Лекции - мат.методы в геофизике

суперпозиция является конструктивной. Волны с другими частотами имеют фазовый сдвиг, отличный от 2π, и их интерференция является деструктивной. В результате такие волны гасят друг друга после относительно небольшого числа отражений.

Представим комплексную амплитуду v-компоненты смещения как

Воспользуемся теперь граничными условиями и найдем уравнение, связывающее скорость волны Лява с частотой. Поскольку нормальные компоненты напряжений на свободной границе равны нулю,

τ˜yz1 = µ1v˜1z = 0 (z = −H).

Из условия непрерывности смещений и напряжений на нижней границе слоя следует, что

После несложных преобразований можно получить так называемое дисперсионное уравнение. Исключая C3 из двух первых уравнений этой системы, находим:

Подставляя C2 в третье уравнение системы (11.51) и выполняя несложные преобразования, получим

Это уравнение называется дисперсионным. Формула (11.53) устанавливает соотношение между скоростью волны Лява с и частотой ω, а также между скоростью и параметрами среды. Уравнение (11.54) можно записать в несколько иной форме:

Существование решений c [c1s, c2s] этого уравнения легко устанавливается графически. Поскольку левая часть этого уравнения является периодической функцией, для любого заданного значения c, лежащего в диапазоне [c1s, c2s], существует бесконечной число корней: ω0(c), ω1(c), . . . ,. Каждое значение ωn(c) характеризует частоту n-и моды волны Лява, распространяющейся со скоростью c. Обратные функции cn(ω) описывают так называемые дисперсионные кривые фазовой скорости волн Лява. Поскольку левая часть уравнения (11.55) является периодической функцией, его удобно представить в следующем виде:

Здесь n - целое число. Воспользовавшись теперь формулой (11.56), проверим выполнение включения c [c1s, c2s], начиная с n = 0. В этом случае равенство (11.56) записывается как

Предположим сначала, что скорость волны Лява стремится к c2s. Поскольку правая часть равенства (11.57) обращается в нуль,

kH(c2/c21s − 1)1/2 → 0 ω → 0

В противоположном случае, когда c → c1s правая часть (11.57) стремится к ∞, в то

время как

(c2/c21s − 1)1/2 → 0.

Для того чтобы выполнялось равенство (11.57), волновое число должно быть бесконечно большим, т.е. ω → ∞. Таким образом, согласно формуле, если отношение

Λ1s/H, Λ1s = 2πc1s/ω

(Λ1s – длина поперечных волн в слое) изменяется от нуля до бесконечности: фазовая скорость волны Лява c изменяется в пределах от c1s до c2s. Легко показать, что этот вывод остается верным для любой моды. Однако диапазоны ω при этом различаются. Действительно, если c = c2s и n ≠ 0, то

kH(c2s/c21s − 1)1/2 = πn

152

или

В противоположном случае, когда c = c1s, мы снова получаем Λ1s/H. Таким образом, для любого n скорость волны Лява изменяется в пределах диапазона частот

Отсюда видно, что с увеличением порядка n диапазон частот (длин волн), в пределах которого существует данная мода, сужается. Например, если

существует три моды и т.д. Ширина этих интервалов уменьшается с ростом я и определяется следующим выражением:

Из наших представлений видно, что волна Лява осциллирует вдоль оси z внутри слоя, но экспоненциально затухает вне него. Так, например, если n = , смещение монотонно уменьшается с глубиной. При n = 1 наблюдается смена знака, и соответственно, имеется нодальная плоскость, на которой v1n = 0. С увеличением n число таких плоскостей также увеличивается.

11.4Отражение от свободной поверхности.

Изучим случай наклонного падения плоской волны на свободную поверхность и рассмотрим, прежде всего, ситуацию, когда падающей волной является продольная.

153

Левую часть этих равенств удобно представить через ctg αi и ctg βr. В результате получим

(Ai+Ar)((λ+2µ) ctg2 αi+λ)m+2µBr ctg βr = 0, 2m ctg αi(Ar −Ai)+Br(1−ctg2 βr) = 0.

(11.70)

где

D1 = 4µ ctg αi ctg βr − ((λ + 2µ) ctg2 αi + λ)(1 − ctg2 βr).

Используя представления (11.64) и закон Снеллиуса нетрудно показать, что функции

˜

φ,˜ ψ удовлетворяют соответствующим уравнениям Гельмгольца

Таким образом построили волну удовлетворяющую всем условиям. Иными словами,

˜

наше предположение оказалось верным, и функции φ˜, ψ описывают падающую и отраженные волны в присутствие плоской свободной границы. Кроме того, мы показали, что падающая волна Р возбуждает две отраженные волны: продольную и поперечную. Это фундаментальное свойство не наблюдается в жидкой среде со свободной границей. В этом случае можно показать, что волна SV исчезает. Закон Снеллиуса указывает на то, что независимо от величины угла αi, обе вторичные волны, P и SV , остаются однородными. Коэффициенты отражения Rpp и Rps определяются из (11.74), (11.75).

155

11.4.2Падающая волна SV .

Предположим далее, что падающая волна SV достигает свободной границы и возбуждает на ней две отраженные волны: P и SV . Соответствующие амплитуды потенциалов запишутся как

Чтобы определить неизвестные коэффициенты Ar, Bi и Br мы снова воспользуемся граничными условиями (11.66). Запишем закон Снеллиуса в этом случае

Если sin βi = 1/m, то угол αr равен π/2, и отраженная волна распространяется вдоль свободной поверхности. По аналогии с акустическими волнами, такой угол βicназывается критическим. При βi > βic, отраженная волна P становится неоднородной. Для того чтобы определить неизвестные коэффициенты подставим выражения (11.76) в равенства(11.66) и получим

D2 = 4µ ctg βi ctg αr + (λ + (λ + 2µ) ctg2 αr)(ctg2 βi − 1).

11.4.3Падающая волна SH.

Наконец, предположим, что падающей волной является волна SH и смещение имеет только одну компоненту v:

156

Или

Для нормального падения (βi = 0) получим Br = Bi и Ar = 0. То есть возникает только отраженная волна SV . С увеличением βi амплитуда отраженной волны SV уменьшается и появляется волна P . За критическим углом волна P становится неоднородной и экспоненциально затухает с увеличением расстояния от границы. На границе существует фазовый сдвиг между падающей волной и отраженной волной SV , а их амплитуды равны друг другу: |Br| = Bi.

11.5Отражение и прохождение волн на границе между жидкой и упругой средами.

Известно, что вблизи границы (z = 0) частицы жидкой и упругой сред связаны между собой не жестко. Соответственно, тангенциальные компоненты смещения по разные стороны границы могут различаться. Иными словами, в общем случае они являются разрывными функциями при z = 0. В то же время, нормальные компоненты смещения остаются непрерывными. В противном случае между двумя средами образовался бы разрыв, либо эти среды наложились бы друг на друга. Также необходимо принять во внимание, что все напряжения являются непрерывными функциями, а касательные напряжения в жидкости равны нулю. Это означает, что в окрестности границы касательные напряжения в упругой среде также равны нулю. Таким образом, граничные условия формулируются как

где индекс 1 относится к упругой среде. Вспоминая, что в жидкости µ = 0, формулы (11.93) можно представить в следующем виде:

w = w1, λdiv s = λ1div s1 + 2µ1w1z, u1z + w1x = 0, v1z + w1y = 0, z = 0. (11.93)

Параметр λ играет роль модуля всестороннего сжатия в жидкости: λ = ρc2. При изучении отражения основное внимание будет уделяться случаю, в котором падающая волна распространяется в жидкости, а ее фазовая поверхность параллельна оси y Иными словами, волновые поля не зависят от координаты y. На границе падающая волна приводит к появлению вторичных волн. Будем предполагать, что в жидкой среде возникает волна P , а в упругой - волны P и SV . Это подразумевает, что компонента смещений вдоль оси y равна нулю: v = 0. Как и в предыдущих

158

разделах, удобно ввести скалярный и векторный потенциалы. В терминах комплексных амплитуд скалярного и векторного потенциалов условия склейки записываются в виде

Как было показано ранее, потенциалы можно представить в следующем виде:

160