Тема 6 линии и их уравнения на плоскости. Уравнение прямой на плоскости
КОНСПЕКТ 6
6.1 Уравнение прямой на плоскости
Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям.
6.1.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Всем
известный «школьный» вид уравнения
прямой
называетсяуравнением прямой с угловым
коэффициентом 
.
Например, если прямая задана уравнением
,
то её угловой коэффициент:
.
Рассмотрим геометрический смысл данного
коэффициента и то, как его значение
влияет на расположение прямой:
Напомним сведения об уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0
Оно может быть записано в некоторых специальных видах:
а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох, а свободный член b - ордината точки пересечения графика и Оу.
-отрезок,
отсекаемый графиком на оси оу
б) уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х0,у0) у-у0= k(х-х0)
в) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1у1) и (х2у2)
Разберем все эти уравнения, используя вектора.
6.1.2 Общее уравнение прямой на плоскости
Рассмотрим на плоскости Охупроизвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М1(х1у1) и векторN=Ai+Bj,перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М1и нормальный вектор Nвполне определяют положение прямой L на плоскости Оху.
Пусть М(х,у) - любая точка прямой L (она
называется текущей точкой). По условию,
векторNперпендикулярен вектору
,
лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное
произведение (N,
)=0
, или в координатной форме А(х – х1)
+ В(у – у1) = 0
Произведем преобразования – раскроем скобки:
АX + ВY + [-АX1– ВY1] = 0
В квадратных скобках у нас некое число. так как А и В числовые коэффициенты, а х1и у1- координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости.
АX + ВY + С = 0
6.1.3 Каноническое уравнение
Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х1,у1) и вектораS=mi+nj, параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называетсянаправляющим векторомпрямой L.
Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы
коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны.
Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
Рассмотрим снова прямую L. Ее положение вполне определяется заданием угла (Ox, L) и точки М(х ,у ), лежащей на этой прямой.
В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор
Проверим, будет ли этот вектор единичным?
Его длина
Тогда каноническое уравнение прямой будет иметь вид:
,
получим у-у1= k(х – х1) – это прежнее уравнение прямой с угловым коэффициентом.