Лекции - мат.методы в геофизике

Как и при решении уравнений переноса в разделе 9.4 имеем

Здесь начало интегрирования взято в точках τ1 = α1, τ2 = α2, т.е. на каустике. Функции χn находятся исходя из тех соображений, что для волны идущей к каустике у нас известно асимптотическое разложение через формулы в §9.4 и тогда приравнивая старую формулу и новую для волны идущей к каустике, можем найти эти функции.

101

9.13ПОТОК ЭНЕРГИИ.

Покажем теперь, что лучи определяют направление потока энергии. Как известно, избыточное давление P и скорость v связаны с потенциалом U вектора скорости

следующим образом:

P = −ρ∂v∂t , v = U,

где ρ - плотность. По определению, компоненты вектора Пойнтинга определяются как

Рассмотрим сначала среднее за период значение x-компоненты вектора Пойнтинга.

Умножая каждое из полученных равенств на соответствующий единичный вектор и складывая получившиеся выражения, приходим к следующему равенству

Таким образом, направление среднего потока энергии совпадает с направлением луча. Поскольку | L| = c0/c = n, величина вектора Sav (интенсивность) равняется

где P0 = ωρA определяет величину давления.

103

основу определения понятия тензора (что иногда и делается в учебниках): тензором ранга r называется множество наборов из nr чисел, каждый из которых поставлен в соответствие некоторому базису и изменяется при переходе от одного базиса к другому согласно данному выше правилу. Приведем некоторые частные случаи. У тензора ранга нуль всего одна компонента; такой тензор есть просто вещественное число (скаляр). Тензоры ранга 1 - это линейные формы (функционалы над R). Пусть Φi = Φ(ei) – ковариантные компоненты такого тензора. Тогда вектор p = Φiei не зависит от выбора базиса и для любого вектора a будет Φ(a) = p · a. Аналогичное построение с помощью контравариантных компонент p = Φiei дает тот же вектор. Тем самым тензоры ранга 1 отождествляются с векторами пространства R. Тензор ранга 2-имеет четыре вида компонент:

Φij = Φ(ei, ej), Φij = Φ(ei, ej), Φ·ij· = Φ(ei, ej), Φj·i· = Φ(ej, ei).

Для любых двух векторов a = aiei, b = bjej имеем

Φ(a, b) = Φijaibj.

Можно показать, что это отображение не зависит от базиса и соответствие Φ → {Φij} между матрицей {Φij} тензором взаимно однозначно. Тем самым тензоры ранга 2 отождествляются с линейными отображениями пространства Rn. Особую роль играет фундаментальный тензор ранга 2, задаваемый формулой

Φ(a, b) = a · b.

Наиболее важны его ковариантные компоненты gij и контрвариантные компоненты gij. С ними, справедливы формулы разложения

ei = gijej, ej = gijei

¯ ¯

Отсюда следует связь матриц G = {gij}, G = {gij}: G = G−1. Существенным свойством фундаментального тензора является то, что он симметричен. С помощью фундаментального тензора можно выполнять преобразования компонент одного вида в компоненты другого вида для любого тензора. Эти преобразования называются операциями опускания или поднимания индексов и осуществляются путем умножения на компоненты фундаментального тензора и суммирования (т.е. путем "свертывания"с фундаментальным тензором). Например, для вектора a связь между компонентами реализуется по правилу: ai = ajgij, ai = ajgij. Для тензора ранга 3 имеем

Φ··ijk = Φijsgks, Φ··ijk = Φpqkgipgjq.

Над тензорами можно производить алгебраические операции, приводящие снова к тензорам: умножение на число Φ → λΦ, сложение φ + ψ, умножение тензоров. Оно

105

обозначается символом φ ψ. Для тензоров ранга 1 с ковариантными координатами ai, bj имеем

Tij = aibj

(такой тензор второго ранга называется диадой), а для тензоров ранга 2 с ковариантными координатами aij, bij имеем, что A B имеет координаты, являющиеся элементами блочной матрицы с блоками aijB, B = {bij}. Специфической дня тензоров является операция свертывания (результатом которой является свертка). Свертывание тензора ранга r ≥ 2 осуществляется указанием двух из мест расположения аргументов формы Φ, подстановкой на одно из отмеченных мест вектора базиса ei на другое - вектора кобазиса ei и суммирования по i. Например, свертка тензора Φ(a, b, c, d) по первому и четвертому местам дает тензор ранга два

ψ(b, c) = Φ(ei, b, c, ei)

В компонентах эта операция выглядит так: ψkl = Φi·kli··· (сумма по i) и дает свертку по первому и четвертому индексам. Свертка тензора ранга два есть скаляр (след соответствующего линейного отображения). Свертка тензора ранга три является вектором. Определим также некоторый специальный тензор E ранга 3, возникающий в механике и называемый дискриминантый тензор. Этот тензор задается формулой смешанного произведения трех векторов

Φ(a, b, c) = a · (b × c).

