Лекции - мат.методы в геофизике

затем это равенство на оси координат и принимая во внимание (9.82), (9.83), получим

где многоточием заменены члены высшего порядка по α−α0, β−β0. Уравнения (9.87) дают параметрическое уравнение волнового фронта. Найдем его сечение плоскостью y = 0. Из равенства y = 0 получаем

Таким образом, кривая (9.90) имеет начало координат точкой возврата, и ее ветви касаются положительной части оси z. Поверхность волнового фронта вблизи каустики получим, двигая кривую (9.90) вдоль линии β = β0 = const. Из (9.90) следует, что волновые фронты расположены с той стороны каустики, где z > 0. Область z < 0 - это зона тени.

9.10Аналитический характер эйконала τ(x, y, z) вблизи каустики.

Мы сейчас покажем следующую формулу для эйконала τ(x, y, z) вблизи каустики:

где ξ(x, y, z) и µ(x, y, z) - аналитические в окрестности каустики функции (при аналитичности всех исходных функций), разлагающиеся в ряды

Формула (9.92) указывает на двузначность эйконала как функции от x, y, z. Это означает, что через каждую точку с той стороны, где z > 0, проходят два и только два луча. На луче, не коснувшемся каустики эйконал равен τ(x, y, z) = ξ(x, y, z)−µ3/2(x, y, z)

91

а на луче отошедшем от каустики τ(x, y, z) = ξ(x, y, z) + µ3/2(x, y, z). На самой каустике функция µ(x, y, z) обращается в нуль и эйконал τ становится однозначным. Подчеркнем (и это важно для дальнейшего), что функции ξ и µ определены и аналитичны не только при z ≥ 0, но и при z < 0 (в зоне, куда не попадают лучи, т. е. в зоне тени). Перейдем к доказательству формул. Выразим в окрестности точки M0 лучевые координаты α, β, τ через декартовы координаты x, y, z. Вернемся опять к разложению функции r(α, β, τ) в ряд по степеням α − α0, β − β0, τ − τ0 (α0 = τ0). Для компонент x, y, z с учетом формул предыдущего параграфа имеем

x = c0(τ − τ0) + 12 xββ(β − β0)2 + 12 xττ (τ − τ0)2 + xβτ (β − β0)(τ − τ0) + 16 xααα(α − α0)3 + . . . ,

y = yβ(β − β0) + . . . , z = 12 zαα(α − α0)2 + zατ (α − α0)(τ − τ0) + . . . .

(9.93)

В силу того, что

∂(x, y)

∂(τ, β) = c0yβ ≠ 0,

первые два уравнения однозначно разрешимы относительно τ−τ0, β−β0. В частности, имеем

Подставляя эти выражения в формулу для z из (9.93), получим

Найдем из (9.99) α − α0 как функцию x, y, z.

Основная трудность решения этого уравнения в окрестности точки x = y = z = 0 состоит в том, в нем нет слагаемого, линейного относительно α − α0. Преодолеть эту трудность позволяет следующая принадлежащая Вейерштрассу

Теорема Вейерштрасса. Если P (z1, z2, ..., zk−1, ω) - аналитическая в начале координат функция, удовлетворяющая условиям P (0, 0, 0, ..., 0, 0) = 0, P (0, ..., 0, ω) ≠ 0, и s порядок нуля функции P (0, ..., 0, ω) ≠ 0 в точке 0, то в некоторой окрестности начала координат

P (z1, z2, ..., zk−1, ω) = (ωs + Hs−1ωs−1 + . . . + H0)Ω(z1, z2, ..., zk−1, ω)

где Hk(z1, z2, . . . , zk−1), Ω(z1, z2, ..., zk−1, ω) - функции, аналитические в начале координат, причем Hk(0, 0, . . . , 0) = 0, Ω(0, 0, . . . , 0) ≠ 0, k = 0, 1, ..., s − 1. Функции Pk, Ω однозначно определяются функцией P .

В равенстве (9.99) перенесем все члены в левую часть. Тогда роль функции P

смысл ω, z1, z2, z3. Таким образом, уравнение (9.99) может быть записано в виде

Выражения для коэффициентов a, b, c не представляют интереса, и мы их не выписываем. Решая уравнение (9.100) относительно α − α0, находим

причем у корня возможны оба знака. Подставим теперь выражение (9.101) для α−α0 в правую часть первой из формул (9.98) (точками обозначены члены второго и более высокого порядка, не содержащие радикала.

√

Точки, где H12/4 − H0 = 0 - это точки однозначности, т.е. точки каустики. Теперь уже нетрудно вывести последнюю формулу (9.92). Для этого перепишем полученное для τ выражение в виде

Правая часть этого равенства - однозначная функция, поэтому сумма последних двух слагаемых в левой части равна нулю. В силу аналитичности обеих частей равенства (9.104) функция должна быть аналитической, откуда, учитывая неравенство | µ1| ≠

0, получаем, что функция µ2| µ1|2 аналитична в окрестности точки x = y = z = 0.

