R, t) является скалярным потенциалом смещения для случая однородной среды и сферического источника.

2.3 ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

В соответствии с определениями радиальные компоненты смещений и скорости, а также избыточное давление описываются следующими выражениями: