Лекции - мат.методы в геофизике

В соответствии с законом Снеллиуса подстановка выражений (10.104) в систему (10.107) дает

k1l sin αrAr + k1s cos βi(Bi − Br) = k2l sin α2A2 + k2s cos β2B2, k1l cos αrAr + k1s sin βi(Br + Bi) = −k2l cos α2A2 + k2s sin β2B2,

λ1k12lAr + 2µ1[k12l cos2 αrAr + k12s sin βi cos βi(−Bi + Br)] =

(10.110)

λ2k22lA2 + 2µ2[k22l cos2 α2A2 − k22s sin β2 cos β2B2],

µ1[2k12l sin αi cos αiAr + k12s(sin2 βr − cos2 βr)Br] =

µ2[2k22l sin α2 cos α2A2 + k22s(sin2 β2 − cos2 β2)B2].

Таким образом, мы получили систему из четырех линейных Уравнений относительно четырех неизвестных Ar, Br, A2 и B2. Численное решение этой системы позволяет найти все волновые поля в любой точке упругой среды. Коэффициенты отражения Rsp, Rss и прохождения Tsp, Tss записываются как

Rsp = Ar/Bi, Rss = B2/Bi, Tsp = A2/Bi, Tss = B2/Bi.

10.9.3Падающая волна SH

. Предположим, что в верхней среде распространяется падающая волна SH и на границе возникают отраженные и проходящие волны SH. Поскольку s = rot (ψ, 0, 0), имеем u = w = 0 и v = ∂zψ. Учитывая, что div s = 0 и поле не зависит от координаты y, получим следующие выражения для напряжений:

Следовательно, граничные условия запишутся в виде

Поскольку смещение описывается единственной компонентой, которая подчиняется волновому уравнению, будем искать решение граничной задачи относительно комплексной амплитуды v˜j и, таким образом,

vj = Re e−iωtv˜j, j = 1, 2.

и

v˜1 = Cieik1s(x sin γi−z cos γi) + Creik1s(x sin γr−z cos γr), v˜2 = C2eik2s(x sin γ2−z cos γ2). (10.113)

132

Подстановка выражений (10.113) в систему (10.112) приводит, прежде всего, к закону Снеллиуса:

Кроме того, мы получаем систему из двух простейших уравнений:

где Zis, Z2s импедансы соответствующих сред. Их можно определить по аналогии с акустическим случаем, где Z = p/vz (vz – z-координата скорости). Аналог этой вели-

формулами для отражения и прохождения акустических волн очевидна. В частности, в силу деструктивной интерференции отраженная волна исчезает при некотором угле падения γi. Кроме того, при превышении критического угла (c2s > c1s) в среде с большей скоростью формируется неоднородная волна, которая распространяется вдоль границы (случай полного внутреннего отражения). В этом случае, комплексная амплитуда потенциала записывается как

В заключение отметим следующее. Если угол падения плоской волны P , SV или SH не превосходит критического, выражения для коэффициентов отражения и прохождения, полученные для синусоидальных волн, верны также и для произвольных нестационарных волн. За критическим углом между падающей и отраженной волной наблюдается фазовый сдвиг. Этот сдвиг не зависит от частоты.

133

10.10Отражение и прохождение плоских волн в многослойной упругой среде.

Рассмотрим распространение стационарных плоских волн в упругой среде, состоящей из n однородных слоев, заключенных между двумя однородными полупространствами. Предполагается, что контакт между средами удовлетворяет "условиям прилипания т.е. смещения и напряжения на всех границах являются непрерывными функциями. Наша цель состоит в том, чтобы найти коэффициенты отражения и прохождения для плоских волн P , SV и SH, падающих на верхнюю границу слоистого массива. Для этого необходимо получить рекуррентные соотношения, связывающие смещения и напряжения на разных границах среды.

10.10.1 Волны P И SV

. Выберем систему координат: ось z направлена вниз. Граница первого полупространства плоскость z = 0. Каждый из слоев ограничен плоскостями z = zm−1 и z = zm (m = 1, 2, . . . , n), z0 = 0, толщиной Hm с упругими параметрами λm и µm, плотно-

распространяющихся в этом слое в положительном и отрицательном направлении вдоль оси z, можно записать в следующем виде:

Здесь и далее используем комплексную запись для волн. Реальные выражения мы получим, если найдем вещественные части соответствующих выражений. Здесь klm =

дой из границ эта скорость c и величина p от j не зависят и значит определены корректно. Величины αi, βi в терминах этих углов записываются так: αm = klm cos αm, βm = ksm cos βm. Значения αm, βm и коэффициенты Am, Bm, Cm, Dm изменяются от одного слоя к другому. Теперь воспользуемся выражениями для смещений

где компоненты Xm являются комплексными амплитудами скоростей частиц и напряжений. Введем также матрицу

Используя формулы (10.123)-(10.126) и правила матричной алгебры, скорости частиц и напряжения в слое можно связать с коэффициентами Am, Bm, Cm, Dm

где элементы mij матрицы Lm размером 4 × 4 зависят от упругих параметров слоя и фазовой скорости c:

Из (10.127) следует, что Nm = Q−m1(zm)L−m1Xm(zm) = Q−m1(zm−1)L−m1Xm(zm−1), где Q−m1, L−m1 – матрицы, обратные матрицам Qm и Lm. Теперь можно связать выражения для

Xm для верхней и нижней границы слоя m:

Элементы матрицы Mm зависят от фазовой скорости c, частоты ω, упругих параметров и толщины слоя Hm. Условие неразрывности границ позволяет связать векторы Xm(zm) и Xm+1(zm) для двух соседних слоев на их общей границе z = zm. В результате мы получаем соотношение между векторами Xm+1(zm) и Xm−1(zm)

Поскольку это справедливо для всех m, получим

Xn(zn) = MnXn(zn−1) = MnXn−1(zn−1) = MnMn−1Xn−1(zn−2) = . . . = MnMn−1 . . . M1X1(0)

называется пропагатором (от англ. propagate - передавать), или матризантом, и ее функция заключается в том, что она передает волновое поле от вершины к нижней границе слоистой среды. Волны P и SV , проходящие в нижнее полупространство и распространяющиеся в положительном направлении вдоль оси z, можно описать потенциалами

Соответствующий вектор Xn+1 для нижнего полупространства определяется выражением

Падающая волна P . Если падающей из верхнего полупространства волной является волна P , то вектор скоростей частиц и напряжений в этой части среды можно

Здесь коэффициенты A0 и B0 соответствуют падающей и отраженной волнам P , а коэффициент D0 – отраженной волне SV . Учитывая равенства

136

где E - единичная матрица, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

для неизвестных коэффициентов A0, B0, D0, An+1, Cn+1. Решая эту систему, находим следующие выражения для коэффициентов отражения и коэффициентов прохождения соответственно:

где gij – элементы матрицы G.

Падающая волна SV . Единственным отличием от предыдущего случая (пада-

Подставляя это выражение в уравнение (10.137) и решая его, получаем рекуррентные выражения для коэффициентов отражения и прохождения в случае падающей волны

SV :

Волна SH. Если в верхнем полупространстве падающей волной является волна SH, то единственную ненулевую компоненту смещения в слое m можно представить как:

Вектор скоростей частиц и напряжений имеет в этом случае только две компоненты:

Соответствующие матрицы Qm, Lm, Mm запишутся теперь следующим образом:

(10.146) Вектор Xn+1 в нижнем полупространстве и вектор X0 в верхнем полупространстве определяются как

Окончательное уравнение относительно неизвестных коэффициентов B0, An+1 принимает вид

В заключение следует напомнить, что коэффициенты отражения и прохождения во всех рассмотренных случаях зависят от частоты. Более того, они могут быть как действительными (если углы падения во всех слоях не превосходят соответствующих критических углов для всех наблюдаемых волн), так и комплексными (если хотя бы один из углов становится больше критического). Таким образом, при рассмотрении отражения и прохождения нестационарных волн в такой среде необходимо использовать преобразование Фурье.

11 Поверхностные волны в упругой среде.

В этом разделе описываются волны, которые называются поверхностными или граничными. Переносимая этими волнами энергия концентрируется вблизи некоторой границы, например, вблизи свободной поверхности среды или вдоль границы между двумя различными средами. Волны этого типа отличаются от неоднородных волн, поведение которых обсуждалось в предыдущей главе, поскольку они не являются

138

результатом действия однородных плоских волн, падающих на указанную границу. Двумя классическими примерами граничных волн являются волны Релея в однородном полупространстве и волны Стоили, возникающие на границе двух упругих полупространств или на границе упругой среды и жидкости. Эти волны состоят из двух неоднородных волн разного типа, распространяющихся вдоль границы с одинаковой скоростью, которая, однако, меньше скорости распространения объемных волн (продольных или поперечных) в среде. При этом скорость распространения не зависит от частоты, т.е. такие волны не являются диспергирующими. Кроме того, в этой главе рассмотрим волны более сложной природы, которые возникают в слоистой среде в результате конструктивной интерференции множества отраженных волн. Эти волны также распространяются горизонтально без потерь энергии в вертикальном направлении. В качестве примера таких интерференционных волн мы рассмотрим волны Лява, которые возникают в среде, состоящей из упругого слоя, лежащего на однородном упругом полупространстве, и волны Релея в жидком слое на однородном упругом полупространстве. Поскольку скорость таких волн зависит от частоты, эти волны являются диспергирующими. Они представлены в виде набора различных мод, каждая из которых характеризуется своей дисперсионной кривой и распределением энергии с глубиной. Волны этого типа существуют, конечно, и в более сложных вертикально или радиально неоднородных средах. В зависимости от задачи, эти волны рассматриваются либо как шум, который необходимо подавить, либо как полезный сигнал, несущий важную информацию о структуре среды.

11.1Волны Релея в однородном полупространстве со свободной границей.

Ранее было показано, что падающая на свободную поверхность волна SV помимо однородной отраженной волны SV может возбуждать и неоднородную волну P . Это значит, что сумма всех трех волн должна удовлетворять граничным условиям, одним из которых является равенство нулю соответствующих напряжений на свободной поверхности. Иными словами, неоднородная волна не может существовать одна. Более того, поскольку все три волны распространяются с одинаковой кажущейся скоростью, невозможно отличить одну из них от другой. Зададим теперь следующий вопрос. Существует ли поверхностная волна, которая похожа на неоднородные волны, но может сама по себе удовлетворять граничным условиям на свободной поверхности? Подразумевается, что такая волна должна распространяться вдоль свободной границы и экспоненциально убывать с глубиной z. Предположим также, что такая волна не зависит от координаты y. В соответствии со сделанными предположениями о поверхностной волне, комплексная амплитуда скалярного потенциала и

139

y-компонента векторного потенциала записываются как

где k = ω/c, c – скорость распространения рассматриваемой волны; A, B, bl и bs - константы. Очевидно, что приведенные выше равенства описывают волну, в которой смещения частиц имеют только компоненты u и w, a v = 0. Если такая поверхностная волна существует, она должна являться решением уравнений Гельмгольца:

Из этого условия можно найти соотношение между скоростью c и параметрами bl и bs. Подстановка (11.1) в уравнения (11.2) дает

−k2 + b2l k2 + kl2 = 0, −k2 + b2sk2 + ks2 = 0

Из последних соотношений видно, что скорость распространения c такой волны должна быть меньше cs, то есть c < cs < cl. В противном случае, отсутствовало бы экспоненциальное затухание потенциалов с глубиной. Теперь у нас остаются только три неизвестных: A, B и c. Наша цель состоит в том, чтобы доказать, что такая волна существует и ее скорость с удовлетворяет неравенству c < cs < cl. Поскольку источник этой волны не определен, постоянные A и B нельзя найти независимо друг от друга. Эту задачу мы рассмотрим позднее, а сейчас сосредоточим внимание на вычислении скорости c. Для этого рассмотрим граничные условия на свободной поверхности: