Лекции - мат.методы в геофизике

h(x, x0) = (S(a) − S(x))1−1/m/S′(x).

Главный член асимптотики в случаях 1) и 2) имеет вид соответственно

Эти разложения можно дифференцировать по λ любое количество раз.

Доказательство. В случае 1) основной вклад в асимптотику F (λ) дает малая окрестность точки x0. Делая в этой окрестности замену переменной x = φ(y) такую, что S(φ(y))−S(x0) = −y2m, получаем интеграл из леммы Ватсона, применяя которую получим утверждение. Точно также исследуется и случай 2).

Замечание. Если функция S(x) имеет на отрезке [a, b] конечное число точек x1, x2, . . . , xk, где она достигает наибольшего значения, то асимптотика F (x) равна сумме вкладов от этих точек. Действительно, можем разбить интеграл по [a, b] на сумму интегралов по отрезкам, каждый из которых содержит лишь одну такую точку. Далее, применяем полученные результаты.

6МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ

6.1Фазовая функция без критических точек.

Вэтом параграфе рассматриваются интегралы Фурье:

∫b

F (λ) = f(x)eiλS(x) dx.

a

Здесь S(x) - вещественнозначная, f(x) - комплексно-значная функции, λ - большой положительный параметр. Функцию S(x) будем называть фазовой функцией. Интеграл F (λ) будет мал при λ >> 1 за счет быстрой осцилляции eiλS(x). Наиболее общим результатом такого рода является лемма Римана-Лебега. Ясно, что основной вклад в асимптотику интеграла Фурье (при гладких S) должны вносить стационарные (т. е. критические) точки фазовой функции, так как вблизи них осцилляция замедляется, а также особенности функций f, S или их производных. Заметим, что в отличие от интегралов Лапласа для интегралов Фурье гладкость функций f, S существенна на всем интервале интегрирования. В случае, когда фазовая функция не имеет стационарных точек, асимптотика F (x) легко вычисляется с помощью интегрирования по частям.

51

.

Доказательство. Интегрируя по частям (представляем подынтегральное выражение в виде

получаем, что разность между F (λ) и суммой в правой части (6.1) равна

По теореме Римана-Лебега последний интеграл есть o(λ−N−1). Главный член асимптотики (6.1) имеет вид

F (x) = (iλ)−1[f(b)eiλS(b) − f(a)eiλS(a)] + 0(λ−2).

Замечание. Если f(x), S(x) C∞(I), то F (λ) разлагается в асимптотический ряд при λ → ∞.

Следствие 1. Пусть I = [0, ∞], условия теоремы 1 выполнены и при 0 ≤ k ≤ N

Стоит обратить внимание на полное сходство асимптотических формул для интегралов Фурье и Лапласа: они получаются друг из друга формальной заменой λ → iλ.

Продолжим f, S нулем вне промежутка [a, b]. Таким образом, считаем, что I = (−∞, ∞). Будем называть точку x0 обыкновенной точкой интеграла F (λ), если функции f(x), S(x) C∞(x0 − δ, x0 + δ) для некоторого δ > 0 и S′(x0) ≠ 0. В противном случае будем называть x0 критической точкой интеграла F (λ). Таким образом, в критической точке либо нарушается гладкость функций f, S (например, в концах промежутка [a, b]), либо S′(x0) = 0. Мы будем рассматривать только изолированные

52

в некоторой малой

критические точки. Вкладом от критической точки x0 в интеграл F (λ) мы назовем интеграл F (λ, x0) = −∞∞ f(x)φ(x, x0)eiS(x) dx, где функция φ(x, x0) C0∞(a, b) равна 1 окрестности x0 и равна нулю вне несколько большей окрестности,

∫

замыкание которой не содержит других критических точек кроме x0. Справедлива следующая теорема

Теорема 2. (принцип локализации). Пусть интеграл Фурье F (λ) имеет конечное число изолированных критических точек x1, . . . , xk и f равна нулю вне некоторого конечного промежутка. Тогда

т. е. интеграл F (λ) равен сумме вкладов от критических точек с точностью до O(λ−∞), где O(λ−∞) – функция, убывающая быстрее чем любая степень λ−m. Таким образом, если f не имеет критических точек, то

F (λ) = O(λ−∞).

Замечание. Если подынтегральное выражение не имеет компактного носителя, то возникают еще условия на ±∞ типа тех, что приведены в следствии 1 для того чтобы утверждение теоремы было справедливым.

Доказательство. Покроем интервал (−∞, ∞) конечным числом открытых интервалов Ωj так, чтобы каждая критическая точка xj содержалась ровно в одном интервале Ωj, и устроим разбиение единицы φj(x), подчиненное этому покрытию. Разбивая интеграл на сумму интегралов с функциями φj(x) под знаком интеграла получим утверждение.

Таким образом, как и в методе Лапласа, задача о вычислении асимптотики F (λ) сводится к задаче о вычислении асимптотики интеграла по малой окрестности критической точки. В этой окрестности функции f, S можно приближенно заменить более простыми и исследовать затем полученный эталонный интеграл. Вычислим вклад от

Это разложение можно дифференцировать по λ любое число раз. Главный член

Эталонные интегралы. Рассмотрим интеграл

∫ a

Лемма 1. (лемма Эрдейи). Пусть α ≥ 1, β > 0, функция f(x) C∞([0, a])

обращается в нуль вместе со всеми производными в точке x = a. Тогда

Это разложение можно дифференцировать по λ любое число раз.

Доказательство. Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов Фурье, как лемма Ватсона - для интегралов Лапласа. Фазовая функция S имеет единственную критическую точку x = 0 на участке интегрирования. Фиксируем 0 < δ < a/2 и построим функцию ψ(x) C∞([0, a]) такую, что ψ(x) = 1 при x ≤ δ/2 и ψ(x) = 0 при x ≥ δ. Продолжим функцию ψ(x) на комплексную плоскость полагая ψ(x+iy) = ψ(x). Имеем

Выпишем асимптотику интеграла Φβ(λ). В секторе 0 < arg x < π/α имеем Re(ixα) < 0 (рассматриваем главную ветвь функции xα, аналитическую в плоскости с разрезом по отрицательной части мнимой оси). По теореме Коши интеграл по отрезку [0, δ/2] равен интегралу по ломаной l = l1 l2, где l1 = [0, ρ0eiπ/2α], l2 = [ρ0eiπ/2α, δ/2],

ρ0 cos(π/2α) = δ/2. Тогда

где Φjβ при j = 1, 2 есть интегралы по lj и Φ3β есть интеграл по [δ/2, a] (напомним, что ψ = 1 при x l1 l2). Имеем

δ/2

Внеинтегральная подстановка при x = ρ0eiπ/2α экспоненциально мала, так как в этой точке eiλx = e−λ(ρ0) . Внеинтегральная подстановка при x = a равна нулю, так как ψ(a) = 0. Наконец, внеинтегральные подстановки в точке x = δ/2 сокращаются (если функция h(x) аналитична в точке x0, то ее производная по любому направлению равна h′(x0)). Следовательно, внеинтегральные подстановки в (6.10) имеют порядок O(λ−∞). Кроме того,

Поскольку функция ψ′(x) C∞([0, a]) и f′(x) = 0 при 0 < x < δ, то последний интеграл имеет порядок O(λ−∞) (что устанавливается интегрированием по частям, см. также теорему 2), так что

Таким образом (в силу произвольности величины β),

Функция φN обладает следующими свойствами: 1) при x = a она обращается в нуль вместе со всеми производными; 2) при x = 0 она имеет нуль порядка s = β+N. Поэтому внеинтегральное выражение в (6.16) равно нулю при N ≥ 0. Функция (x1−αφN (x))′ обладает свойством 1) и свойством 2) при s = β + N − α. Следовательно, можно повторить такое же интегрирование по частям, как в (6.16) [β+αN ] раз. При этом все внеинтегральные подстановки обратятся в нуль, и мы получим, что

Замечание. Можно дополнительно показать, что утверждения леммы верны и при всех λ таких, что Im λ ≥ 0.

Теперь мы будем действовать по тому же плану, что и ранее, а именно, комбинировать лемму Эрдейи и лемму о замене переменной.

Теорема 4. Пусть I = [x0 − δ, x0 + δ] - конечный отрезок и выполнены условия:

1.f(x) = C0∞(I), S(x) C∞(I);

2.функция S(x) имеет на I единственную стационарную точку x0 (т.е. S′(x0) =

0).

3. S′′(x0 ≠ 0 (т. е. x0 - невырожденная стационарная точка). Тогда при λ → ∞

Доказательство. Сделаем замену S(x) − S(x0) = sgnS′′(x0)y2. Можем считать, что параметр δ настолько мал, что соответствующая функция x = ψ(y) обладает

Замечание. Теорему 5 также можно использовать и той ситуации, которая описана в теореме 4. При этом условие S′′(x0) ≠ 0 заменяется на условие (6.25). Достаточно разбить интеграл на сумму двух интегралов ∫−0δ, ∫0δ и применить разложение из теоремы 5.

57

7Метод перевала

Нас интересует асимптотика интегралов вида

∫

F (λ) = f(z)eλS(z) dz,

γ

где γ – некоторая кривая на комплексной плоскости и функции f(z), S(z) аналитичны в некоторой окрестности γ.

Аналитичность функций f, S позволяет деформировать контур γ что наводит на мысль продеформировать контур в контур, наиболее удобный для получения асимптотических оценок. Рассмотрим вначале более простую задачу об оценке сверху функции F (λ). Пусть f(z) = 1, γ = γ0 - конечная кривая, для простоты. Тогда при λ R имеем

где l(γ0) – длина γ0. Но по теореме Коши интеграл F (λ) равен интегралу по любому контуру, концы которого совпадают с концами γ0, пусть Γ - множество всех таких контуров γ. Идея метода перевала состоит в том, что выбрать наиболее удобный контур, на котором возможно произвести оценки для интеграла F (λ). Часто в качестве такого контура берется контур на котором достигается

inf sup Re S(z).

γz γ

Точка z0 называется точкой перевала функции S(z), если S′(z0) = 0. Порядок точки перевала равен n ≥ 1, если S′(z0) = . . . , = S(n)(z0) = 0, S(n+1)(z0) ≠ 0. Точка перевала z0 называется простой, если S′′(z0) ≠ 0. Величина Re S(z0) называется высотой точки перевала.

Метод перевала состоит из двух частей, первая из которых топологическая часть, состоящая из деформации контура γ в наиболее удобный для получения асимптотических оценок контур γ . Вторая часть – аналитическая, состоящая из вычисления асимптотики интеграла по контуру γ . Аналитическая часть содержит трудности того же порядка, что и в методе Лапласа. Во многих случаях можно воспользоваться готовыми формулами, полученными методом Лапласа. Топологическая часть почти во всех применениях метода перевала вызывает значительные трудности, что не удивительно, так как эта задача - глобальная. Несмотря на эти трудности, методом перевала получен ряд блестящих результатов, и он является, по существу, единственным методом получения асимптотических оценок для интегралов Лапласа. Этот метод

58

был впервые предложен и применен к ряду задач известным английским физиком Питером Дебаем. Метод перевала носит также названия "метод наискорейшего спуска "метод седловой точки"(method of the steepest descent, method of the saddle point, method of the cool).

Cправедлив аналог леммы 4 §5.3.

Лемма 1. Пусть z0 – точка перевала порядка n. Тогда существует окрестность U точки z0 и функция ψ(ω), аналитическая в некоторой окрестности V = {ω : |ω| < ρ} точки 0, и такая, что

S(ψ(ω)) − S(z0) = ωn+1,

функция ψ конформно отображает V на U (и значит обратная функция ω = ψ−1(z) аналитична на U).

Используя лемму 1 нетрудно показать , что

Лемма 2. Пусть z0 – точка перевала порядка n ≥ 1 функции S(z). В малой окрестности U точки z0 линия уровня Re S(z) = Re S(z0) состоит из (n + 1) аналитических кривых, которые пересекаются в точке z0 и разбивают U на 2n + 2 секторов с углами π/(n + 1) при вершине. Знаки функции Re[S(z) − S(z0)] в соседних секторах различны.

Доказательство. Используя лемму 1, построим окрестности U, V . В плоскости ω уравнение Re S(z) = Re S(z0) примет вид Re ωn+1 = 0, и его решение в V состоит из (n + 1)-го интервала lk: ω = reiφk , φk = (π/2 + kπ)/(n + 1) (−ρ < r < ρ, k = 0, 1, . . . , n), которые являются аналитическими кривыми, делят V на 2n + 2 равных сектора, и знаки Re ωn+1 в соседних секторах различны. Прообразы интервалов lk обладают перечисленными свойствами, так как функция ω = ψ−1(z) голоморфна в U и отображение ψ : V → U конформно.

Лемма 3. Пусть z0 – точка, в которой S′(z0) ≠ 0. Тогда связная компонента линии уровня Re S(z) = Re S(z0), которая содержит точку z0 и лежит в достаточно малой окрестности точки z0, является аналитической кривой. То же самое верно и для линии Im S(z) = Im S(z0). Эти линии уровня ортогональны в точке z0.

Утверждение вытекает из конформности отображения ω = S(z) − S(z0). Простую кривую γ с началом в точке z0 будем называть линией наибыстрейше-

го спуска функции Re S(z), если на этой кривой: 1) Im S(z) = const; 2) Re S(z) < Re S(z0) при z γ, z ≠ z0. Если выполнены условия 1) и 2’) Re S(z) > Re S(z0), z γ, z ≠ z0, то такая кривая γ называется линией наибыстрейшего подъема функции Re S(z).

Как следствие лемм 2,3 имеем

Лемма 4. Если z0 не является точкой перевала, то из точки z0 выходит ровно одна линия наибыстрейшего спуска. Из точки перевала z0 порядка n выходит n + 1 линия наибыстрейшего спуска. В малой окрестности точки z0 в каждом из

59

секторов, в котором Re S(z) < Re S(z0), лежит ровно одна линия наибыстрейшего спуска.

Доказательство. Достаточно использовать рассуждения из леммы 2. Линии наискорейшего спуска это образы линий arg ω = (2k + 1)π/(n + 1) при отображении ψ(ω).

Далее будем считать что выполнены условия:

1)γ – кусочно-гладкая кривая (конечная или бесконечная);

2)функции f(z), S(z) аналитичны в каждой точке γ (за исключением может быть

концов);

∫

3) при λ > 0 γ |f(z)||eλS(z)||dz| < ∞.

Кроме того, будем предполагать, что γ - простая кривая. Это упрощает рассуждения, ничуть не умаляя их общности.

Следующая лемма очевидна.

Лемма 5. Если max Re S ≤ C, то F (λ) = O(eCλ) (λ > 1).

Теорема 1. Пусть max Re S(z) достигается только в начале z0 контура γ,

Разложение (7.1) можно дифференцировать любое число раз. Главный член асимптотики имеет вид

теграл по γ \ γ0 имеет порядок O(eλ(S(z0)−δ)) (δ > 0) в силу леммы 5. Интегрируя по частям интеграл по γ0, получим (7.1), (7.2).

Теорема 2. Пусть max Re S(z) достигается только в точке z0, которая является внутренней точкой контура γ, простой точкой перевала функции S(z). Тогда при λ → +∞

Это разложение можно дифференцировать любое число раз. Главный член асимптотики имеет вид