С помощью его ковариантных εijk и контравариантных εijk компонент выражаются векторные произведения базисных и кобазисных векторов

ei × ej = εijkek, ei × ej = εijkek

и векторное произведение любых двух векторов

a× b = εijkajbkei.

Всилу известных свойств смешанного произведения, все компоненты выражаются через одну из них, например, через ε123. Базис {ej} называется правым, если ε123 > 0 и левым, если ε123 < 0 (можно положить ε123 = ±1). Справедливы формулы

ε123 = ε231 = ε312 = −ε321 = −ε213 = −ε132.

10.2 Уравнения движения элементарного объема. Тензор напряжений.

Если U – удельная внутренняя энергия, то ρU – плотность внутренней энергии и

∫

Ei = ω ρU dx – внутренняя энергия. Тело в момент времени t обозначим через ωt. Каждую его точку можно охарактеризовать с помощью обычной декартовой системы координат x и времени. Таким образом, например, v(x, t) – скорость точки c координатой x в момент времени t. Эта система координат называется эйлеровой системой координат. С другой стороны, задав начальные координаты ξ материальной точки в момент времени t = 0, можем вычислить ее положение γ(ξ, t) в момент времени t. Таким образом, можем любую точку характеризовать и ее координатами ξ, t, которые называются лагранжевой системой координат. Пусть дано некоторое векторное поле F , (например, сила действующая на точку). Запишем поле в лагранжевой системе

˜

координат F (ξ, t) и в эйлеровой системе координат F (x, t). Имеем

происходит под действием силовых и энергетических воздействий на объем ω. Рассмотрим элементарный кубический объем среды. Когда волна проходит через

этот объем, он деформируется и в нем возникают внутренние силы. В результате каждая из граней этого куба испытывает действие со стороны окружающей среды. Поскольку размеры граней малы, можно предположить, что действующие на них силы распределены равномерно. В соответствии с этим естественно ввести вектор t,

Здесь dS = dxdy = dxdz = dydz, и в прямоугольной декартовой системе координат

t = txi + tyj + tzk.

Взаимная ориентация сил, приложенных к граням куба, не является произвольной и подчиняется двум условиям, которые следуют из физических соображений. Рассмотрим сначала любые две противоположные грани, например S(x − ∆x/2, y, z) и S(x+∆x/2, y, z), перпендикулярные оси x. Когда волна в некоторый момент времени t достигает задней поверхности S(x+∆x/2, y, z), окружающая среда действует на эту грань с силой, которая в общем случае имеет как нормальную, так и тангенциальную (касательную) компоненту: Fn(x − ∆x/2, y, z, t) и Ft(x − ∆x/2, y, z, t). Через малый промежуток времени t волна достигает грани S(x + ∆x/2, y, z) и силы действуют на среду, расположенную перед элементарным объемом. В соответствии с третьим законом Ньютона на поверхность S(x + ∆x/2, y, z) действуют силы −Fn(x + ∆x/2, y, z, t1)

107

и −Ft(x + ∆x/2, y, z, t1). Здесь t1 = t + ∆t. В течение произвольно малого интервала времени (∆ → 0) величина сил, приложенных к задней поверхности объема, может слегка измениться, однако их направление останется прежним. В противном случае скорость изменения волнового поля была бы бесконечно большой. Таким образом, на противоположных сторонах элементарного объема, перпендикулярных оси x, и нормальные, и тангенциальные компоненты сил имеют противоположные направления. Очевидно, что точно такая же картина наблюдается и на других гранях. С уменьшением объема имеем, что tx − ty → 0. Введем три вектора, X, Y и Z, таким образом, чтобы: tx = X · n, ty = Y · n, tz = Z · n. Здесь n - единичная нормаль к поверхности куба, и

X = τxxi + τxyj + τxzk, Y = τyxi + τyyj + τyzk, Z = τzxi + τzyj + τzzk.