4µ1

Таким образом, действительно, обращение в нуль µ1 ведет к обращению в нуль µ2. Следствием этого является равенство

µ2 = p(x, y, z)µ1,

где p(x, y, z) аналитична при малых x, y, z. Используя определение функции µ2 и это представление, получим

В следующих параграфах для волнового поля в окрестности каустики будет получена формула, в которую существенным образом входят ξ(x, y, z) и µ(x, y, z), поэтому для этих функций необходимо указать формулы, удобные для их практического вычисления. Из равенства (9.106) следует, что в окрестности каустики эйконал двузначен. Пусть τ1 значение эйконала в точке M для луча L1, еще не коснувшегося каустики, и τ2 - значение эйконала в точке M для луча L2, прошедшего каустику. Тогда

пусть M0 – основание этой нормали, M1 и M2- точки касания лучей L1, L2 с каустикой. Проведем на каустике через точки M0, M1, M2 координатные линии β = β0, α = α1, α = α2, и обозначим через N1, N2 - точки их пересечения. В точках каустики эйконал - однозначная функция. Пусть τ(M1), τ(M2)- значение эйконала в точках M1, M2. Введем обозначения

Поскольку вдоль линий α = const приращение эйконала равно нулю (τ = const на линиях α = const), то

Формулами (9.112) и (9.113) удобно пользоваться, если c = 1 (тогда l0, l1, l2 - просто длины соответствующих линий) и если точки M1, M2 лежат на линии β = const.

95

9.11Вывод рекуррентных соотношений.

как и в случае поля вблизи каустики (см. предыдущий параграф). Мы предположим, что µ, ξ в (11.2), (11.3) - те же, что и в формулах (9.107). Тогда эти эйконалы удовлетворяют уравнению эйконала, т.е.

взаимно ортогональны. Вблизи каустики волна, идущая от каустики, и волна, идущая к каустике, неразличимы. Этот каустический пограничный слой имеет место там, где функцию Эйри v(ω2/3µ) нельзя заменять на ее асимптотику, т.е. там, где аргумент функции Эйри v имеет порядок 1, или µ = O(ω−2/3). Вспоминая, что функция µ при µ → 0 имеет тот же порядок, что и расстояние до каустики, приходим к выводу: толщина пограничного слоя также имеет порядок O(ω−2/3). В области µ < 0, т.е. в зоне тени, вне пограничного слоя функция Эйри экспоненциально убывает. Асимптотические формулы для функции Эйри, справедливые при µ < 0, ω → ∞, приводят

к оценке

u = O(ω−ν−1/6)e−32 |µ|3=2ω.

Подставляя (11.2) в уравнение (11.1), получаем

(∆ + k2)u = veiωξ ∑∞i=0(−L2An − L3Bn + ∆An−1)(−iω)1−n+

iv′eiωξω2/3 ∑∞ (−L1An − L2Bn + ∆Bn−1)(−iω)−n = 0, (9.120)

i=0

A−1 = 0, B−1 = 0,

где

L1f = 2( µ, f)+f∆µ, L2f = 2( ξ, f)+f∆ξ, L3f = 2µ( µ, f)+f(| µ|2+µ∆µ),

A−1 = 0, B−1 = 0, n = 0, 1, 2, . . . .

Положим в (11.9) n = 0. Умножая первое равенство на µ−1/4, второе - на µ1/4, скла-

где J1 - расходимость поля лучей, еще не коснувшихся каустики, J2 - то же для коснувшихся каустики лучей. Функции χ10, χ20 зависят только от луча, характеризующегося параметрами α, β. Мы будем как χ10, так и χ20 считать достаточно гладкими функциями. Из (11.10) и (11.11) следует, что

Так как на каустике J1 = J2 = 0, знаменатели в формулах (11.12) обращаются в нуль. Тем не менее коэффициент A0 оказывается ограниченным, а для ограниченности коэффициента B0 необходимо и достаточно, чтобы

утверждений. Для геометрической расходимости была получена формула J = |[rα, rβ]|. Поскольку вектор [rα, rβ] и единичный вектор rτ /c коллинеарны, эта формула может быть записана в виде

J = ±([rα, rβ], rτ /c),

где знак следует выбрать так, чтобы J было положительным. В силу того, что на каустике τ = α и rα = 0, имеем

Jτ |τ=α = ±([rατ , rβ], rτ /c)

В локальной системе координат x, y, z rβ и rτ параллельны осям, соответственно y и x, а rατ ≠ 0, поэтому

где J0 - аналитическая вблизи каустики функция, принимающая положительные значения. Таким образом,

J12 ≈ (τ1 − α1)2, J22 ≈ (τ2 − α2)2.

Далее, обращаясь к определениям из предыдущего пункта, приходим к порядковым соотношениям

J12 l12 |M, M0| µ(M), J22 l22 |M, M0| µ(M),

98

в которых l1, l2 - длины отрезков лучей соответственно между точками M, M1 и M2, M. Эти соотношения доказывают ограниченность коэффициента A0. Коэффициент B0, если выполнено условие (11.13), можно представить в виде

Из формулы Тейлора имеем, что

√

J1 −J2 = a1(α1 −α2)+a2(β1 −β2)+a3(τ1 −τ2)+O( (α1 − α2)2 + (β1 − β2)2 + (τ1 − τ2)2)

Геометрически легко увидеть (см. определения в конце §9.10, что

Если спроектировать луч L1 на каустику, то его проекция будет касаться линии β1 = β(M1) = const, поэтому |M1, N1| = O(|M0, M1|2) и аналогично |M2, N2| = O(|M0, M2|2). Отсюда и из соотношений

|M1, N1| + |M2, N2| |β(M1) − β(N1)| + |β(M2) − β(N2)|

|β(M1) − β(N1) + β(N2) − β(M2)| |β(M1) − β(M2)| = |β1 − β2|

Но, пользуясь формулами (9.77), (9.92), и формулой для Jτ |τ=α, приведенной выше нетрудно подсчитать, что

откуда следует, что при M → M0 J1 и J2 эквивалентные бесконечно малые, т. е. их разность J1 − J2 имеет больший порядок малости, чем J1 и J2. Поэтому в формуле (11.18) a1 = 0. Ограниченность выражения для B0 теперь легко вытекает из существования пределов (11.19). Возвращаясь к формулам (11.11), (11.12), и полагая в них χ10(α, β) = χ20(α, β) = χ0(α, β),

99