Каждая скалярная компонента xmn является непрерывной функцией координат x, y и z, а все вместе они образуют тензор напряжений Здесь важно отметить, что векторы X, Y и Z могут быть произвольным образом ориентированы относительно нормали n. Однако, их взаимная ориентация на различных гранях подчиняется определенным правилам. Наша цель состоит в том, чтобы использовать второй закон Ньютона и записать уравнения движения вдоль координатных осей. По определению

где m - масса элементарного объема; u, v и w – скалярные компоненты вектора смещений s; Fxk, Fyk и Fzk – компоненты силы, приложенной к стороне объема с номером k. Прежде всего, сложим x-компоненты сил, действующих на все стороны объема. Очевидно, что сумма сил Fx1 и Fx3, приложенных к противоположным сторонам, перпендикулярным оси x, запишется как

Fx1 + Fx3 = i(X(x + ∆x/2, y, z) − X(x − ∆x/2, y, z))dydz,

или

Наличие знака минус перед вторым слагаемым связано с тем, что на задней поверхности (с номером 3) нормаль n и единичный вектор i имеют противоположные направления. Таким же образом получаем

Поскольку расстояние между противоположными сторонами очень мало, можно предположить, что напряжение внутри объема изменяется по линейному закону. В этом случае

Итак, мы получили систему трех уравнений относительно двенадцати неизвестных: девяти компонент тензора напряжений и трех компонент смещения. Здесь полезно отметить следующее. Рассматриваются компоненты напряжений, действующие на стороны элементарного объема. Поскольку объем мал, можно считать, что эти компоненты изменяются внутри объема линейно и, следовательно, их производные являются константами. Компоненты напряжений на противоположных сторонах объема имеют один и тот же знак, так как весь объем находится в состоянии либо растяжения, либо сжатия. В то же время, легко показать, что тензор напряжений является симметричным.

Предположим, что помимо поверхностных сил на элементарный объем действует

Эта система описывает как прямолинейное перемещение, так и вращение элементарного объема.

109

10.3Деформация и тензор деформации.

Поверхностные и объемные силы, действующие на абсолютно твердое тело, вызывают движение, которое в общем случае можно описать суперпозицией поступательного движения, при котором все частицы тела имеют одинаковое смещение, и вращения вокруг центра масс. В обоих случаях расстояние между любыми двумя точками тела не изменяется. Поскольку любая реальная среда является упругой, в ней также наблюдается изменение относительного положения различных частей тела. В результате изменяются форма тела и расстояние между его точками. Это явление называется деформацией. Например, отрезок прямой произвольной длины после деформации приобретает более сложную форму. Это свидетельствует о том, что под действием различных сил прямая может деформироваться в бесконечное число линий другой формы. Конечно, это существенно затрудняет изучение деформации, и поэтому традиционный подход основан на рассмотрении смещения, т.е. вектора, приложенного к сегменту кривой, который можно считать прямолинейным отрезком. Иными словами, в дальнейшем будет рассматриваться изменение относительного положения конечных точек такого отрезка, расположенных близко друг к другу. Как впервые показал Гельмгольц, движение элементарного объема и, в частности, отрезка прямой, можно представить в виде суммы трех компонент: а) поступательного движения, б) вращения и с) деформации. Наша цель состоит в том, чтобы описать основные свойства смещения, вызванного деформацией. Рассмотрим некоторую точку тела p. Ее положение относительно начала координат 0 характеризуется радиусвектором r. Под действием сил среда вокруг этой точки приходит в движение, и после деформации концентрируется вокруг точки p′ с радиус-вектором r′. Запишем выражение r′ = r + s, где s - смещение точки p которое в общем случае зависит от ее координат. Предположим также, что функция s(r) непрерывна. Рассмотрим далее соседнюю точку p1 с радиус-вектором r1. В результате деформации она смещается в точку p′1 и r1′ = r1 + s1. Следовательно, величины ∆r = r1 − r, ∆r1 = r1′ − r′, ∆s = s(r + ∆r) − s(r) = ∆r1 − ∆r характеризуют относительное положение двух точек p и p1 до и после деформации. Вектор s является мерой деформации в окрестности точки p. Учитывая, что вектор ∆s характеризует разность значений волнового поля s(r) в соседних точках, этот вектор естественно выразить через частичные производные поля s(r). Вводя криволинейную ортогональную систему координат x, y, z, получим s(r) = u(r)i + v(r)j + w(r)k, где i, j, k - единичные векторы (орты), направленные вдоль координатных линий; u(r), v(r), w(r) - скалярные компоненты вектора s. Тогда

∆u = u(r + ∆r) − u(r), ∆v = v(r + ∆r) − v(r), ∆w = w(r + ∆r) − w(r). (10.14)

Таким образом, компоненты вектора ∆s запишутся как (cчитая, что смещение мало)

110